Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı 6.Sınıf Matematik

Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı 6.Sınıf Matematik
Beşin katı olan sayılar 5 ile kalansız bölünürler. Görüldüğü gibi birler basamağı (son rakamı) 0,5 olan tüm doğal sayılar 5 ile kalansız (tam) bölünürler.
3 ün katı olan sayılar 3 ile kalansız bölünürler. Rakamları toplamı 3 veya 3 ün katı olan sayılar 3 ile kalansız bölünürler.
9 un katı olan sayılar 9 ile kalansız bölünürler. Rakamları toplamı 9 veya 9 un katı olan sayılar 9 ile kalansız bölünürler.

Pozitif Tam sayıların çarpanları;
Pozitif tam sayılar 1 den başlayarak 1, 2, 3 ….. şeklinde devam eder. Bundan dolayı da pozitif tam sayı çarpanları bu sayı değerlerinden oluşur.
Örneğin; 40 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını bulalım.
Cevap : 1 den başlayarak  40 a kadar sorudaki 40 sayısına bölünen çarpanları bulalım.
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 ve 40 tır. O halde 40 sayısının pozitif tam sayıları bu sayı değerleridir.
 
Örnek 2 : 36 sayısının pozitif tam sayı ve asal sayı çarpanlarını bularak üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazalım.
Cevap 2: 1 den başlayarak 36 ya kadar olan çarpanları bulalım.
1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 ve 36 dır. Bu sayılar pozitif tam sayı çarpanlarıdır.
Bunlardan 2 ve 3 asal çarpanlardır.
36 sayısının üslü gösterimi bulmak için ise ekok işlemini yaparız
36 yı 2 den başlayarak bölersek 2, 2, 3 ve 3 bölenleri olur.
Gösterimi ise 2².3² olur.
 
Örnek 3 : 72 tam sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
Cevap 3: 72 yi 2 ye bölersek 36 kalır
36 yı 2 ye bölersek 18 kalır.
18 i 2 ye bölersek 9 kalır
9 u 3 e bölersek 3 kalır
3 ü  3 e bölersek 1 kalır.
Bölen sayılarımız 2, 2, 2, 3 ve 3 tür.
Bu durumda 72 sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı
2³.3² olur.
 
Örnek 4 : 630 = 3 . B . 5 . 7 eşitliğini sağladığına göre B sayısının değeri kaçtır?
Cevap 4: 630 sayını sırasıyla 3, 5 ve 7 ye bölersek kalan sayı bizim B değerimiz olacaktır. O halde
630:3 = 210 olur.
210:5 = 42 olur.
42:7 = 6 olur.
Bu durumda B sayı değerimizi 6 olarak buluruz.
 
En büyük ortak bölen çarpanları;
Tüm sayıları ayna anda bölen sayıların çarpımı bize EBOB çarpanlarını verir. Şimdi bu demek istediğimizi aşağıdaki örnek 5 te açıklayalım.
Örnek 5 : 36 ve 42 sayısının en büyük ortak bölen değerini bulunuz.
Cevap 5: En büyük ortak bölen değeri aynı anda 2 sayıyı da bölen değerdir. Bu durumda;
36 ve 42 sayısını 2 ye bölersek 18 ve 21 kalır. 2 sayımız ebob a dahil olur.
18 ve 21 sayısını 2 ye bölersek 9 ve 21 kalır. 2 sayımız ebob a dahil değildir.
9 ve 21 sayısını 3 e bölersek 3 ve 7 kalır. 3 sayımız ebob a dahil olur.
3 ve 7 sayısını 3 e bölersek 1 ve 7 kalır. 3 sayımız ebob a dahil değildir.
Bu durumda Ebob değerimiz 2.3 = 6 olarak bulunur.
 
Örnek 6 : 160 tam sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
Cevap 6: 160 ı 2 ye bölersek 80 kalır
80 nı 2 ye bölersek 40 kalır.
40 ı 2 ye bölersek 20 kalır
20 yi 2 ye bölersek 10 kalır
10 nu  2 ye bölersek 5 kalır.
5 i 5 e bölersek 1 kalır.
Bölen sayılarımız 2, 2, 2, 2, 2 ve 5 tir.
Bu durumda 160 sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı
2⁵.5¹ olur.
 
Örnek 7 : EBOB ve EKOK’larının çarpımı 225 olan iki sayıdan biri 9 ise, diğer sayı kaçtır?
Cevap 7: İki sayının EBOB ile EKOK değerlerinin  çarpımı bu iki sayının çarpımına eşit olur. O halde
EBOB . EKOK = 9. diğer sayı
EBOB, EKOK çarpımı 225 olduğuna göre
225 = 9. diğer sayı
diğer sayı = 25 olarak bulunur.
 
En küçük ortak kat;
Sayıların tüm bölenelrinin çarpımı bize EKOK değerini verir. Şimdi ne denemk istediğimiz aşağıdaki örnek 8 de açıklayalım.
Örnek 8 : 110 sayısından en az kaç çıkartılırsa elde edilen sayı değeri 12 ve 14 ile tam olarak bölünebilir.
Cevap 8: En az kaç çıkartılır dendiğine göre 12 ve 14 nın EKOK değerini bulmamız gerekiyor.
12 ve 14 ü 2 ye bölersek 6 ve 7 kalır,
6 ve 7 yi 2 ye bölersek 3 ve 7 kalır,
3 ve 7 yi 3 e bölersek 1 ve 7 kalır,
1 ve 7 yi 7 e bölersek 1 ve 1 kalır.
Bu durumda EKOK değerimiz 2.2.3.7 = 84 olur.
110 – 84 = 26 olur. Bu durumda 110 sayısından en az 26 sayısını çıkartırsak sayı değerimiz 12 ve 14 e tam olarak bölünebilir.
 
Örnek 9 : 45 ve 75 sayısının en büyük ortak bölen değerini bulunuz.
Cevap 9: En büyük ortak bölen değeri aynı anda 2 sayıyı da bölen değerdir. Bu durumda;
45 ve 75 sayısını 3 e bölersek 15 ve 25 kalır. 3 sayımız ebob a dahil olur.
15 ve 25 sayısını 3 e bölersek 5 ve 25 kalır. 3 sayımız ebob a dahil değildir.
5 ve 25 sayısını 5 e bölersek 1 ve 5 kalır. 5 sayımız ebob a dahil olur.
Bu durumda Ebob değerimiz 3.5 = 15 olarak bulunur.
 
Örnek 10 : 20 kilogramlık elma ve 15 kilogramlık armut, paketlere eşit ağırlıkta konulacaktır. Bu iş için en az kaç pakete ihtiyaç vardır?
Cevap 10: Paket sayısının en az olması istendiğine göre 20 ve 15 sayısının EBOB değerini bulmamız gerekiyor.
20 ve 15 i 2 ye bölersek 10 ve 15 kalır,
10 ve 15 i 2 ye bölersek 5 ve 15 kalır.
5 ve 15 i 3 e bölersek 5 ve 5 kalır.
5 ve 5 i 5 e bölersek 1 ve 1 kalır.
Bu durumda EBOB değerimiz 5 olur. (Her iki sayı aynı anda sadece 5 e bölünebildi.)
Elma ve armutun ağırıkları toplamı 20 + 15 = 35 olur.
35/5 = 7 paket olarak cevabı buluruz.