Bu dersimizde kalan sınıflarını (denklik sınıfları) ve bunların oluşturduğu kümeyi (kalan sınıfları kümesi) öğreneceğiz.
Modüler aritmetiğin özellikleri, Z/m kümesinde toplama ve çarpma işlemi tanımlayarak bu işlemlerin özelliklerini inceleyeceğiz.
* Kalan Sınıfı
* Denklik Sınıfı
* Modüler Aritmetik
* Z / m
Bankacılık gibi güvenliğin önemli olduğu pek çok alanda, şifre kullanmayı gerektiren diğer sektörlerde sayıların bir sayıya bölümünden elde edilen kalan kullanılır.
Ayrıca gündelik yaşamımızın vazgeçilmezlerinden olan saatlerde de sayıların bir bölümden elde edilen kalanları kullanılır.
Güvenliğin öneli olduğu durumlarda mesajlar anlaşılmamaları için değiştirilir. Bu işleme kriptoloji denir. Bu işlem mesajların uygun olmayan kişilerce okunmasını engeller. Şimdi örnek bir şifreleme yapalım;
Yukarıdaki tablodaki gibi her harf bir sayı ile eşlendikten sonra bu sayılara örneğin 19 ekleyelim. Elde ettiğimiz sayının 33 e bölümünden elde edilen kalanı bulalım.
A harfine karşılık olarak 19 elde edilir. Aynı yöntemle T harfine karşılık olarak 09 elde edilir.
İşlem sonunda her harfe karşılık gelen bir sayı bulunur. Böylece başkaları tarafından öğrenilmesi istenmeyen bilgi şifrelenebilir.
Şifrelenmiş bilgilerin nasıl çözüleceğinin araştırılması işini de sizlere bırakıyoruz.
Aynı kalanı veren sayılar aynı renklerle eşlenerek işlemler yapıldığında çok güzel görüntüler ortaya çıkmaktadır. Bu şekilde renklerle yapılan tablolardan bir örnek sunuyoruz sizlere.
Bir m pozitif tam sayısına bölündüğünde aynı kalanı veren sayıların kümesine kalan sınıfı adı verilir. Örneğin 5 ile bölme yapıldığında sıfır kalan veren sayıların kümesi yani sıfır kalan sınıfını görelim.
Örnek 2: Bir kalanını veren sayılar kümesi yani 1 kalan sınıfı;
Yukarıdaki bu kümelere kalan sınıfı denir.
Z / 5 tam sayıların 5 e bölündüğünde elde edilen kalan sınıflarının kümesini gösterir.
474 sayısı 33 sayısına bölme işlemine göre hangi kalan sınıfının elemanıdır.
– Bölme işlemini yaptığımızda kalanın 12 olduğunu göreceğiz. 474 sayısı 33 e bölme işlemine göre 12 kalan sınıfına aittir.
Sayılar m ye bölündüğünde 1 er kalan verdiğine göre sayıların toplamı da m ye bölündüğünde kalanlarının toplamını kalan olarak verir.
Yani sayıların toplamı da m modunda denk oldukları sayınların toplamına denk olur.
Sayılar m ye bölündüğünde bir kalan verir. Sayıların çarpımı da m ye bölündüğünde sayıların kalanlarının çarpımını kalan olarak verir. Yani sayıların çarpımı da m modunda denk oldukları sayıların çarpımına denk olur.
Sayıların toplamıyla kalanların toplamı aynı sonuç verdiğinden kalan sınıfları ile toplamayı ve çarpmayı yapabiliriz. Bu işlemlere modüler aritmetik denir.
Örneğin 3 kalan sınıfı ve 4 kalan sınıfı işlemi… 3 kalan sınıfıyla 4 kalan sınıfının toplanmasını gösterir ve işlemin sonucu 2 kalan sınıfı olur.
