Türev İntegral Hesabı ve Analizi

TÜREV – İNTEGRAL HESABI VE ANALİZ

9.1    Türev ve integral uygulamaları

Giriş       

Kalkulüs matematiğin en geniş uygulama alanına sahip kollarından biridir. Şu anda geçerli Türk öğretim programları konunun soyut ve analitik yönlerini ortaya koyma eğilimi taşımaktadır. Burada yer alan etkinlikte, geniş kapsamlı ve çok pratik uygulamalar bulunmaktadır. Ayrıca, anlamaya yardımcı olması amacıyla temel teorik ifadeleri keşif niteliğiyle ortaya koyan birtakım uygulamalar da vardır. Bu sorunlar çeşitli düzeylerde zorluk dereceleri taşımaktadır.

Etkinlik

A         Bu problemlerden bazılarını araştırmak üzere seçin.

 

B         Bir sonraki öğretim uygulamasında kullanmak üzere burada verilen materyalden bazılarını, özellikle zenginleştirici bir materyal olarak seçin ve uyarlayın. Bunlardan birçoğuna gereksinmeniz olmayacak, ancak taze ve yeni bir yaklaşım, öğrencilerin yaptığı çalışmayı canlandıracaktır.

Maksimum-minimum sorunları

 

 

1          (Mektup paketi sorunu.) Posta ile gönderilebilecek en büyük hacimli koli ne kadar olabilir? (Önkoşullar – kolinin boyu 3m 6cm‘den çok olmayacak, boy ve çevre toplamı 6m’yi   geçmeyecektir.)

 

2          (Koli sorunu.) 20cm x 15cm boyutlarında mukavvadan yapılabilecek en büyük     hacimli koli ne kadar olabilir? (Kolinin birleştirme için ayrılan kulakçık bölümlerini gözardı edin. Koli yapmak üzere kesilen mukavva tabaka tek parça olmalıdır.)

 

3          Kare tabanlı bir su tankı , 20cm kare metal tabaka kullanılarak yapılacaktır.

a  Eğer taban kare kenarlarının herbirinin ölçüsü z ise, tankın hacminin

V=10z– 1/2 zm3  formülü ile verildiğini gösterin.

 

V ile z değerlerinin ilişkilendirildiği grafiği çizin ve bu grafiği z farklı değerler aldıkça hacmin ne şekilde değiştiğini genel terimlerle açıklamak için kullanın.

 

c  Bu boyutlarda bir metal tabakadan yapılabilecek en büyük tankın, 2 litreden  biraz fazla suyu ancak alabileceğini gösterin.

 

d   Elde edilen en büyük hacimli tank ile ilgili yorumlar yapın.

 

e  Aynı boyutlardaki tabakadan yapılabilecek en büyük silindirik su tankının sahip olduğu hacim kapasitesi ile bunu karşılaştırın (Tankı oluşturmak için gerekli birleşim noktalarında ayrılan kulakçık bölümlerini gözardı edin).

 

4   (Sabit çevre uzunluğuna sahip maksimum alan problemleri) 6 cm toplam çevre uzunluğuna sahip üçgeni ele alın.

 

a  Eğer üçgenin iki kenar uzunluğu birbirine eşit olacak diye bir koşul varsa, elde edilebilecek en büyük alana sahip üçgenin bir eşkenar üçgen olacağını gösterin.  Bu üçgenin alanını bulun.

 

b  Bunun yerine, eğer kenarlardan birisinin boyu diğerinin iki katı olacak koşulu getirilmişse, üç kenarın boyutlarını ve elde edilebilecek en büyük üçgenin alanını bulun.

 

c  Şimdi, verilen üçgen dik açılı bir üçgen ise, yine aynı biçimde üçgenin kenar uzunluklarını ve elde edilebilecek en büyük alanlı üçgenin alanını bulun.

 

d   Daha farklı koşullar öne sürerek değişik sorunlar hazırlayın ve bunları çözün.

 

e   Eğer hiç bir önkoşul verilmemişse, diğer bir deyişle toplam çevre uzunluğu 6 m olacak biçimde tüm alternatif üçgenlerin söz konusu olabileceği bir durumda en büyük alanlı üçgenin yine eşkenar üçgen olacağını gösterin.  (İpucu:  Bu sorun iki değişkenlidir.)

 

5  (Eşçevre sorunu.)  Verilen sabit bir toplam  çevre ebatı ile, geometrik yüzeysel   şekiller arasında elde edilebilecek en büyük alanlı şekil dairedir.

 

 

 


İntegral uygulamaları

 

1          Dairenin alanını veren formülü üç değişik yolla kanıtlayın. (Üç değişik yol kullanarak integral aracılığıyla).

 

2          Bilinen geometrik katı cisimlerin formüllerinin kanıtlarını ele alın ve gerekli gördüğünüz yerlerde genellemelerde bulunun. (örneğin; genel prizma, piramit, koni gibi.)

 

3          Türev kullanmadan aşağıda verilen formülün, xn‘nin  integrali için  kanıtlama  yöntemlerini inceleyin.                   x/ (n+1)

 

 

Avcı – av denklemleri

 

Sabit bir yaşam ortamında birlikte yaşayan iki farklı tür varsa ve bunlardan biri diğerinin avı ise, bu iki farklı türe ait toplumlar arasındaki sayı  ilişkisi birbiriyle bağlantılı olacaktır. Bu duruma örnek olabilecek basit bir model ele alınacaktır. Avcı konumundaki tür topluluğunun (P) av bulamadığı zaman yok olacağı varsayılmıştır. Fakat üremeyi arttırmak için beslenen canlılar, beklenmedik bir gelişme ile karşı karşıya kaldıkları zaman nüfuslarında dolaylı olarak bir artış olacaktır. Av konumundaki türün nüfusu Q ile ifade edilirse, P’nin artış hızı şu şekilde ifade edilebilir.

 

   a,b >0

 

Av konumundaki türün sabit bir üreme gösterebilecek kadar beslenme olanağının bulunduğu varsayılacak, fakat aynı şey avcı konumundaki tür için geçerli olmayacaktır. Bu durumda av konumundaki tür toplumu için verilebilecek formül şu olur.

 

  c,e >0

 

Belirli bir t  zamanında iki türe ilişkin nüfus (P,Q) vektörleri ile ifade edilebilir. Statik durumdaki bir toplumu ifade eden toplumu şu denklem ile gösterebiliriz.

Bu denklemler düzlemi birden fazla bölgelere ayırır ve sabit noktalar ancak eğriler kesişirse oluşur. Her bir bölgede birkaç örnek noktada (dP/dt, dQ/dt) ‘pergel’ vektörünü gözönüne alarak, çözümün davranışı hakkında  niceliksel öngörülerde bulunabilmek olanaklı olabilir. Burada (0,0) (c/e, a/b) noktalardan birinin sabit, diğerinin ise sabit olmadığını göstermek olanaklıdır.

Bu arada   (0, a/b)    ve  (c/e, 0)  noktaları da ayrıca incelenmelidir.

 

Yarı niceliksel sonuçlar, daha da ayrıntılı inceleme yapılması durumunda elde edilebilir. Sabit nokta etrafındaki salınımın peryodu bu şekilde tahmin edilebilir.

 

 

Av konumundaki türün bir hayvan değil de sebze ya da bitki olması durumunda özel bir durum ortaya çıkmaktadır. Burada a ve c sabit katsayıları gözardı edilebilir ve sistemin davranışı değişir.

 

Bu denklemleri, P = öğretmen sayısı ve Q = öğrenci sayısı olarak adlandırıp eğitim sistemine uydurulup uydurulamayacağını tartışmak isteyebilirsiniz. Eğitimin ailenin genişliğini daralttığı konusunda bazı kanıtlar vardır.

 

Bir ağacın boyunun artması

Kaliforniya’da yetişen sekoya ağacının boy uzaması yıllık dönem aralıkları ile metre (h) ile ölçülmüş ve bu veriler aşağıdaki çizelgede verilmiştir. Bu verilerin çözümlenmesinde atılacak ilk adım zaman aralıklarında gerçekleşen değişim miktarlarını çıkarmaktır. Bu çıkarımlar, zamanla ağaç boyundaki uzama değişiminin (Dh) gittikçe azalmakta olduğunu göstermiştir.  Bu izleyeceğimiz yöntemin başlangıç noktası olup, bir süre sonra ağacın ulaşacağı boy uzunluğunun belirli bir sınırı olduğu, fakat bu boya hiç bir zaman ulaşamayacağı görülecektir. Gelişmedeki bu tür değişimleri polinomlar gibi t zamanına bağlı fonksiyonları kullanarak ifade etmek oldukça güçtür. Bunun yerine, zaman zaman gelişim modelleri diye de adlandırılan modelleri kullanacağız. Buna göre dh/dt artış oranı yalnızca h değişkenine bağlı basit bir fonksiyondur.  dh/dt türevini bulabilmek için

 

=   değerlerinin ortalaması gibi bir yaklaşım uygulanacaktır.

için verilen değerler bir sonraki sütunda yer almaktadır.  Şunu hatırlatmakta yarar

vardır.

 

Bu değerler çizelgenin uç noktasında yer almayacaktır.  dh/dt ile t fonksiyonel ilişkisinin grafiğinin çizilmesi ile doğrusal bir bağıntının iyi bir yaklaşım olduğu  görülecektir. Bu fonksiyon da şu şekilde verilebilir:

 

Hemen bunun ardından varacağımız sonuç, ağacın ulaşabileceği beklenen en yüksek boy sınır değerinin 29,5 m olduğudur.

 

Denklemin integralini almakla ilk sonuç elde edilmiş olur.  İntegrasyon sabiti de düzenlenmiştir ve en son sütunda yer almıştır.

Bir ayçiçeğinin boyunun artması

Bitkilerin tümü ağaçlar gibi büyümezler. Daha karmaşık ve daha sık rastlanan bir büyüme biçimine ayçiçeğinde rastlanabilir. Ayçiçeğinin haftalık büyüme verileri aşağıdaki çizelgede verilmiştir. Daha önce hesaplandığı gibi dh/dt büyüme değişiminde, küçük bir değerden bir en büyük değere kadar arttığı, daha sonra da hızlı bir biçimde azalma kaydettiği görülmüştür. Daha önce kullanılan dh / dt doğrusal (düz doğru fonksiyon eğrisinden farklı olarak kullanılacak fonksiyon eğrisi bu durumda parabol olacaktır. Bu gelişim fonksiyonunu, fiziksel olarak daha anlamlı kılabilmek ve basite indirgeyebilmek için, başlangıç noktasından bir kez geçen bir parabol ile ifade etmek genelde uygulanan bir yoldur.  Bu yaklaşımın bir diğer avantajı da  1/h.dh/dt  ile h değerlerinin fonksiyonel olarak grafiğe yerleştirme güçlüğünü basite indirgemesidir. Bunun düz doğru fonksiyonu ile gösterilmesi ile doğruya ne derece yaklaşıldığını inceleyin.  Önerilen fonksiyonel ilişki aşağıda verilmiştir.

Yapılan uydurum noktaların büyük bir çoğunluğunda sorun yaratmazken aralığın her iki uç noktalarında sınır değer etkileri nedeniyle beklenen küçük sapmalar olabilmektedir..

Bu denklemin integrasyonun alınması ile h ile t  arasındaki fonksiyonel ilişki elde edilir. Denklemde t = 5 eşitliğini kullanarak, denklemde eksik olan integrasyon sabiti bulunur.

Görüldüğü gibi bu, ağaçta görülenden farklı olarak, burada bir büyüme ve sınırlı büyüme mekanizması sözkonusudur. Başlangıçta büyüme üstel bir fonksiyon olarak görülmektedir. (Daha önce doğrusal bir ilişki vardır.)

 

Uydunun fırlatılması

 

Roket yanmış yakıtın dışarı atılması ile fırlatılmaktadır. Toplam momentum bu arada korunur.  t  anında roketin toplam ağırlığının m , hızının ise  v  olduğunu varsayalım.

 t + t  anında bu değerlerin m + m  ve  v + v olacağını da yine varsayalım. Daha sonra roket bir miktar m,  yanmış yakıtı atacak ve bu sırada yakıtın dışarı atılma hızı da  c  ile gösterilen sabit bir hız ile ifade edilecektir. (Aslında bu varsayım biraz tartışmaya açıktır, fakat olayı basite indirmek için yine de kullanacağız.) Her iki zaman için momentum değerlerinin birbirine eşitlenmesi ile aşağıdaki denklem ortaya çıkacaktır.

 

mv = (m + m) (v + v) – m + ve  v + m (v -c)

 

Burada limite geçersek,   dv/dm =  -c/m  ; ve daha sonra integral alarak

v = -c log m + A  olacaktır.

 

Başlangıçta, roketin kendi başına m0 ağırlığına sahip olduğunu düşünelim.  Buna göre, Îm0 yakıtı, (1 – Î) m da roketin kasası ve roketin içinde bulunan malzeme ağırlığını, P verecektir. Buradan A değeri denklemden bulunabilir. Buna göre,

 

v = – c log [ m/( m0  + P ) A]     olacaktır.

 

Roketteki tüm yakıt yandıktan sonra ağırlık, m =  (1 – Î) m0  + P, ve rokete verilebilecek son hız ise

 

                                               v = – c log  [1 –Îm0  /( m0  + P )]     olacaktır.

 

Gerçek bir roket örneğinde ise, bunlara karşılık gelen mümkün olabilecek en iyi değerler  c = 3 km.sn-1, Î = 0,8 ve  P/m0   = 1/100 olabilir. Böylece olası hız değeri de yaklaşık 4,7 km.sn-1 olacaktır.

 

Bir uydu, dünyanın yörüngesine girebilmek için ne kadar mesafe katetmelidir? Dünyanın çapı R ve yörünge hızı v ise, ivme değeri  v2/R olur. Bu değer g ile gösterilen yerçekimi ivmesine eşit olmak zorundadır. Böylece dünya yüzeyine yakın olan uyduların yörünge hızları v = (g R)1/2 olacaktır. Bu denklemde g = 9,8 m.sn-2  ve

R = 63,68 x 105  olduğuna göre, yörünge hızının sayısal değeri yaklaşık v @ 7,9 km.sn-1 olur.

 

Dünya yüzeyinden daha uzak konumdaki uyduların yörünge hızları daha düşüktür, fakat bu gerekli güç sıralamasını gösterir. Bu yüzden tek bölüme sahip bir roketin bunu başarması olanaksızdır. Bunun ana nedeni taşıyabileceği enerjinin çok büyük bir bölümünün roketin ana gövdesine ivme kazandırmak için kullanılmasıdır.

İçinde bulunan malzeme ağırlığı P olan iki bölümlü bir roketi ele alalım. Birinci bölümün başlangıçtaki ağırlığı m1,ikinci bölümün ise  molduğunu varsayalım. Daha önce yaptığımız gibi, P ağırlığına kazandırılabilecek son hız şu formülle verilecektir:

Uygun değerlerin formüle yerleştirilmesi ile, m1  =  m= 50 P , Î = 0,8 ve c = 3 km.sn-1 , hız;

v @ 6,2 km.sn-1    olur.

Elde edilen bu sonuç bir gelişme ifade eder, ama yine de yeterli değildir.

 

Fakat mve  m2  için verilen değerlerde, mdeğeri  m2 değerinin 10 katı olacak şekilde yeniden düzenlenirse, o zaman,

v @ 7,65 km.sn -1    olacaktır.

 

Bu sonuç istenilen sonuca yakın bir değerdir, ancak tam değildir.

 

Yapılan hesaplamalar sonucunda istenilen sonuca 3 bölümlü bir roketle ulaşılabileceği görülmüştür. n sayıda bölümden oluşan bir roket için ideal sonuca ulaşılmak için ayrıntılardan yararlanmak istenirse, ilgili referanslara başvurulmalıdır.

 

Buna benzer bir çok soru bulunabilir. Yeryüzüne göre göreceli hızı sabit olacak bir haberleşme uydusu yeryüzünden ne kadar uzaklığa yerleştirilmelidir? Dünyanın yörüngesinden tümüyle kurtulacak bir uydunun ne kadar hıza ulaşması gerekir? Bunu gerçekleştirmek için kaç bölümlü bir roket gereklidir ve kullanılacak hangi ağırlık oranları daha avantajlıdır?

9.2    Üstel, logaritmik ve periyodik fonksiyonlar

 

Giriş                   

 

Bu fonksiyonlar pratik ve kuramsal yönden büyük bir öneme sahiptir. Üstel fonksiyon nüfus artışları, radyoaktif çözülmeler ve soğuma kuralı gibi konuların tanımlanmasında yararlıdır.

 

Periyodik fonksiyonlar ses, radyo dalgaları, deniz ve sarkaç ve yıl boyunca gün ışığının ne kadar süreyle yaşandığı konularındaki değişimlere uygulanabilir. Logaritmik fonksiyonlar da aynı şekilde pratik yönden önem taşır ve 1/x’in integralini vererek kalkülüs ve analiz konularında kullanışlıdır.

 

Bu etkinlik sizden, McLaurin teoremini kullanarak bu fonksiyonların kuvvet serileri cinsinden yazılışı da içinde olmak üzere, bunların hem uygulamalı hem de kuramsal yönlerini keşfetmenizi beklemektedir.

 

Etkinlik

 

A         Yapılan çalışmayı gözden geçirerek konuyu inceleyin.

 

B         Bu fonksiyonları türetmek için kullanılabilecek diğer uygulamaları ve            koşulları düşünün.

 

C         Bu fonksiyonlarla ilgili seri açılımları  için Maclaurin teoremini kullanın.

 

D         Düşüncelerinizi periyodik fonsiyonlara genişletin.

 

E         Bu yaklaşımları, eğer gerekli görürseniz okulda kullanılacak şekilde uyumlu biçime getirin. 

 

F         Bunları grubunuzda ve sınıfta tartışın.

 

G         Bunlardan bazılarını okulda uygulamaya çalışın.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, serilerin açılımları

 

 

Basit fonksiyonlar

x2, x3, 1/x, ax+b, sinx ve bunun gibi fonksiyonlarla niçin ilgileniyoruz?

1   y = x2 ve  y = x3 alan ve hacim artışı kurallarını göstermektedir,

2   y = x4, y = x5,… bunların matematiksel eklentileridir.

3   y = Öx, y = 3Öx, y = x2 ve y = x3 ‘ün tersidir ve A=L2, V=L3

      formüllerinin ters çevrilmesiyle ortaya  çıkar.

 

İki tane ters fonksiyonun kartezyen grafikleri arasında

önemli bir geometrik ilişki vardır (şekle bakın).

Bu düşünce daha sonra, logaritmik ve üstel fonksiyonlar

için kullanılır. Ters trigonometrik fonksiyonlar için

de kullanılabilir.

 

4  Polinomlar, rasyonel fonsiyonlar ve 1/Ö(1-x2) gibi, y=x biçimindeki bir fonksiyondan toplama, çıkarma, çarpma, bölme ile elde edilirler. Pek çok fiziksel yasa bunlar gibi fonksiyonel ilişkilerle gösterilirler, örneğin Kepler’in alışılmadık T= kD3/2 ilişkisi gibi.

 

Üstel fonksiyonlar

Eğer £1, yıllık %100’den faize verilirse, yıl sonunda ne kadar para verir?

Yanıt, faizlerin ne kadar sıklıkta eklendiğine bağlıdır. Ana paraya her yıl k kez eklenen faiz, şu miktarı verir.

£(1 + 1/k)k

k= 1, 2, 3,… için oluşan toplamların basamak grafikleri, yıl sonunda k arttıkça giderek arttığını göstermektedir. Eğer faiz üstüste eklenirse bu miktar sonsuz mu olur? Sayısal araştırmalara göre hiç de öyle görünmüyor.

Dahası elimizde,

(1+1/2)2 = 1+ 2(1/2)+(1/2)2

(1+1/3)3 = 1+ 3(1/3)+3(1/3)2+(1/3)3

ve genelde

(1+1/k)k = 1+k(1/k)+

açılımları vardır. (k+1 tane terim vardır.)

k arttıkça son özdeşlikte ayrı ayrı terimlerin limitleri göz önünde bulundurularak şu seriye ulaşırız:

1 + 1 +   + … (= 2.718’ten 3’e)

Bu sayının herhangi bir önemi var mı yoksa bu özel problemin yalnızca bir sonucu mu?

n yıllığına %r’den faize yatırılan A kadar £, yılda k kez eklenen faiziyle şunu verir:

£A (1 + r/100k)nk

Bileşik faiz için şunu değerlendirmemiz gerekir:

lim A(1 + r/100k)nk

k®¥

 

r/100k = 1/x’i formüle koyduğunuzda

 

A(1 + 1/x)nrx/100

 

= A[(1 + 1/x)x]nr/100

Dolayısıyla gizemli 2,718… sayısı yeniden ortaya çıkar, buna e diyelim. O zaman n yıl yıllık

% r’den bileşik faize yatırılan A kadar £, £Aenr/100 verir.

 

Yıllık % 100’le  faize verilen £1 problemi için önceden bahsedilen basamak fonksiyonları, faizin ardarda eklenmesiyle oluşan büyüme fonksiyonunu gösteren sürekli bir eğriye doğru yanaşır. Bu büyüme fonksiyonunun türev katsayısı nedir? Para miktarının herhangi bir anda £ A‘da kaldığını varsayın. dt (yıl) gibi bir zaman aralığını gözönünde bulundurun, eğer faizler bu zaman aralığının sonunda eklenirse, o zaman A’daki değişim

£ Adt100 /100  olacaktır.

Bileşik faizde ise bu miktar daha çok olacaktır.  Fakat dt’yi ne kadar küçük alırsak, yaklaşım o

kadar iyi olacaktır.

Dolayısıyla                  olur.

Başka bir deyişle bu büyüme eğrisinde eğim ordinatın değeri kadar olur.

Daha önceki sonuçlardan birini kullanarak, t yıl kadar yıllık %100’den yatırılan £1, £1et 100/100 =et. Örneğin  £, e= 2.718 olduğunda, artış eğrisi y=ex ‘dir ve eğrinin  = y = ex

özelliği vardır. = y’ye bir diferansiyel denklem y = ex ise çözüm olarak adlandırılır. (Bir diferansiyel denklem çözüm de bir fonksiyondur).  y = kex de kuşkusuz ki bir çözümdür. (k faktörü, grafiği y yönünde daraltır ve aynı oranda hem eğimi hem de ordinatı arttırır).

 

Eğer fiziksel yasaların değişim oranlarıyla ilgisi varsa, diferansiyel denklemler fiziksel yasalardan kaynaklanır.

1   Newton’un soğuma yasası, q, sıcaklık fazlası olduğunda – dq/dt = kq

Bu denklemin şu çözümü vardır: q = Ce-kt

C sabiti, başlangıç sıcaklığına bağlıdır.

2   Newton’un ikinci hareket yasası,

d(mv)/ dt = kP

Eğer m sabit bir sayıysa ve birimler uygun bir biçimde seçilmişse,

m   olur.

Belirli bir sabit noktaya göre ölçülmek ve bu noktaya yönelmek üzere P, S ile orantılıysa, bu özel durum basit harmonik hareket denklemine yol açar

Sinüs fonksiyonunun önemi, yalnızca kendi trigonometrik yararlılığında değil, bu tür bir denklemin çözümü olmasında yatar.

 

Logaritmik fonksiyon

u = av Û v = logau tanımından kaynaklanan herhangi bir tabanda logaritma, özellikle e tabanlı logaritmalar vardır.

d(logex)/dx = 1/x, y = ex ve y = logex ‘in ters özelliğinden ortaya çıkar.

y = logex üzerinde yer alan  x = a ‘daki eğim,

y = ex üzerinde yer alan x = b ‘deki eğimin  tersidir (Şekle bakın).

Burada a ve b, eb = a formülüyle ilişkilendirilmiştir, dolayısıyla

y = logex üzerinde yer alan x = a ‘daki eğim, 1/a‘dır.

Örneğin d(logx)/dx = 1/x ’dır.

logex fonksiyonu, ò xx.dx integralinde a = -1 iken oluşan

boşluğu doldurur. Bu, 1’den x’e giden y =1/x eğrisi altında kalan

alanı ifade eder. Eğrinin şekli, ‘ in integrali

ve daha sonra ‘nın bazı küçük değerleri alınarak görülebilir.

Bu durum, ‘nın azalan değerleri için işaretlenirse, limit olarak

logaritmik eğriyi veren y = x1-d /d  fonksiyon dizisinin ortaya

çıkmasına neden olur.

 

Serilerin açılımı

Polinomlar, düşünülmesi kolay olan olan fonksiyonlardır. Polinomlar aracılığıyla diğer fonksiyonları yaklaşık olarak düşünebilir miyiz?

x®0’ iken sinx / x® 1 olduğu için, x küçük olduğunda sin x = x diyebiliriz. Bu yaklaşık değer ne derece geçerlidir? Çizelgelerden yararlanarak,

(x-sinx) farkını ortaya çıkarmak olanaklıdır.

x karşısında bu fonksiyonun grafiği, bir ikinci dereceden denklem olan ax2 ‘nin (uyum sağlamaz) ya da bir küp olan bx3‘ün (uyum sağlar) göstergesidir. b, yaklaşık olarak 0,17 (ya da 1/ 6) olacak biçimde ortaya çıkar. Böylece sinxx- x3 / 6olur; böylece Maclaurin açılımı düşüncesi ortaya çıkar.

Dahası e, e = (1 + 1/n)n diye tanımlanır; böylece

 

e= (1 + 1/n)nx ,

 

=(1 + x/k)k ,

(nx = k alarak) tanımlanır. Açılım yapılırsa şu öneri ortaya çıkar:

ex=

Maclaurin’in f (x) in açılımının ile ilgili formülü, bilinen alıştırmalarla devam eder: örneğin tanx gibi.

Eğer  xx – x /3!,  x – x/3!+ x/5!‘ nin grafikleri çizilir ve sinx’in grafiğiyle karşılaştırılırsa, bir fonksiyonun kuvvet serisinin yakınsaklığı iyi bir biçimde örneklendirilmiş olur. Bu ardışık polinomlar dizisinin sinüs fonksiyonunu vermesi oldukça ilginç bir özelliktir.

Aynı şekilde ele alınan

log(1+x) = x – x2/2 + x3/3 -… ,

x £ -1 veya x > 1 için yakınlaşmanın nasıl başarısız olduğunu gösterir. x, x – x2/2, x – x2/2 + x3/3 dizisinin ardışık grafiklerindeki ordinatların yüksekliği, bu diğer seriye yerleştirildiğinde serinin yakınsaklığını ya da ıraksaklığını gösterir.

Maclaurin formülünden elde edilen ex sinx gibi seriler, ex ve sinx’in serilerinin çarpımıyla karşılaştırılabilir. Benzer olarak, tan x’in serisi, aşağıdaki işlemle karşılaştırılabilir.

(Öğrenciler, çalışmanın geçerli olup olmadığına ilgilerinin çekilmesi yerine onların seri manipülasyonu hakkında yaratıcılıklarına özgürlük tanınarak cesaretlendirilmelidir.  Matematik ve akla yatkın nedensellik kitabındaki S 1/n2 =  p2 /6 formülünün Euler tarafından kanıtlanmasına ilişkin Polya’nın kitabına bakınız.  Hesaplamalarda serilerin kullanımı yakınsama oranı ve yanılgı tahminleriyle tekrar karşımıza çıkmaktadır.  Kuvvet serinin integralinin alınması, örneğin ò ex2dx gibi, aşkın fonksiyonlara yönden bakmamıza yol açar.  Bir diferansiyel denklemin serilerle çözümü, bu çözümün Maclaurin serisi biçimindeki açılımını bulmak için bir girişim olarak görülmelidir.

Taylor serisi, Maclaurin serisinin bir genellemesi olarak görülmelidir. Taylor serisi bütün versiyonlarıyla gösterilmelidir, fakat  bu serinin başlangıcı aşağıdaki şekil yoluyla hatırlatılır.

f(x)= f(a) + (x-a)f ¢(a) ya da f(x+h)= f(x) + hf ¢(x).

Öğrenci bir kere ilk iki terimi yazdı mı, çoğunlukla devamını da yazabilir.

Bu şekil, kalkülüste kullanılan en temel kavramlardan birini göstermektedir. Çünkü aynı zamanda

formülünü de gösterir.  Taylor serisinin üçüncü terimi,

f(x)= f(a) + (x-a) f ¢(a) yaklaşımında, türevi  x + a/2 noktasında değerlendirerek daha iyi bir yaklaşım elde edileceği düşüncesiyle bulunabilir. (a’daki türev daha küçüktür, x’deki türev daha büyüktür).

f ¢(x) kendi başına x’in bir fonksiyonu olduğu için,    dır ve eğer ilk yaklaşımda f ¢(a) yı sağdaki ifadeyle değiştirirsek daha geçerli bir yaklaşık değer olan

elde edilir.

9.3    Karmaşık değişkenli fonksiyonlar                    

Giriş                   

Burada verilen bilgiler, konunun gerçek değişkenli fonksiyonlar kuramı ile olan ilişkisini gösteren ve kavramların anlamını ve kullanımını vurgulayan bir gelişimi özetlemektedir.

Etkinlik

A         Yapılan çalışmayı gözden geçirerek ve anladığınızdan emin olabilmek için alıştırmalar yaparak konuyu inceleyin.

B         Okulda, bu konunun öğretimine katkı sağlamak için ilgili düşünceleri nasıl uyumlu hale getirebileceğinizi düşünün.

C         Bunları grubunuzda ve sınıfta tartışın.

Karmaşık değişkenli fonksiyonlar

 

Gerçek bir dizi, pozitif tümsayılar sayılara bir gönderimdir (bir n tam sayısal değişkeninin fonksiyonu). Bu gönderim yerine pozitif tamsayılardan karmaşık sayılara giden gönderimi alırsak bu kez de bir karmaşık sayı dizisi elde etmiş oluruz. Bir gerçek dizinin yakınsaklığı birkaç değişik yolla incelenebilir. Örneğin  dizisi için iki farklı grafik elde etmek olanaklıdır.

(Bunlardan ikincisi, noktaların sıralanışını görmemize engel olan bir çekince taşımaktadır). Eğer

[(1 + i)n]gibi bir karmaşık sayı dizisi ele alınırsa, yukarıdaki çizimlerden ikincisi uygulanabilir düzlem üzerinde ve aşağıda gösterilen şekilde bir nokta dizisi elde edilebilir

Bu dizinin ıraksadığı açıkça görülmektedir. [ zn] dizisinin davranış biçimi ile karmaşık değişkenli fonksiyonlar kuramına bir temel oluşturduğu söylenebilir. Bunun için, yakınsama için oran testi yapılmasının gerçekte geometrik serilerle bir karşılaştırma yapmak olduğunun  ve geometrik serinin davranışının da çeşitli r değerleri için [ rn ] dizisinin davranışına bağlı olduğunun anımsanması gerekir.  dizisinin görünüşü aşağıdaki gibidir.

< 1 eşitsizliği sağlandığında, [ zn] dizisinin yakınsayacağı gerçeği, z değeri yerine z = re  konulması ve  zn nin yalnızca modülünün ele alınması ile açıklanabilir.

 

Dizilerin yakınsaması uygulamalarda yalnızca yinelemeli işlemlerde ya da sonsuz serilerin yakınsaklığında kullanılır. Burada bir serinin yakınsaması,  kısmi toplamlar dizisinin yakınsaması olarak tanımlanır.

Önceleri gerçek değişkenli fonksiyonlar için gerçekleştirilen kuvvet serisi açılımı karmaşık değişkenli fonksiyonlara biçimsel olarak genişletilebilir.

olduğu için,  açılımını şu biçimde vermek olanaklıdır:

Bu açılımdaki her bir terim bir karmaşık sayıdır. Karmaşık sayıları toplamanın bir yolu da sayıların karmaşık düzlem üzerine konulması ve vektörel olarak toplanması olduğundan, bu serinin toplanması gösterildiği gibi yapılabilir.

Aslında, mantık çerçevesinde düşünülürse, serinin yakınsadığı görülebilir, bunun nedeni,

[(1+ i)n] karmaşık sayısının modülüne göre faktöryellerin çok daha hızlı bir biçimde büyümesidir. Ancak,

elde edilecektir. Ve bu da serimizin yakınsamasının ana gerekçesidir. Herhangi bir karmaşık sayının kuvvetleri Argand şeması üzerinde gösterilebildiği için, aynı işlemi kuvvet serisine de uygulamak olanaklıdır. Bir kuvvet serisini yakınsak yapan z değerlerinin, bir dairenin içine düşen sayılar olduğu açıkça görülebilir. Diğer bir deyişle < R eşitsizliğini sağlayan değerler seriyi yakınsak yapar ve bu doğrunun gerçek eksenle kesiştiği yerler de yakınsaklık aralığını verir.

 

f(x)= 1/(1-x) = 1 + x + x2 +…; x= 1, f(x) |x|<1 olduğunda x=1 için f(x) sonsuzdur.

f(x)= log (1+x) = xx3 /2 + x3/3…; x= -1, f(x) |x|<1 olduğunda = -1 için f(x) sonsuzdur.

 

1/(1+x2), x= ±1’de sonsuz olmamasına karşın, 1/(1+x2) = 1 – x+ x4– …yalnızca <1 için

yakınsaktır. Eğer x2 = -1 ise  örneğin x = ± i  ise ve bu fonksiyonun bu noktalarda kutupları varsa,

1/(1+x2) sonsuz olduğu için, yakınsama dairesi çizildiğinde bu daire gerçek ekseni x = ±1’de keser.

 

Bir karmaşık değişkenli fonksiyonun türevi

 

2z sonucunu elde etmek için w= f(z) = z2 fonksiyonunun kurallı bir şekilde türevi alınabilir ve bu, kitaplarda da bu şekilde yapılır. Bunun herhangi bir anlamı var mı?

w ‘nin z’ye göre değişim oranı nedir?

w’nin, limitte yer alan z’deki değişme oranı nedir?

 

Bu son cümlenin bir anlamı vardır.

Z = Ö3+i noktasını alalım: w = z2 = 2+2Ö3i olur. z değerini küçük bir miktarda değiştirin. Hangi yönde? Bir yön seçin örneğin gerçek olan yalnızca h kadar arttırılmasını sağlayın.

w’nin yeni değeri = (Ö3+h+i)2= (Ö3+h)2 -1+2(Ö3+h)i

= 2+2+Ö3h+h2+2Ö3i+2hi

dw= 2Ö3h+h2+2hi

 

Eğer h küçükse, bu değer yaklaşık olarak işaretlenebilir. w’nin gerçek yaklaşık olarak 2Ö3h; sanal parçası ise 2h kadar arttırılmıştır.

dz ve dw iki tane karmaşık sayıdır (bu durumda dz’nin gerçek olması beklenir). Dolayısıyla dw/dz karmaşık bir sayıdır.

Bu sayının modülü nedir?

Bu sayının açısı nedir? açı (dw/dz)

= açı dw-açı dz

= p/6 -0= p/6

\ dw/ dz ‘nin değeri= 4 (cos p/6+ i sin p/6 )

= 2Ö3+2i

= 2z

 

Eğer dz’yi farklı bir yönde alırsak dw/dz‘nın değeri yine aynı mı olur? Örneğin dz=ik diyelim

ya da dz ‘yi q sabitken r’nin ya da r sabitken q‘nın artışı yönüne ya da herhangi bir k genel yöne dz = h+ik koyalım. Araştırmalar bunun böyle olduğunu nedenlerini de açıklayarak gösterir. Fakat daha sonra dw= (diferensiyel kaysayı) x (herhangi bir noktadaki dz) olacaktır. Örneğin z = Ö3+i’ye karşılık gelen dw’yi bulmak için bu dz nin küçük bir artışı 2 (Ö3+i) ile çarpılır.

Şimdi  ve açı () = p /6 dir ve dz’yi modülü 4 ve açı değeri p /6 olan bir

karmaşık sayı ile çarparsak,’yi 4 katsayısı ile çarpmış ve açısını da p/6 kadar arttırmış oluruz.

Böylece, z – düzlemi w – düzlemi üzerine w = z2  diye gönderilirse, z = Ö3+i noktasında z – ve w – düzlemleri arasındaki genişleme katsayısı 4 olacak ve z düzlemi z = Ö3+i etrafında p/6 açısı kadar döndürülmüş olacaktır. Bu da, konformal gönderim demektir.

 

Hiç kuşkusuz  y = x2 ‘nin türev katsayısı olan 2x de bir genişleme faktörüdür.

kaynak: matematikcafe.net

yorum Ekleyin

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir