11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.

Birim çemberde trigonometrik fonksyionlar
Dik üçgende dar açıların trigonometrik oranı
Geniş açıların trigonometrik oranları
Üçgende trigonometrik bağıntılar
Ters trigonometrik fonksiyonlar

BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonu

x : apsis

y : ordinat

Pozitif yönlü bir α açısının birim çemberde bitim noktasına P dersek, bu P noktasının apsisine α açısının kosinüsü denir. x= cosα şeklinde gösterilir. α açısını cosα yapan fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir. Birim çember 1 birim olduğundan -1 ≤ cosα ≤ 1 olur.

P noktasının ordinatına ise α açısının sinüsü denir. y = sinα şeklinde gösterilir. α açısını sinα yapan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir. Birim çember 1 birim olduğunda -1 ≤ sinα ≤ 1 olur.

P ( cos α, sin α ) olarak ifade edebiliriz.

cos²α +sin²α = 1

A noktasının koordinatları (cos0, sin0) = ( 1, 0 ) dır.

B noktasının koordinatları (cos90, sin90) = ( 0, 1 ) dir.

C noktasının koordinatları (cos180, sin180) = ( -1, 0 ) dir.

D noktasının koordinatları (cos270, sin270) = ( 0, -1 ) dir.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu

Pozitif yönlü bir α açısının bitim kolu olan [OP ışınının x = 1 doğrusu ile kesiştiği noktaya T noktası dersek, T noktasının ordinatına α açısının tanjantı denir. tan α şeklinde gösterilir. α reel sayısını tan α yapan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir. tan α [-∞, ∞] aralığındadır.

Pozitif yönlü bir α açısının bitim kolu olan [OP ışınının y = 1 doğrusu ile kesiştiği noktaya K noktası dersek, K noktasının apsisine α açısının kontanjantı denir. cot α şeklinde gösterilir. α reel sayısını cot α yapan fonksiyona kontanjantı fonksiyonu denir. cot α [-∞, ∞] aralığındadır.

Kosekant, Sekant Fonksiyonu

Birim çemberde pozitif yönlü bir α açısının çember üzerindeki noktası P dersek ve çembere bu P noktasından geçen bir teğet çizildiğinde; teğetin x eksenini kestiği noktaya sekant, y eksenini kestiği noktaya kosekant denir. Sekant sec α ve kosekant cosec α şeklinde gösterilir.

secα = $ \displaystyle\frac{1}{cosα} $ ve cosecα = $ \displaystyle\frac{1}{sinα} $

NOT: cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara eşit olamaz.

1 + tan²x = sec²x1 + cot²x = cosec²x

Örnek;

\[ \displaystyle\frac{sinx}{cotx + cosecx} – \displaystyle\frac{sinx}{cotx-cosecx} \]

ifadesi kaça eşittir ?

Çözüm; Öncelikle sorumuzda iki kesirinde payı sinx olduğuna eşitliği sinx parantezine alarak başlayalım. Sonrada paydadaki cotx ve cosecx değerlerini sinx ve cosx cinsinden yazalım.

\[ = sinx\left( \displaystyle\frac{1}{cotx + cosecx} – \frac{1}{cotx-cosecx}\right) \]

\[ = sinx \left(\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx}{sinx} + \displaystyle\frac{1}{sinx}} – \frac{1}{\displaystyle\frac{cosx}{sinx} – \displaystyle\frac{1}{sinx}}\right) \]

\[ = sinx \left(\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx + 1}{sinx}} – \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx -1}{sinx}}\right) \]

\[ = sinx \left(\displaystyle\frac{sinx}{cosx + 1}- \frac{sinx}{cosx -1}\right) \]

\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{1}{cosx + 1}- \frac{1}{cosx -1}\right) \]

paydaları eşlenikleri ile çarparsak;

\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{cosx-1-cosx-1}{cos^2x – 1}\right) \]

\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{-2}{-sin²x}\right) \]

= 2 olarak cevabımızı buluruz.

DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

Ölçüleri toplamı α + θ = 90º olan iki tümler açı için;

♦ sin α = cos θ

♦ tan α = cot θ

♦ sec α = cosec θ olur.

NOT : α eksi yönlü bir açı olmak üzere;

sin(-α) = -sin α

cos(-α) = cos α

tan(-α) = -tan α

cot(-α) = -cot α olur.

Dar açılara en çok ihtiyacımız olan yerler özel üçgenlerdeki açılardır. Sorularda da karşımıza bu özel üçgenler çokça çıkarlar. Buna göre bazı özel üçgenlerin ve açılarının trigonometrik değerlerinin üzerinden geçelim.

30 – 60- 90 Üçgeni

30 – 60 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 30, cos 30, tan 30, cot 30, sec 30, cosec 30, sin 60, cos 60, tan 60, cot 60, sec 60 ve cosec 60 olacaktır.

45 – 45- 90 Üçgeni

45 – 45 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 45, cos 45, tan 45, cot 45, sec 45 ve cosec 45 olacaktır.

GENİŞ AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

İlk verilen açı, esas ölçü dışında yani [0º, 360º] aralığı dışında ise öncelikle esas ölçüsü bulunur. α< 90º olduğu kabul edilerek trigonometrik oranın işareti belirlenir. Aşağıdaki tablolardan bulun için yardım alabilirsiniz. Eğer negatifse, başa ” –” işareti konulur.

α< 90º olmak üzere koordinat sisteminde I. bölgede ve II. bölgede trigonometrik fonksiyonlar;

α< 90º olmak üzere koordinat sisteminde III. bölgede ve IV. bölgede trigonometrik fonksiyonlar;

NOT: $\displaystyle 90{}^\circ$ ya da nin tek katlarında (90º, 270º..) sinüs ile kosinüs, tanjant ile kotanjant yer değiştirir. $\displaystyle 90{}^\circ$ ya da nin çift katlarında (180º, 360º..) fonksiyonların adı aynı olur.

Örnek:

cos(90+x) dar açıya dönüştürülürse neye eşit olur ?

Çözüm:

90+x açısı II. bölgededir. II. bölgede kosinüs (-) dir. Dolayısıyla başa (-) işareti gelecektir. 90 açısı da 90’ın 1 katıdır(tek katı). Dolayısıyla kosinüs, sinüse dönüşecektir. O halde,

cos(90+x)= – sinx olur.

ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

Kosinüs Teoremi

Bir üçgende iki kenar ve arasındaki açıyı bilerek, karşıdaki kenarı Kosinüs Teoremi ile hesaplayabiliriz.

a² = b² + c² – 2.b.c.cos α

Örnek;

Yukarıda ABC ve ECD üçgenleri verilmiştir. [ED] = x ise x kaçtır ?

Çözüm;

ABC üçgeninden cos α yı bulalım.

7² = 5² + 8² – 2.5.8. cos α

49 = 25 + 64 – 80cos α

49 = 89 – 80cos α

-40 = -80 cos α

1/2 = cos α olur. Bu durumda cos(180 – α), II. bölgede ve işareti – olacağından

cos(180 – α) = -1/2 olur.

ECD üçgeninde iki kenarı ve bir açıyı bildiğimize göre kosinüs teoremi uygularsak;

x² = 2² + 3² – 2.2.3.cos(180 – α)

x² = 4 + 9 – 12.(-1/2)

x² = 13 +6

x² = 19

x = √ 19 olur.

Sinüs Teoremi

Bir üçgende kenar ile karşısındaki açının sinüsü arasında doğru orantı vardır. Bu oran da çevrel çemberin yarıçapının 2 katıdır.

\[ \displaystyle\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sinC} = 2R \]

Örnek;

tan α kaçtır ?

Çözüm;

|AD| = |DC| olduğuna göre, m(DAC) = α’dır. BDC üçgeni bir 3-4-5 üçgeni ve sin B = 3/5’tir. ABC üçgeninde sinüs teoremi uygularsak,

$ \displaystyle\frac{4}{sin α} = \frac{8}{sin(90 + α)} $

$ \displaystyle\frac{4}{sin α} = \frac{8}{cos α} $

$ \displaystyle\frac{4}{8} = \frac{sin α}{cos α} $

$ \displaystyle\frac{1}{2} = tan α $

Sinüs Alan Formülü

\[ A(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2}.b.c.sinα \]

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

sin (α) ‘nın tersi ; arcsin (α) veya $ sin^{-1}(α) $’dır.

cos (α) ‘nın tersi ; arccos (α) veya $ cos^{-1}(α) $’dır.

tan (α) ‘nın tersi ; arctan (α) veya $ tan^{-1}(α) $’dır.

cot (α) ‘nın tersi ; arccot (α) veya $ cot^{-1}(α) $’dır.

Arksinüs Fonksiyonu

Tanım aralığı -90º≤ sin α ≤ 90º alınmış sin α fonksiyonunun tersine arcsin α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = sin α : [-90º, 90º] -> [-1, 1] ise bu fonksiyonun tersi,

f^–1(x) = sin^–1 α = arcsin α : [-1, 1] -> [-90º, 90º] olur.

Örnek;

arcsin (1/2) kaç derecedir ?

Çözüm;

arcsin (1/2)’nin kaç derece olduğunu bulmak için sin α = 1/2 olan α açısı kaçtır dememiz lazım. Bunun için bir dik üçgen çizersek;

Kenarlarına göre baktığımızda; sin α , 30 – 60 – 90 üçgeninde 1/2 olduğuna göre α açımız 30º olur.

Arkkosinüs Fonksiyonu

Tanım aralığı 0º≤ cos α ≤ 180º alınmış cos α fonksiyonunun tersine arccos α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = cos α : [0º, 180º] -> [-1, 1] ise bu fonksiyonun tersi,

f^–1(x) = cos^–1 α = arccos α : [-1, 1] -> [0º, 180º] olur.

Arktanjant Fonksiyonu

Tanım aralığı -90º≤ tan α ≤ 90º alınmış tan α fonksiyonunun tersine arctan α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = tan α : [-90º, 90º] -> $ \mathbb{R} $ ise bu fonksiyonun tersi,

f^–1(x) = tan^–1 α = arctan α : $ \mathbb{R} $-> [-90º, 90º] olur.

Arkkotanjant Fonksiyonu

Tanım aralığı 0º≤ cot α ≤ 180º alınmış cot α fonksiyonunun tersine arccot α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = cot α : [0º, 180º] -> $ \mathbb{R} $ ise bu fonksiyonun tersi,

f^–1(x) = cot^–1 α = arccot α : $ \mathbb{R} $-> [0º, 180º] olur.

Örnek;

arccot(1) + arctan($ \displaystyle\frac{-√3}{3} $)

toplamının sonucunu radyan cinsinden bulunuz .

Çözüm;

arccot fonksyionunun değer aralığı [0º, 180º]’dir. Kotanjantı 1 olan açı;

arccot(1) = cot^–1 α = 45º olur. (cot 45 = 1) Tanjantı $ \displaystyle\frac{-√3}{3} $

olan açı;

arctan($ \displaystyle\frac{-√3}{3} $) = tan^–1 α = 120º olur. (tan 120 = $ \displaystyle\frac{-√3}{3} $) olur.

45º + 120º = 165º, π = 180º olduğuna göre, 165º;

165º/180º = 11π/12’dir.

NOT:

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu, fonksiyonun kendisine eşittir.

♦ sin(arcsin α) = α

♦ cos(arccos α) = α

♦ tan(arctan α) = α

♦ cot(arccot α) = α

Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonu

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu

Kosekant, Sekant Fonksiyonu

secα = \( \displaystyle\frac{1}{cosα} \) ve cosecα = \( \displaystyle\frac{1}{sinα} \)

DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

30 – 60- 90 Üçgeni

45 – 45- 90 Üçgeni

GENİŞ AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

Kosinüs Teoremi

a² = b² + c² – 2.b.c.cos α

Sinüs Teoremi

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Arksinüs Fonksiyonu

Arkkosinüs Fonksiyonu

Arktanjant Fonksiyonu

Arkkotanjant Fonksiyonu