11. Sınıf Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri Çözümlü Sorular

11. Sınıf Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri Çözümlü Soruların ve Problemelrin olacağı bu yazımızda cevaplanmış örnek test sorularını paylaaşcağız sevgili arkadaşlar.

Çözümlü Soru konularımız; İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri, İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümeleri, İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri, İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri ve İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Çözüm Kümelerinden oluşacaktır.

Örnek: Aşağıdaki ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.

x2 – 3y2 = -21

x2 + y2 = 43

Cevap: Verilen denklem sisteminde ikinci denklemi (–1) ile çarpıp denklemleri taraf tarafa toplayalım.

Bulduğumuz değerleri denklem sistemindeki herhangi bir denklemde yerine yazarsak

Buradan verilen denklem sisteminin çözüm kümesi;

 

Örnek: Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini R² de bulalım.

y = 4x² – x – 6
y = 2x² + x – 2

Cevap: Verilen denklem sistemindeki ilk denklemin y değerini ikinci denklemde yerine yazıp bilinmeyen sayısını bire indirerek önce x değerini bulalım.

y = 4x² – x – 6 ve y = 2x² + x – 2 ise

4x² – x – 6 = 2x² + x – 2
2x² – 2x – 4 = 0
2(x – 2) . (x + 1) = 0
x = 2 veya x = –1 bulunur.

x = 2 için y = 4 . 2² – 2 – 6 olur; y = 8 ve
x = –1 için y = 4 . (–1)² – (–1) – 6 olur; y = –1 olur.
O hâlde bu denklem sisteminin çözümü, (–1, –1) ve (2, 8) noktalarıdır.
Çözüm kümesi,

Ç = {(–1, –1), (2, 8)} olur.

 

Örnek: “Karesi 6 fazlasından küçük ya da 6 fazlasına eşit olan gerçek sayılar” kümesini cebir yardımıyla bulalım.

Çözüm: Herhangi bir gerçek sayıyı x temsil ederse
x² ≤ x + 6 ⇒ x² – x – 6 ≤ 0 eşitsizliği elde edilir.

x² – x – 6 = 0 denkleminde Δ = (–1)² – 4 . 1 . (–6) = 25 > 0 dır.
Bu denklemin köklerini çarpanlara ayırmayı kullanarak bulalım.
x² – x – 6 = 0 ⇒ (x – 3) . (x + 2) = 0 ⇒ x = 3 veya x = –2 olur.
Şimdi eşitsizliğe ait işaret tablosunu oluşturalım.

Yukarıdaki işaret tablosu incelendiğinde x² – x – 6 ifadesinin
x in (–2, 3) aralığındaki değerleri için negatif,
x in 3 ten büyük olan ve –2 den küçük olan değerleri için pozitif,
x = –2 ve x = 3 değerleri için ise 0 olduğu görülür.

O hâlde karesi 6 fazlasından küçük ya da 6 fazlasına eşit olan gerçek sayılar, [–2, 3] nda bulunan gerçek sayılardır.

 

Örnek: –15x² ≥ 7 – 8x eşitsizliğinin çözüm kümesini R de bulalım.

Çözüm:  İstenen çözüm kümesini cebir yardımıyla bulalım. Bunun için f(x) = –15x² + 8x – 7 fonksiyonuna ait işaret tablosunu yapalım.  Önce –15x² + 8x –7 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

İşaret tablosunda da görüldüğü gibi tüm gerçek sayılar için –15x² + 8x – 7 ifadesi, daima negatiftir.
Yani –15x² + 8x – 7 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = ∅ dir.

 

Örnek: Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini R de bulalım.

x – 3 < 0
x² – 5x -6 > 0

Çözüm: Verilen eşitsizlik sistemindeki eşitsizliklerin çözümlerini ayrı ayrı bulalım.
x – 3 < 0 için x – 3 = 0 ⇒ x = 3
x² – 5x – 6 > 0 için x² – 5x – 6 = 0 ⇒ x = –1 veya x = 6 dır.
Bulunan kökleri işaret tablosunda küçükten büyüğe yazıp işaret tablosunu dolduralım.

Yapılan işaret tablosundan x – 3 ifadesinin negatif ve x² – 5x – 6 ifadesinin pozitif olduğu ortak çözüm (∞, –1) olduğu görülür.

O hâlde verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi Ç = {x| x < –1, x ∈ R} elde edilir.

 

Örnek: –15 < x² – 8x < 9 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini Z de bulalım.

Bir cevap yazın