10. Sınıf Matematik Dörtgenler Konu Anlatımı

10. Sınıf Matematik Dörtgenler Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımızda çokgenler konusunu çözümlü örnek sorular ile birlikte anlattık arkadaşlar. Konu anlatımı dersimizden sonra Dörtgenler Çözümlü Sorular ve Problemleri yazımızıda inceleyebilirsiniz. İşleyeceğimiz konu başlıkları aşağıdaki gibidir;

• Yamuk
• İkizkenar yamuk
• Dik yamuk
• Paralelkenar
• Eşkenar dörtgen
• Dikdörtgen
• Kare
• Deltoid

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan A , B , C ve D noktalarını birleştiren [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA ] ların birleşimine dörtgen denir.
Komşu köşeleri birleştiren doğru parçalarına kenar, karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçalarına da köşegen denir.

 

Örnek: ABCD dörtgen, m(BCF)=80°, m(DAE)=55°, m(CBE)=115°, m(ADF)= x olarak veriliyor. Buna göre x in kaç derece olduğunu bulalım.

Cevap: m(BCD) = 180° – m(BCF)
180° – 115°
= 100° dir.

m(ABC) = 180° – m(CBE)
= 180° – 115°
= 65° dir.

Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360° olduğundan,
m(DAE)+m(ABC)+m(BCD)+m(CDA) = 360°

55° + 65° + 100° + x = 360°
x = 140° bulunur.

 

Bilgi Bulutu: Bir ABCD dörtgeninde komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

\( α=\displaystyle\frac{m(D) + m(C)}{2} \)

 

Bilgi Bulutu: köşegenleri birbirine dik olan bir ABCD dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı, diğer kenar uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.

a² + c² = b² + d²

 

Dörtgenin Çevresi

Bir ABCD dörtgeninin çevresi, dört kenar uzunluğunun toplamına eşittir.

Ç ( ABCD ) = | AB | + | BC | + | CD | + | DA |

 

Örnek: Bir dörtgenin kenar uzunlukları 2, 3, 5 ve 7 ile orantılıdır. Dörtgenin çevre uzunluğu 85 cm olduğuna göre en uzun kenarının kaç cm olduğunu
bulalım.

Cevap: Şekilde gösterilen kenar uzunlukları 2k, 3k, 5k ve 7k dır. Bu durumda
çevre, Ç ( ABCD ) = 85 ⇒ 2k + 3k + 5k + 7k = 85
⇒ 17k = 85
⇒ k = 5 tir.

O hâlde en uzun kenar 7k = 7 . 5 = 35 cm bulunur.

 

ÖZEL DÖRTGENLER

Yamuk VE ÖZELLİKLERİ

En az iki kenarı parelel olan dörtgen yamuk olarak adlandırılır.

* Yamukta tabanlar birbirine paraleldir. ABCD yamuğunda [ AB ] // [ CD ] dir.
• Bir yamukta tabanlardan birine ait bir noktadan, diğer tabana inilen dikme yamuğun yüksekliğidir. [DH] ABCD yamuğunun yüksekliğidir.
• Bir yamukta bir yan kenar ile tabanların oluşturduğu iç açıların toplamı 180° dir. Aşağıdaki şekildeki ABCD yamuğunda,
m(A)+m(D)=180°  ve m(B)+m(C)=180°  dir.

 

Örnek: Aşağıdaki şekilde ABCD yamuk, [ CD ] // [ AB ] dir. Verilenlere göre x ve y nin kaç derece olduğunu bulalım.

Cevap:  m(A)+m(D)=180°  olduğundan,
2 x – 20° + 3 x + 50° = 180° ⇒ 5 x + 30° = 180°
⇒ 5 x = 150°
⇒ x = 30° olur.

m(B)+m(C)=180°  olduğundan,
x + 2y + x = 180° ⇒ 2x + 2y = 180°
⇒ 2 . 30° + 2y = 180°
⇒ 2y = 120°
⇒ y = 60° bulunur.

 

Orta Taban

Bir yamukta paralel olmayan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.

 

Yamukta Orta Taban Uzunluğu

Bir ABCD yamuğunda orta taban uzunluğu alt ve üst tabanların uzunlukları toplamının yarısıdır.

\( |EF| = \displaystyle\frac{|AB| + |DC|}{2} \)

 

İkizkenar Yamuk

Paralel olmayan kenarlarının uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

 

Dik Yamuk

Paralel olmayan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

 

Yamuğun Alanı

Bir yamuğun alanı, taban uzunluklarının toplamı ile tabanlara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(a + c).h}{2} \)

 

Paralelkenar

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir.
ABCD paralelkenarında
[ AB ] // [ DC ] ve [ AD ] // [ BC ] dir.

 

Örnek: ABCD yamuk ve KBCD paralelkenardır. m(DCB) = 120° ve m(DAK) = 60° ise m(ADK) = x’in değeri kaçtır?

 

Çözüm; KBCD paralelkenar olduğundan karşılıklı köşelerdeki açıların ölçüleri eşittir.
m(DCB) =m(BKD) = 120° dir.

AKD açısı ile BKD açısı bütünler olduğundan
m(AKD) +m(BKD) = 180°
m(AKD) + 120° = 180°
m(AKD) = 180° – 120°
m(AKD) = 60° olur.

 

Paralelkenarın Alanı

[ DE ] ⊥ [ AB ] , [ DF ] ⊥ [ BC ], | AB | = a, | BC | = b ise
A ( ABCD ) = a . ha = b . hb dir.

 

Not: Paralelkenarın bir köşegeni, paralelkenarın alanını iki eş bölgeye ayırır.

 

Not: Paralelkenarın köşegenleri, paralelkenarın alanını dört eş bölgeye ayırır.

 

Eşkenar Dörtgen

Kenar uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a’dır.

 

Eşkenar Dörtgenin Alanı

ABCD eşkenar dörtgeninde;
| DH | = h , | AC | = e , | BD | = f , | AB | = a ise,
A ( ABCD ) = a . h

 

Dikdörtgen

Bütün iç açıları dik açı olan paralelkenara dikdörtgen denir.

Örnek: ABCD dikdörtgeninde [AC] ve [BD] köşegenler olmak üzere |AO| = (3x + 1) br, |OB| = (x + 7) br ise x değeri kaçtır ?

Çözüm; Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir ve köşegenler birbirini ortalar.
|AO| = |BO|
3x + 1 = x + 7
3x – x = 7 – 1
2x = 6
x = 3 bulunur.

Dikdörtgenin Alanı

ABCD dikdörtgeninin alanı;
A ( ABCD ) = | AD | . | AB |

 

Kare

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan dikdörtgene kare denir.

Karenin Alanı

Kenar uzunluğu a br olan karenin alanı,
A(ABCD) = a² br² dir.

Örnek: Şekilde ABCD kare, BEC bir eşkenar üçgen, [BD] köşegen olduğuna göre m(BDE) = a kaç derecedir?

Çözüm; Karede köşegen aynı zamanda açıortaydır. Bu nedenle;
m(CDB) =m (CBD) = 45° olur.

BEC bir eşkenar üçgendir. Bu nedenle BEC üçgeninin kenarları eş ve bütün açılarının ölçüleri 60° dir. Buna göre |BE| = |EC| = |CD| olur.

Bu durumda CDE ikizkenar üçgendir.

Buradan m(ECD) = 150°, m(CED) = m(EDC) = 15° olur. Bu durumda m(CDB) = 45°olduğundan;

m(CDB) = m(BDE) +m(EDC)
45° = α + 15
45° – 15° = α
α = 30° bulunur.

Deltoid

Aynı tabanlı iki ikizkenar üçgenin tabanlarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgene deltoid denir. Kare ve eşkenar dörtgen birer deltoiddir.

 

Deltoidin Alanı

Deltoidin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{|AC|.|BD|}{2} \)

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.