Çarpanlara Ayırma Formülleri

Matematik dersindeki Çarpanlara Ayırma Formüllerinin yer alacağı bu yazımızda TYT, (ygs) sınavlarında çokça kullanılan formüllerin paylaşımını yapacağız.

1. İki terimin Karesi

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b)

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b)

2. İki Terimin Küpü

(a + b)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

3. İki Kare Farkı

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

4. İki küp Toplamı

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) veya

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

5. İki Küp Farkı

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) veya

a3 – b3 = (a – b)3 – 3ab(a – b)

6. Üç Terimli Bir İfadenin Karesi

(a + b + c)= a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

7. xn + yn nin Çarpanları

n pozitif tam sayı olmak üzere

  • xn – yn = (x – y)(xn-1 + xn-2y + … + xyn-2 + yn-1)

n tek doğal sayı olmak üzere

  • xn + yn = (x + y)(xn-1 – xn-2y + … – xyn-2 + yn-1)

gibi denklemleri bulunmaktadır. Umarım bu özdeşlikler derslerinizde ve sınavlarınız da yardımcı olur.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler Çözümlü Sorular

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler Çözümlü Soruların ve problemlerin olacağı yazımıza hoş geldiniz arkadaşlar.

1. Dereceden 2 Bilinmeyenli Denklemler konusu genellik le 7. sınıf, 8.sınıf, 9. sınıf , 10.sınıf ve 11. sınıf derslerinde işlenen bir konu olup sınavlarda çıkmış sorular da bulunmaktadır.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler Çözümlü Sorular ile ilgili  bir çok test ve sorularda bulunmaktadır. Şimdi gelin çözümlü soruları inceleyelim.

Soru 1:

x + y = 10

x – y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi nedir?

Cevap 1

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sorularını çözmek için ilk önce bilinmeyenlerden birini yok edip diğer bilinmeyeni bulacağız. Sonrasında ise 1. bilinmeyenden yola çıkarak 2. bilinmeyen değeri bulacağız.

Şimdi y bilinmeyeni yok ederek x bilinmeyeni bulmaya çalışalım.

x + y = 10

x – y = 6

—————– Bu 2 denklemi bir biri ile toplarsak

2x + 0 = 16 ise 2 x = 16 olup

x = 16 / 2 = 8 olur ve x değerini bulmuş olduk.

Şimdi de y bilinmeyen değerini bulmak için sorudaki denklemlerden herhangi birinde x in değerini yazalım.

x + y = 10 idi . x = 8   için

8 + y = 10 ise y = 10 – 8 = 2 olarak bulunur.

Çözüm kümesi = ( 8 , 2 ) olur.

 

Soru 2

4x + 2y = 22

2x – y = 5 denklem sisteminin çözüm kümesi nedir?

Cevap 2

Y bilinmeyenini yok etmek için ikinci denklemi 2 ile genişletelim.

4x + 2y = 22

2 / 2x – y = 5

———————–

4x + 2y = 22

4x – 2y = 10  bu iki denklemi de toplarsak

————————

4x + 4x + 2y – 2y = 22 + 10

8x = 32        ( 2y lerin toplamı 0 olup y yok edildi)

x = 4

x i n yerine ikinci denklemde 4 yazalım.

4x – 2y = 10 buradan da 4.4 – 2y = 10

16 – 2y = 10

2y = 6

y = 3 olarak buluruz.

Çözüm kümemiz de  ( 4 , 3 ) olarak bulunur.

Çözüm kümesi : ( 2 , 5 )

Bileşke Fonksiyon Çözümlü Sorular

Bileşke Fonksiyon Çözümlü Soruların ve problemlerin olacağı bu yazımızda Bileşke Nedir? Sınavlardaki çıkmış sorular hangileridir?  ve Çözümlü örnek sorular paylaşacağız.

Bileşke fonksiyon genellikle 8. ınıf ve 10 sınıf derslerinde karşımıza çıkmaktadır. Şimdi izler için hazırladığımız çözümlü sorular ve test sorularına geçelim.

Soru 1

Soru 2

Soru 3

Soru 4: f(x) = 4x ve g(x) = 5x + 7 olduğuna göre, (fog}(x) kaçtır?

Soru 5: f{x) = 3x + 4 olduğuna göre, (fof)(x) nedir?

Soru 6: f(X)=6x-7 ve g(x)=x+7 olduğuna göre, {fogof)(4) kaçtır?

Soru 7: f(x) = 3x – 5 olduğuna göre, (fof)(3) kaçtır?

Soru 8: f(x) = 5x olduğuna göre, {fofofof)(x) nedir?

Sabit Fonksiyon Çözümlü Sorular Ve Problemleri

Sabit Fonksiyon Çözümlü Sorular Ve Problemlerin olacağı bu yazımızda siz sevgili öğrencilerimiz için özenle seçilmiş soruların çözümlerini detaylıca anlatarak paylaşacağız.

Sabit Fonksiyonlar konusu genellikle 9. sınıf ve 10. sınıf derslerinde karşımıza çıkmaktadır.

İlk önce sabit fonksiyon nedir? deyip kısa bir tanımını yapalım.

Sabit fonksiyon, Tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesindeki tek bir elemana denk gelen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

Yani ne demek istediğimizi aşağıdaki örnekte anlatayım.

f(x) =  ( na+g) / ( ux+c ) ifadesi sabit bir fonksiyon ise n/u = g/c dir.

Şİmdi de çözümlü sorulara geçelim.

Soru 1: f ( x ) = x + 9 ise f ( 3 ) = ?

Cevap 1:  Fonksiyonda x in yerine 3 yazmamız gerekiyor.

f ( 3 ) = 3 + 9

f ( 3 ) = 12 olarak cevabı buluruz.

 

Soru 2: f ( x ) = 2 x + 8 ise f ( 11 ) = ?

Cevap 2:  Fonksiyonda x in yerine 11 yazmamız gerekiyor.

f ( 11 ) = 2 . 11 + 8

f ( 11 ) = 22 + 8

f ( 11 ) = 30 olarak yanıtı buluruz.

 

Soru 3: f ( 2x-2) = 4x +9 ise f ( 4 ) = ?

Cevap 3:  2x-2 , 4 e eşitlenip x bulunur

2x-2=4

2x=6

x=3 olarak bulunur. Sonrasında değerleri fonksiyonda yerine koyarsak

f ( 2.3-2 ) =4.3 +9

f ( 4 ) = 21 olarak yanıtı buluruz.

 

Soru 4: f ( x ) = 6x + 8 ise f ( 3x ) = ?

Cevap 4:  Fonksiyonda x in yerine 3x yazmalıyız

f ( 3x ) = 6.(3x) + 8

f ( 3x ) = 18x + 8 olarak cevabı buluruz.

OBEB-OKEK (EBOB-EKOK) Çözümlü Soruları ve Problemler

OBEB-OKEK (EBOB-EKOK) Çözümlü Sorular ve Problemlerinin olduğu yazımıza hoş geldiniz sevgili arkadaşlar.

OBEB-OKEK ya da EBOB-EKOK adıyla da bilinen  bu konu genellikle 6. sınıf, 8. sınıf, 9. sınıf ta işlenen bir konudur. Ayrıca TYT ve DGS sınavlarında da sorular çıkmaktadır.

Şimdi çözümlü sorulara geçelim arkadaşlar ama başlamadan önce aşağıdaki nota mutlaka dikkate ediniz.

Not : Bölme işlemleri sırasıyla asal olan sayılar yani  ( 2,3,5,7, …) ile yapılmalıdır.

Soruda verilen sayıların her biri aynı anda bu asal sayılara bölünürse yanlarına * işareti koyuyoruz. Böylelikle EBOB sonucunu bulmuş oluyoruz.

Soru 1 : 12 ve 18 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır?

Cevap 1:

12 18 | 2 * ebob = 2.3 =6
6 9 | 2 ekok = 2.2.3.3 = 36
3 9 | 3 *
1 3 | 3
1 | 3

Ebob ( 12 , 18 ) = 6 ( * lı olan sayıların çarpımı)

Ekok ( 12 , 18 ) = 36 ( Tüm sayıların çarpımı )

 

Soru 2:  40 ve 70 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır?

Cevap 2:

40 70 | 2 * ebob = 2.5 =10
20 35 | 2 ekok = 2.2.2.5.7 = 280
10 35 | 2
5 35 | 5 *
1 7 | 7
1

Ebob ( 40 , 70 ) = 10 ( * lı olan sayıların çarpımı)

Ekok ( 40 , 70 ) = 280 ( Tüm sayıların çarpımı )

 

Soru 3:  20 , 40 ve 80 sayılarının ebob ve ekok u kaçtır?

Cevap 3:

20 40 80 | 2 * ebob = 2.2.5 =20
10 20 40 | 2 * ekok = 2.2.2.2.5 = 80
5 10 20 | 2
5 5 10 | 2
5 5 5 | 5 *
1 1 1

Ebob ( 20, 40 , 80 ) = 20 ( * lı olan sayıların çarpımı)

Ebob ( 20, 40 , 80 ) = 80 ( Tüm sayıların çarpımı )

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Çözümlü Sorular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Çözümlü Sorular ve Problemlerin olacağı yazımıza hoş geldiniz.

Yazımızda daha önceden sınavlarda çıkmış sorular da yer alacak ve soruları çözümleri ile birlikte paylaşacağız.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Konusu genellikle 8. sınıf, 9. sınıf, 10. sınıf ve 11. sınıf derslerinde işlenen bir konudur.

Şimdi gelin çözümlü sorularımızı inceleyelim.

Soru 1  x-4 < 7 eşitsizliğinin reel sayılarda çözüm kümesi nedir?

Cevap 1 : x – 4 < 7 ise

x < 4 + 7

x < 11 olarak bulunur Çözüm kümemiz de

Ç= ( – ∞ , 11 ) aralığında olur.

Yani x in yerine 11 den küçük reel sayılar gelebilir arkadaşlar.

 

Soru 2:  x + 6 < 14 eşitsizliğinin doğal sayılardaki çözüm kümesi nedir?

Cevap 2:  x + 6 < 14 olduğuna göre

x < 14 – 6

x < 8 olur. Çözüm kümemiz ise doğal sayılar dediği için;

Ç = { 0,1,2,3, 4, 5, 6, 7} olarak bulunur.

 

Soru 3:   4x – 3 < 21 eşitsizliğinin Reel sayılarda çözüm kümesi nedir?

Cevap 3:  4x – 3 < 21 olduğuna göre

4 x < 21 + 3

4 x < 24

x < 24 / 4

x < 6 olarak bulunur, çözüm kümemiz ise

Ç = ( – ∞ , 6 ) arasındaki reel sayılardır.

 

Soru 4:  x + 12 > 24 eşitsizliğinin sayma sayılardaki çözüm kümesi nedir?

Cevap 4:  x + 12 > 24 olarak verildiğine göre

x  > 24 – 12

x > 12 olarak bulunur. Çözüm kümemiz ise;

Ç = { 13 , 14 , 15 , 16 ,……. } olarak devam eder.

 

Soru 5:  5 x + 6 ≤ 21 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir ?

Cevap 5:  soruda 5 x + 6 ≤ 21 olarak verilmiş.

5 x  ≤ 21 – 6

5 x ≤ 15

x ≤ 15 / 5

x ≤ 3 olarak bulunur. Çözüm kümemiz ise

Ç = ( – ∞ , 3 ] aralığı olur ve buna 3 sayısı da dahildir.

Üçgende Açılar Çözümlü Soruları ve Problemleri

Üçgende Açılar Çözümlü Soruları ve problemlerin olacağı yazımıza hoş geldiniz arkadaşlar. Üçgenler konusun Geometrinin en temel konularından biridir.

Bu nedenle üçgenler konusunu iyi öğrenmek daha sonraki konuları anlamada önemlidir.

Üçgende açılar konusu genellikle 9. sınıf ta öğrencilerin karşısına çıkmaktadır

Üçgenlerde, çeşitkenar üçgen, ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen, dik üçgen, dar açılı üçgen, geniş açılı üçgen olmak üzere bir çok çeşit üçgen vardır.

Ayrıca üçgende açıortay ve kenarortay özelikleri de vardır. Şimdi de bu konularla ilgili gelin çözümlü örnekler yapalım.

Soru 1:

Şekildeki üçgende verilenlere göre m ( B ) =x açısı kaç derecedir?

Cevap 1:  Üçgende iç açılar toplamı 180 derece olduğuna göre

x + 70 + 60 = 180

x + 130 = 180

x = 180 – 130

x = 50 derece olarak yanıtı buluruz.

Soru 2

Şekildeki üçgende verilenlere göre n ( B ) =x açısı kaç derecedir?

Cevap 2:  Üçgende iç açılar toplamı 180 derece olduğuna göre

x + 3x + 5x = 180

9x = 180

x = 180 / 9

x = 20 derecedir.

Soru 3:

Şekildeki üçgende verilenlere göre m ( A ) =x açısı kaç derecedir?

Cevap 3:

m ( B ) = 180 – 140 = 40 ,

m ( C ) = 180 – 115 = 65

Üçgende iç açılar toplamı 180 derece olduğundan;

x + 40 + 65 = 180

x + 105 = 180

x = 180 – 105

x = 75 derece olarak cevabı buluruz.

Soru 4:

Şekildeki üçgende verilenlere göre m ( C ) = x açısı kaç derecedir?

Cevap 4:  Üçgende iki iç açının toplamı diğer köşedeki dış açıya eşit olur.

x = 80 + 50

x = 130

Soru 5:

Şekildeki üçgende verilenlere göre m ( B ) =x açısı kaç derecedir?

Cevap 5:  Üçgende iki iç açının toplamı diğer köşedeki dış açıya eşit olur.

x + 70 = 125

x = 125 – 70

x = 55 olarak cevabı buluruz.