11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.

  • Birim çemberde trigonometrik fonksyionlar
  • Dik üçgende dar açıların trigonometrik oranı
  • Geniş açıların trigonometrik oranları
  • Üçgende trigonometrik bağıntılar
  • Ters trigonometrik fonksiyonlar

BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonu

x : apsis

y : ordinat

Pozitif yönlü bir α açısının birim çemberde bitim noktasına P dersek, bu P noktasının apsisine α açısının kosinüsü denir.  x= cosα şeklinde gösterilir. α açısını cosα yapan fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir. Birim çember 1 birim olduğundan  -1 ≤ cosα ≤ 1 olur.

P noktasının ordinatına ise α açısının sinüsü denir. y = sinα şeklinde gösterilir. α açısını sinα yapan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir. Birim çember 1 birim olduğunda -1 ≤ sinα ≤ 1 olur.

P ( cos α, sin α ) olarak ifade edebiliriz. 

cos²α +sin²α  = 1

 

A noktasının koordinatları (cos0, sin0) = ( 1, 0 )  dır.

B noktasının koordinatları (cos90, sin90) = ( 0, 1 )  dir.

C noktasının koordinatları (cos180, sin180) = ( -1, 0 )  dir.

D noktasının koordinatları (cos270, sin270) = ( 0, -1 )  dir.

 

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu

Pozitif yönlü bir α açısının bitim kolu olan [OP ışınının x = 1 doğrusu ile kesiştiği noktaya T noktası dersek, T noktasının ordinatına α açısının tanjantı denir.  tan α şeklinde gösterilir. α reel sayısını tan α yapan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir. tan α [-∞, ∞] aralığındadır.

Pozitif yönlü bir α açısının bitim kolu olan [OP ışınının y = 1 doğrusu ile kesiştiği noktaya K noktası dersek, K noktasının apsisine α açısının kontanjantı denir.  cot α şeklinde gösterilir. α reel sayısını cot α yapan fonksiyona kontanjantı fonksiyonu denir. cot α [-∞, ∞] aralığındadır.

Kosekant, Sekant Fonksiyonu

Birim çemberde pozitif yönlü bir α açısının çember üzerindeki noktası P dersek ve çembere bu P noktasından geçen bir teğet çizildiğinde; teğetin x eksenini kestiği noktaya sekant, y eksenini kestiği noktaya kosekant denir.   Sekant sec α ve kosekant cosec α şeklinde gösterilir.

secα = ​\( \displaystyle\frac{1}{cosα} \)​   ve    cosecα = \( \displaystyle\frac{1}{sinα} \)

 

NOT:  cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara eşit olamaz.

1 + tan2x = sec2x1 + cot2x = cosec2x

Örnek;

\[ \displaystyle\frac{sinx}{cotx + cosecx} – \displaystyle\frac{sinx}{cotx-cosecx} \]

ifadesi kaça eşittir ?

Çözüm;  Öncelikle sorumuzda iki kesirinde payı sinx olduğuna eşitliği sinx parantezine alarak başlayalım. Sonrada paydadaki cotx ve cosecx değerlerini sinx ve cosx cinsinden yazalım.

\[ = sinx\left( \displaystyle\frac{1}{cotx + cosecx} – \frac{1}{cotx-cosecx}\right) \]

\[ = sinx \left(\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx}{sinx} + \displaystyle\frac{1}{sinx}} – \frac{1}{\displaystyle\frac{cosx}{sinx} – \displaystyle\frac{1}{sinx}}\right) \]

\[ = sinx \left(\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx + 1}{sinx}} – \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx -1}{sinx}}\right) \]

\[ = sinx \left(\displaystyle\frac{sinx}{cosx + 1}- \frac{sinx}{cosx -1}\right) \]

\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{1}{cosx + 1}- \frac{1}{cosx -1}\right) \]

paydaları eşlenikleri ile çarparsak;

\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{cosx-1-cosx-1}{cos^2x – 1}\right) \]

\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{-2}{-sin²x}\right) \]

= 2 olarak cevabımızı buluruz.

 

DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

Ölçüleri toplamı α + θ  = 90º olan iki tümler açı için;

♦   sin α = cos θ

♦    tan α = cot θ

♦   sec α = cosec θ  olur.

NOT :  α eksi yönlü bir açı olmak üzere; 

sin(-α) = -sin α

cos(-α) = cos α

tan(-α) = -tan α

cot(-α) = -cot α  olur.

Dar açılara en çok ihtiyacımız olan yerler özel üçgenlerdeki açılardır. Sorularda da karşımıza bu özel üçgenler çokça çıkarlar. Buna göre bazı özel üçgenlerin ve açılarının trigonometrik değerlerinin üzerinden geçelim.

30 – 60- 90 Üçgeni

30 – 60 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 30, cos 30, tan 30, cot 30, sec 30, cosec 30, sin 60, cos 60, tan 60, cot 60, sec 60 ve cosec 60 olacaktır.

45 – 45- 90 Üçgeni

45 – 45 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 45, cos 45, tan 45, cot 45, sec 45 ve cosec 45 olacaktır.

GENİŞ AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

İlk verilen açı, esas ölçü dışında yani [0º, 360º] aralığı dışında ise öncelikle esas ölçüsü bulunur.  α< 90º olduğu kabul edilerek  trigonometrik oranın işareti belirlenir. Aşağıdaki tablolardan bulun için yardım alabilirsiniz. Eğer negatifse, başa ” –” işareti konulur.

α< 90º olmak üzere koordinat sisteminde I. bölgede ve II. bölgede trigonometrik fonksiyonlar; 

α< 90º olmak üzere koordinat sisteminde III. bölgede ve IV. bölgede trigonometrik fonksiyonlar; 

 

NOT:  \displaystyle 90{}^\circ ya da  nin tek katlarında (90º, 270º..) sinüs ile kosinüs, tanjant ile kotanjant yer değiştirir. \displaystyle 90{}^\circ ya da  nin çift katlarında (180º, 360º..) fonksiyonların adı aynı olur.

 

Örnek:  

cos(90+x) dar açıya dönüştürülürse neye eşit olur ?

Çözüm:  

90+x açısı II. bölgededir. II. bölgede kosinüs (-) dir. Dolayısıyla başa (-) işareti gelecektir. 90 açısı da 90’ın 1 katıdır(tek katı). Dolayısıyla kosinüs, sinüse dönüşecektir. O halde,

cos(90+x)= – sinx  olur.

 

ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

Kosinüs Teoremi

Bir üçgende iki kenar ve arasındaki açıyı bilerek, karşıdaki kenarı Kosinüs Teoremi ile hesaplayabiliriz.

a² = b² + c² – 2.b.c.cos α

Örnek;

Yukarıda ABC ve ECD üçgenleri verilmiştir. [ED] = x ise x kaçtır ?

Çözüm;

ABC üçgeninden cos α yı bulalım.

7² = 5² + 8² – 2.5.8. cos α

49 = 25 + 64 – 80cos α

49 = 89 – 80cos α

-40 = -80 cos α

1/2 = cos α olur. Bu durumda cos(180 – α), II. bölgede ve işareti – olacağından

cos(180 – α) = -1/2 olur.

ECD üçgeninde iki kenarı ve bir açıyı bildiğimize göre kosinüs teoremi uygularsak;

x² = 2² + 3² – 2.2.3.cos(180 – α)

x² = 4 + 9 – 12.(-1/2)

x² = 13 +6

x² = 19

x = √ 19 olur.

 

Sinüs Teoremi

Bir üçgende kenar ile karşısındaki açının sinüsü arasında doğru orantı vardır. Bu oran da çevrel çemberin yarıçapının 2 katıdır.

\[ \displaystyle\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sinC} = 2R \]

 

Örnek;

tan α kaçtır ?

Çözüm;

|AD| = |DC| olduğuna göre, m(DAC) = α’dır. BDC üçgeni bir 3-4-5 üçgeni ve sin B = 3/5’tir. ABC üçgeninde sinüs teoremi uygularsak,

\( \displaystyle\frac{4}{sin α} = \frac{8}{sin(90 + α)} \)

\( \displaystyle\frac{4}{sin α} = \frac{8}{cos α} \)

\( \displaystyle\frac{4}{8} = \frac{sin α}{cos α} \)

\( \displaystyle\frac{1}{2} = tan α \)

 

Sinüs Alan Formülü

\[ A(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2}.b.c.sinα \]

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

 

sin (α) ‘nın tersi ; arcsin (α) veya ​\( sin^{-1}(α) \)​’dır.

cos (α) ‘nın tersi ; arccos (α) veya ​\( cos^{-1}(α) \)​’dır.

tan (α) ‘nın tersi ; arctan (α) veya ​\( tan^{-1}(α) \)​’dır.

cot (α) ‘nın tersi ; arccot (α) veya ​\( cot^{-1}(α) \)​’dır.

Arksinüs Fonksiyonu

Tanım aralığı -90º≤ sin α ≤ 90º alınmış sin α fonksiyonunun tersine  arcsin α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = sin α : [-90º, 90º] -> [-1, 1] ise bu fonksiyonun tersi,

f–1(x) = sin–1 α = arcsin α :  [-1, 1] -> [-90º, 90º]  olur.

 

Örnek;

arcsin (1/2)  kaç derecedir ?

Çözüm;

arcsin (1/2)’nin kaç derece olduğunu bulmak için sin α = 1/2 olan α açısı kaçtır dememiz lazım. Bunun için bir dik üçgen çizersek;

Kenarlarına göre baktığımızda; sin α , 30 – 60 – 90 üçgeninde 1/2 olduğuna göre α açımız 30º olur.

 

Arkkosinüs Fonksiyonu

Tanım aralığı 0º≤ cos α ≤ 180º alınmış cos α fonksiyonunun tersine  arccos α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = cos α : [0º, 180º] -> [-1, 1] ise bu fonksiyonun tersi,

f–1(x) = cos–1 α = arccos α :  [-1, 1] -> [0º, 180º]  olur.

 

Arktanjant Fonksiyonu

Tanım aralığı -90º≤ tan α ≤ 90º alınmış tan α fonksiyonunun tersine  arctan α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = tan α : [-90º, 90º] -> ​\( \mathbb{R} \)​ ise bu fonksiyonun tersi,

f–1(x) = tan–1 α = arctan α :  ​\( \mathbb{R} \)-> [-90º, 90º]  olur.

 

Arkkotanjant Fonksiyonu

Tanım aralığı 0º≤ cot α ≤ 180º alınmış cot α fonksiyonunun tersine  arccot α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = cot α : [0º, 180º] -> ​\( \mathbb{R} \)​ ise bu fonksiyonun tersi,

f–1(x) = cot–1 α = arccot α :  ​\( \mathbb{R} \)-> [0º, 180º]  olur.

 

Örnek;

arccot(1) + arctan(​\( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)​)

toplamının sonucunu radyan cinsinden bulunuz .

Çözüm;

arccot fonksyionunun değer aralığı [0º, 180º]’dir. Kotanjantı 1 olan açı;

arccot(1) = cot–1 α = 45º olur.  (cot 45 = 1) Tanjantı \( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)

olan açı;

arctan(\( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)) = tan–1 α = 120º olur.  (tan 120 = \( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)) olur.

45º + 120º = 165º, π = 180º olduğuna göre, 165º;

165º/180º = 11π/12’dir.

 

NOT: 

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu, fonksiyonun kendisine eşittir.

♦ sin(arcsin α) = α

♦ cos(arccos α) = α

♦ tan(arctan α) = α

♦ cot(arccot α) = α

 

Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

“11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı” için 9 yanıt

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.