11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.

  • Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu
  • Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

PERİYODİK FONKSİYONLAR

 

f, ​\( \mathbb{R} \)​ kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. f‘nin tanım kümesinin her x elemanı için f(x) = f(x + T) olacak şekilde bir T pozitif sayısı varsa bu f fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir. f(x) = f(x + T) koşulunu sağlayan T sayısına fonksiyonun periyodu, T’nin en küçük pozitif değerine defonksiyonun esas periyodu denir.

f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere, f(x) in periyodu k x T dir.

f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere f(k.x) ‘in periyodu T/|k|’dır.

f(x) in esas periyodu T1 ve f(y) nin esas periyodu T2 ise f(x) ± f(y) nin periyodu EKOK(T1, T2) dır.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYODU

 

Her x ∈ \( \mathbb{R} \) ve k ∈ \( \mathbb{R} \) için,

sin(x + 2kπ) = sin x

cos(x + 2kπ) = cos x

tan(x + kπ) = tan x

cot(x + kπ) = cot x

sec(x + 2kπ) = sec x

cosec(x + 2kπ) = cosec x

olduğuna göre sinx, cosx, tanx, secx, cosecx ve cotx fonksiyonları periyodiktir.

Sinüs ve Kosinüsün Esas Periyodu

 

\( cos^{n}(ax + b) \)​ve ​\( sin^{n}(ax + b) \)​ fonksiyonlarının esas periyodu ;

♦ n tek ise ​\( \displaystyle\frac{2π}{|a|} \)

♦ n çift ise ​\( \displaystyle\frac{π}{|a|} \)​olur.

 

Örnek: 

\( sin^{3}\left(\displaystyle\frac{x}{6}+\frac{π}{2}\right) \)​in esas periyodu kaçtır?

Çözüm;

\( sin^{3}\left(\displaystyle\frac{x}{6}+\frac{π}{2}\right) \) fonksiyonunu \( sin^{n}(ax + b) \) fonksiyonuna benzetmek istediğimizde;

\( sin^{3}(\displaystyle\frac{1}{6}x + \displaystyle\frac{π}{2}) \)olur.

Bu durumda x’in katsayısı 1/6 dır. Ayrıca sinüs’ün n. kuvveti n = 3’ten tek kuvvet olduğuna göre periyodu;

\( T = \displaystyle\frac{2π}{\displaystyle\frac{1}{6}} = 12π \)olur.

Tanjant ve Kotanjant’ın Esas Periyodu

 

\( tan^{n}(ax + b) \)​ve ​\( cot^{n}(ax + b) \)​ fonksiyonlarının esas periyodu ;

♦  ​\( T = \displaystyle\frac{π}{|a|} \)​olur.

 

Örnek: 

\( tan^{4}(-5x + 4) \)ün esas periyodu kaçtır?

Çözüm;

\( \displaystyle{tan^{4}(-5x + 4) } \)fonksiyonunda x’in kat sayısı -5 ‘dir. Bu durumda fonksiyonun periyodu ;

\( T = \displaystyle\frac{π}{|-5|} = \displaystyle\frac{π}{5} \) olur.

 

NOT: f(x) =  g(x) ± h(x) fonksiyonlarının esas periyodu, EKOK’larına eşittir. Kesirler en sade biçimde olmak üzere,

\[ \displaystyle{EKOK\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right) = \frac{EKOK(a,c)}{EBOB(b, d)} } \]

olur.

 

Örnek: 

\( \displaystyle{f(x) = cos^{3}\left(5x + \frac{π}{4}\right) – cot^{2}\left(2x + \frac{π}{3}\right)} \)​ fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

Çözüm;

\( cos^{3}\left(5x + \displaystyle\frac{π}{4}\right) \)​ün esas periyodu ​\( \displaystyle\frac{2π}{5} \)​tir.

\( cot^{2}\left(2x + \displaystyle\frac{π}{3}\right) \)​ün esas periyodu ​\( \displaystyle\frac{π}{2} \)​dir.

\( EKOK\left(\displaystyle\frac{2π}{5}, \frac{π}{2}\right) = \displaystyle\frac{EKOK(2π, π)}{EBOB(5, 2)} = 2π \)

Yani T = 2π olur.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

 

Periyod: bir grafiğin ardışık iki maksimum noktasının veya ardışık iki minimum noktasının arasındaki uzaklıktır. Bu uzaklıklar birbirine eşittir.

Genlik: grafiğin orta çizgisi ile uç noktalarından birisi arasındaki düşey uzaklıktır.

Orta Çizgi: grafiğin maksimum ve minimum noktalarının tam ortasından geçen yatay çizgidir.

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,

1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.

2. Bulunan periyoda uygun bir aralık seçilir.

3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Bunun için, fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin tablosu yapılır. Tabloda fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden küçük ise yani aldığı değer artmış ise o aralığa   sembolü yazılır. Eğer, fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden büyük ise yani aldığı değer azalmış ise o aralığa  sembolü yazılır.

4. Seçilen bir periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Oluşan grafik, fonksiyonun periyodu aralığında tekrarlanır.

 

Sinüs Fonksiyonunun Grafiği

 

\( f: ~\mathbb{R} -> [~-1, 1~], ~~f(x) = sinx \)

Sinüs fonksiyonu orjine göre simetrik olduğu için, tek fonksiyondur. Yani;

sin( – x ) = – sin x olur.

f(x) = sin x : [-90º, 90º] -> [-1, 1]  aralığında birebir ve örtendir.

Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği

 

\( f: ~\mathbb{R} -> [~-1, 1~], ~~f(x) = cosx \)

Kosinüs fonksiyonu y eksenine göre simetrik olduğu için, çift fonksiyondur. Yani;

cos( – x ) = cos x olur.

f(x) = cos x : [0º, 180º] -> [-1, 1]  aralığında birebir ve örtendir.

 

Tanjant Fonksiyonunun Grafiği

Tanjant fonksiyonu orjine göre simetrik olduğu için, tek fonksiyondur. Yani

tan( – x ) = – tanx olur. tan x,  ​\( \displaystyle\frac{π}{2} \)​ tek katlarında tanımsızdır.

f(x) = tan α : [-90º, 90º] -> ​\( \mathbb{R} \)​  aralığında birebir ve örtendir.

 

Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği

Kotanjant fonksiyonu orjine göre simetrik olduğu için, tek fonksiyondur. Yani;

cot( – x ) = – cot x olur. cot x, π nin katlarında tanımsızdır.

f(x) = cot α : [0º, 180º] -> ​\( \mathbb{R} \)aralığında birebir ve örtendir.

 

Örnek; 

Şekilde [0, 3π/4] aralığında verilmiş olan trigonometrik fonksiyonun grafiği hangi trigonometrik fonksiyona eşittir ?

Çözüm;

Şekildeki grafik sinüs grafiğidir ve periyodu T = π/2 ye eşittir. Yani sinüs fonksiyonunda x’in katsayısı 2’dir.  Buna göre denklemi yazarsak;

sin (ax + b) = sin (2x + 0)  = sin 2x olur.

 

Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.