Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.
- Birim çemberde trigonometrik fonksyionlar
- Dik üçgende dar açıların trigonometrik oranı
- Geniş açıların trigonometrik oranları
- Üçgende trigonometrik bağıntılar
- Ters trigonometrik fonksiyonlar
BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR
Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonu
x : apsis
y : ordinat
Pozitif yönlü bir α açısının birim çemberde bitim noktasına P dersek, bu P noktasının apsisine α açısının kosinüsü denir. x= cosα şeklinde gösterilir. α açısını cosα yapan fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir. Birim çember 1 birim olduğundan -1 ≤ cosα ≤ 1 olur.
P noktasının ordinatına ise α açısının sinüsü denir. y = sinα şeklinde gösterilir. α açısını sinα yapan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir. Birim çember 1 birim olduğunda -1 ≤ sinα ≤ 1 olur.
P ( cos α, sin α ) olarak ifade edebiliriz.
cos²α +sin²α = 1
A noktasının koordinatları (cos0, sin0) = ( 1, 0 ) dır.
B noktasının koordinatları (cos90, sin90) = ( 0, 1 ) dir.
C noktasının koordinatları (cos180, sin180) = ( -1, 0 ) dir.
D noktasının koordinatları (cos270, sin270) = ( 0, -1 ) dir.
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu
Pozitif yönlü bir α açısının bitim kolu olan [OP ışınının x = 1 doğrusu ile kesiştiği noktaya T noktası dersek, T noktasının ordinatına α açısının tanjantı denir. tan α şeklinde gösterilir. α reel sayısını tan α yapan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir. tan α [-∞, ∞] aralığındadır.
Pozitif yönlü bir α açısının bitim kolu olan [OP ışınının y = 1 doğrusu ile kesiştiği noktaya K noktası dersek, K noktasının apsisine α açısının kontanjantı denir. cot α şeklinde gösterilir. α reel sayısını cot α yapan fonksiyona kontanjantı fonksiyonu denir. cot α [-∞, ∞] aralığındadır.
Kosekant, Sekant Fonksiyonu
Birim çemberde pozitif yönlü bir α açısının çember üzerindeki noktası P dersek ve çembere bu P noktasından geçen bir teğet çizildiğinde; teğetin x eksenini kestiği noktaya sekant, y eksenini kestiği noktaya kosekant denir. Sekant sec α ve kosekant cosec α şeklinde gösterilir.
secα = \( \displaystyle\frac{1}{cosα} \) ve cosecα = \( \displaystyle\frac{1}{sinα} \)
NOT: cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara eşit olamaz.
1 + tan2x = sec2x1 + cot2x = cosec2x
Örnek;
\[ \displaystyle\frac{sinx}{cotx + cosecx} – \displaystyle\frac{sinx}{cotx-cosecx} \]
ifadesi kaça eşittir ?
Çözüm; Öncelikle sorumuzda iki kesirinde payı sinx olduğuna eşitliği sinx parantezine alarak başlayalım. Sonrada paydadaki cotx ve cosecx değerlerini sinx ve cosx cinsinden yazalım.
\[ = sinx\left( \displaystyle\frac{1}{cotx + cosecx} – \frac{1}{cotx-cosecx}\right) \]
\[ = sinx \left(\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx}{sinx} + \displaystyle\frac{1}{sinx}} – \frac{1}{\displaystyle\frac{cosx}{sinx} – \displaystyle\frac{1}{sinx}}\right) \]
\[ = sinx \left(\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx + 1}{sinx}} – \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx -1}{sinx}}\right) \]
\[ = sinx \left(\displaystyle\frac{sinx}{cosx + 1}- \frac{sinx}{cosx -1}\right) \]
\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{1}{cosx + 1}- \frac{1}{cosx -1}\right) \]
paydaları eşlenikleri ile çarparsak;
\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{cosx-1-cosx-1}{cos^2x – 1}\right) \]
\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{-2}{-sin²x}\right) \]
= 2 olarak cevabımızı buluruz.
DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI
Ölçüleri toplamı α + θ = 90º olan iki tümler açı için;
♦ sin α = cos θ
♦ tan α = cot θ
♦ sec α = cosec θ olur.
NOT : α eksi yönlü bir açı olmak üzere;
sin(-α) = -sin α
cos(-α) = cos α
tan(-α) = -tan α
cot(-α) = -cot α olur.
Dar açılara en çok ihtiyacımız olan yerler özel üçgenlerdeki açılardır. Sorularda da karşımıza bu özel üçgenler çokça çıkarlar. Buna göre bazı özel üçgenlerin ve açılarının trigonometrik değerlerinin üzerinden geçelim.
30 – 60- 90 Üçgeni
30 – 60 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 30, cos 30, tan 30, cot 30, sec 30, cosec 30, sin 60, cos 60, tan 60, cot 60, sec 60 ve cosec 60 olacaktır.
45 – 45- 90 Üçgeni
45 – 45 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 45, cos 45, tan 45, cot 45, sec 45 ve cosec 45 olacaktır.
GENİŞ AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI
İlk verilen açı, esas ölçü dışında yani [0º, 360º] aralığı dışında ise öncelikle esas ölçüsü bulunur. α< 90º olduğu kabul edilerek trigonometrik oranın işareti belirlenir. Aşağıdaki tablolardan bulun için yardım alabilirsiniz. Eğer negatifse, başa ” –” işareti konulur.
α< 90º olmak üzere koordinat sisteminde I. bölgede ve II. bölgede trigonometrik fonksiyonlar;
α< 90º olmak üzere koordinat sisteminde III. bölgede ve IV. bölgede trigonometrik fonksiyonlar;
NOT: 90° ya da \( \displaystyle\frac{π}{2} \) nin tek katlarında (90º, 270º..) sinüs ile kosinüs, tanjant ile kotanjant yer değiştirir. 90° ya da \( \displaystyle\frac{π}{2} \) nin çift katlarında (180º, 360º..) fonksiyonların adı aynı olur.
Örnek:
cos(90+x) dar açıya dönüştürülürse neye eşit olur ?
Çözüm:
90+x açısı II. bölgededir. II. bölgede kosinüs (-) dir. Dolayısıyla başa (-) işareti gelecektir. 90 açısı da 90’ın 1 katıdır(tek katı). Dolayısıyla kosinüs, sinüse dönüşecektir. O halde,
cos(90+x)= – sinx olur.
ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR
Kosinüs Teoremi
Bir üçgende iki kenar ve arasındaki açıyı bilerek, karşıdaki kenarı Kosinüs Teoremi ile hesaplayabiliriz.
a² = b² + c² – 2.b.c.cos α
Örnek;
Yukarıda ABC ve ECD üçgenleri verilmiştir. [ED] = x ise x kaçtır ?
Çözüm;
ABC üçgeninden cos α yı bulalım.
7² = 5² + 8² – 2.5.8. cos α
49 = 25 + 64 – 80cos α
49 = 89 – 80cos α
-40 = -80 cos α
1/2 = cos α olur. Bu durumda cos(180 – α), II. bölgede ve işareti – olacağından
cos(180 – α) = -1/2 olur.
ECD üçgeninde iki kenarı ve bir açıyı bildiğimize göre kosinüs teoremi uygularsak;
x² = 2² + 3² – 2.2.3.cos(180 – α)
x² = 4 + 9 – 12.(-1/2)
x² = 13 +6
x² = 19
x = √ 19 olur.
Sinüs Teoremi
Bir üçgende kenar ile karşısındaki açının sinüsü arasında doğru orantı vardır. Bu oran da çevrel çemberin yarıçapının 2 katıdır.
\[ \displaystyle\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sinC} = 2R \]
Örnek;
tan α kaçtır ?
Çözüm;
|AD| = |DC| olduğuna göre, m(DAC) = α’dır. BDC üçgeni bir 3-4-5 üçgeni ve sin B = 3/5’tir. ABC üçgeninde sinüs teoremi uygularsak,
\( \displaystyle\frac{4}{sin α} = \frac{8}{sin(90 + α)} \)
\( \displaystyle\frac{4}{sin α} = \frac{8}{cos α} \)
\( \displaystyle\frac{4}{8} = \frac{sin α}{cos α} \)
\( \displaystyle\frac{1}{2} = tan α \)
Sinüs Alan Formülü
\[ A(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2}.b.c.sinα \]
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
sin (α) ‘nın tersi ; arcsin (α) veya \( sin^{-1}(α) \)’dır.
cos (α) ‘nın tersi ; arccos (α) veya \( cos^{-1}(α) \)’dır.
tan (α) ‘nın tersi ; arctan (α) veya \( tan^{-1}(α) \)’dır.
cot (α) ‘nın tersi ; arccot (α) veya \( cot^{-1}(α) \)’dır.
Arksinüs Fonksiyonu
Tanım aralığı -90º≤ sin α ≤ 90º alınmış sin α fonksiyonunun tersine arcsin α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;
f(x) = sin α : [-90º, 90º] -> [-1, 1] ise bu fonksiyonun tersi,
f–1(x) = sin–1 α = arcsin α : [-1, 1] -> [-90º, 90º] olur.
Örnek;
arcsin (1/2) kaç derecedir ?
Çözüm;
arcsin (1/2)’nin kaç derece olduğunu bulmak için sin α = 1/2 olan α açısı kaçtır dememiz lazım. Bunun için bir dik üçgen çizersek;
Kenarlarına göre baktığımızda; sin α , 30 – 60 – 90 üçgeninde 1/2 olduğuna göre α açımız 30º olur.
Arkkosinüs Fonksiyonu
Tanım aralığı 0º≤ cos α ≤ 180º alınmış cos α fonksiyonunun tersine arccos α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;
f(x) = cos α : [0º, 180º] -> [-1, 1] ise bu fonksiyonun tersi,
f–1(x) = cos–1 α = arccos α : [-1, 1] -> [0º, 180º] olur.
Arktanjant Fonksiyonu
Tanım aralığı -90º≤ tan α ≤ 90º alınmış tan α fonksiyonunun tersine arctan α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;
f(x) = tan α : [-90º, 90º] -> \( \mathbb{R} \) ise bu fonksiyonun tersi,
f–1(x) = tan–1 α = arctan α : \( \mathbb{R} \)-> [-90º, 90º] olur.
Arkkotanjant Fonksiyonu
Tanım aralığı 0º≤ cot α ≤ 180º alınmış cot α fonksiyonunun tersine arccot α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;
f(x) = cot α : [0º, 180º] -> \( \mathbb{R} \) ise bu fonksiyonun tersi,
f–1(x) = cot–1 α = arccot α : \( \mathbb{R} \)-> [0º, 180º] olur.
Örnek;
arccot(1) + arctan(\( \displaystyle\frac{-√3}{3} \))
toplamının sonucunu radyan cinsinden bulunuz .
Çözüm;
arccot fonksyionunun değer aralığı [0º, 180º]’dir. Kotanjantı 1 olan açı;
arccot(1) = cot–1 α = 45º olur. (cot 45 = 1) Tanjantı \( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)
olan açı;
arctan(\( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)) = tan–1 α = 120º olur. (tan 120 = \( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)) olur.
45º + 120º = 165º, π = 180º olduğuna göre, 165º;
165º/180º = 11π/12’dir.
NOT:
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu, fonksiyonun kendisine eşittir.
♦ sin(arcsin α) = α
♦ cos(arccos α) = α
♦ tan(arctan α) = α
♦ cot(arccot α) = α
Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.
11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı
11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı
11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı
Trigonometri Çözümlü Sorular-1