10. Sınıf Matematik İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Konu Anlatımı Pdf dersine hoş geldiniz sevgili arkadaşlar. Konu anlatımını başlık başlık inceleyip, formülleri paylaşıp, birer de çözümlü örnek sorular yaparak anlatım sağlayacağız.
a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçek sayı olmak üzere, ax² + bx + c = 0 ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. a, b ve c sayılarına denklemin katsayıları, denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü denir. Ayrıca denklemi sağlayan x değerlerinin kümesi denklemin çözüm kümesidir.
Çarpanlara Ayırma Yöntemi ile Denklem Çözümü
Bu yöntemde ax² + bx + c = 0 denklemi çözülürken ax² + bx + c ifadesi çarpanlarına ayrılır. Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek denklemin kökleri bulunur.
Örnek: 5 x² – 15 x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
5x2 – 15x ifadesi çarpanlarına ayrılırsa 5(x2 – 3x) = 5x(x -3) olur.
5x(x -3) = 0 ise 5x = 0 veya x – 3 = 0 olmalıdır.
5x = 0 ⇒ x = 0 , x – 3 = 0 ⇒ x = 4 olur.
Denklemin kökleri x1 = 0 ve x2 = 3 , denklemin çözüm kümesi { 0, 3 } bulunur.
Tam Kareye Tamamlama Yöntemi ile Denklem Çözümü
Tam kareye tamamlama yöntemi ile ax² + bx + c = 0 denklemi çözülürken ax² + bx + c ifadesi düzenlenerek veya terim eklenip çıkarılarak denklem içinde tam kare bir bölüm elde edilir. Elde edilen ifade iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılarak çarpanlarına ayrılır ve çarpanlar sıfıra eşitlenerek çözüm kümesi bulunur.
Örnek: x2 – 10x + 27 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz
x2 – 10x + 27 = 0 denklemindeki 27 sayısını 25 + 2 olarak yazalım.
x2 – 10x + 25 + 2 = 0
(x – 5)2 + 2 = 0 olur.
(x – 5)2 = -2 çıkar. bir sayının karesi eksili bir değer olamadığı için
ÇK = Ø olur.
ax² + bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Genel Çözümü
a ≠ 0 için ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri aşağıdaki formül ile bulunabilir. Burada b² – 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve Δ ile gösterilir.
Örnek: x² + 6x + 9 = 0 denklemlerinin çözüm kümelerini diskriminant kullanarak bulalım
x² + 6x + 9 = 0 denkleminde, a = 1 , b = 6 ve c = 9 dur.
Δ = b² – 4ac ⇒ Δ = 6² – 4.1.9
= 36 – 36 dan = 0 dır.
Denklemin x1 = x2 = –3 şeklinde eşit iki kökü vardır.
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde Köklerin Varlığı
a ≠ 0 için ax² + bx + c = 0 denkleminde Δ = b² – 4ac olmak üzere;
- Δ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır. Bu kökler;
dir.
- Δ =0 ise denklemin eşit iki gerçek kökü ( çakışık iki kökü veya iki katlı kökü ) vardır. Bu kökler; x1 = x2 = -b/2a dır.
- Δ< 0 ise denklemin gerçek kökü yoktur. Başka bir deyişle, bu denklemin gerçek sayılarda çözüm kümesi boş kümedir.
Örnek: Aşağıda verilen denklemlerin köklerinin varlığını inceleyelim.
a. x² + 6 x + 11 = 0 b. x² – 13x – 3 = 0 c. 4 x² + 12 x + 9 = 0
a) x² + 6 x + 11 = 0 denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;
Δ = 6² – 4.1.11
Δ = – 8 çıkan sonuç 0 dan küçük olduğu için kök yoktur.
b) x² – 13x – 3 = 0 denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;
Δ = (-13)² – 4.1.-3
Δ =169 + 12 = 181 yapar.
formülünde değerleri yerine koyarsak;
x1,2 = (-(-13) ± √181)/2.1
x1,2 = (13 ± 9√2)/2 olarak buluruz.
c) 4 x² + 12 x + 9 = 0 denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;
Δ = 12² – 4.4.9
Δ = 144 – 144 = 0 olur. Bu durumda kökler eşittir. -b/2a formülünden;
x1 = x2 = -12/8 = -3/2 olarak buluruz.
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki İlişkiler
a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Bu köklerin toplamı ve çarpımı ile denklemin katsayıları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır.
Örnek: x² + 3x – 6 = 0 denkleminde kökler toplamını ve çarpımını bulalım.
x² + 3x – 6 = 0 denkleminde katsayılar a = 1 , b = 3 , c = -6 dır.
Denklemin kökleri x1 ve x2 ise ,
x1 + x2 = – b/a = 3/1 = 3 olur.
x1 . x2 = c/a = – 6/1 = – 6 olur.
Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemin Oluşturulması
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem x² – ( x1 + x2 ) x + x1 . x2 = 0 şeklinde yazılabilir.
Örnek: Kökleri x1 = 1/2 ve x2 = –2 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.
x1 = 1/2 , x2 = –2 ⇒ x1 + x2 = -3/2 , x1 . x2 = –1 olur.
x² – ( x1 + x2 ) x + x1 . x2 = 0 formülünden;
x² + 3x/2 – 1 = 0 olarak sonucu buluruz.
Konu anlatımı dersimizin burada sonuna geldik arkadaşlar. Dilerseniz konuyu pekiştirmek için çözümlü sorular sayfamızıda ziyaret edip soruları inceleyebilrisiniz.
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Çözümlü Sorular
Atıcılık sporunda çalışanlar bir hedef atıcı makine eşliğinde çalışırlar. Atış makineleri bir diski rastgele zamanlarda , rastgele yönlerde atarlar ve atıcılar da onu vurmaya çalışırlar. Bazı atıcılar diski takip ederek vurmaya çalışırlarken bazıları diski belli bir yükseklikte vurmak için tüfeğini ayarlar ve disk yükselirken onu vurmaya çalışır. Tabi bu anı kaçırırsa bu defa da diskin bu yüksekliğe düştüğü anı yakalamaya çalışır.
Saniyede 39,2 metre hızla havaya dik olarak atılan bir disk kaç saniye sonra 34,3 metre yükselikte olacaktır.
Başlangıç noktası t = sıfır olarak kabul edildiğinde yerçekimi ivmesi altında serbest düşen bir cismin t. saniyede aldığı yol 4,9 t kare metre ve saniyede 39,2 metre hızla yola çıkan bir cismin t. saniyede aldığı yol 39,2 t metredir.
Buna göre saniyede 39,2 metre hızla havaya dik olarak atılan bir diskin t. saniyede atış noktasına göre yükseliği y=-4,9 t kare + 39,2 t olacaktır. Bu yüksekliğin 39,3 olduğu t anını bulmak istiyoruz.
Bu ikinci dereceden tek bilinmeyenli denklem sadeleştirildiğinde tkare – 8t + 7 = 0 denklemi elde edilir. tkare – 8 t +7 ifadesi parantez içinde (t-1) (t-7) olarak çarpanlarına ayrılır. Böylece t=1 ve t =7 değerleri bu denklemin kökleridir. Buradan çözüm kümesi 1,7 olarak bulunur.
Yiyeceklerdeki bakteriler zamanla üreyerek yiyecekleri faydasız hatta zararlı hale getirmektedirler. Yiyeceklerdeki bakterilerin ürememesi için bir yol yiyeceklerin donmuş olarak saklanmasıdır. Fakat dondurulmuş gıdalar çözülmeye başlayınca içindeki bakteriler de hızla artmaya başlar. Bu yüzden çözülen gıdalar hızla bozulur.
Dondurulmuş gıdadaki bir birim miktarındaki bakteri sayısının 2 ile 14 derece arasındaki sıcaklığa bağlı olarak aşağıdaki değerlere göre değiştiği tespit edilmiştir.
Yiyeceğin sıcaklığı kaç dereceye çıktığında birim miktarındaki bakteri sayısının 1700 e çıkacağı bulunmak isteniyor.
Denklem düzenlenince aşağıdaki görüntü oluşur.
Çözüm kümesi ise aşağıdaki şekilde oluşur.
