Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.
- Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri
- Yarım Açı Formülleri
- Dönüşüm Formülleri
- Ters Dönüşüm Formülleri
- Pisagor Formülleri
- Trigonometrik Denklemler
İKİ YAY TOPLAMININ TRİGONOMETRİK ORANLARI
♦ sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y
♦ cos (x + y) = cos x. cos y – sin x. sin y
♦ tan (x + y) = \( \displaystyle\frac{tan~x + tan~y}{1- tan~x. tan~y} \)
♦ cot (x + y) = \( \displaystyle\frac{1}{tan(x+y)} \)
İKİ YAY FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLARI
♦ sin (x – y) = sin x. cos y – cos x. sin y
♦ cos (x – y) = cos x. cos y + sin x. sin y
♦ tan (x – y) = \( \displaystyle\frac{tan~x – tan~y}{1+ tan~x. tan~y} \)
♦ cot (x – y) = \( \displaystyle\frac{1}{tan(x-y)} \)
NOT : a ve b reel sayılar olmak üzere
\( -\sqrt{a^2 + b^2}≤a.sinx +b.cosx≤\sqrt{a^2 + b^2} \)olur.
Örnek;
\( \displaystyle\frac{sin 48º}{sin 16º} – \frac{cos 48º}{cos 16º} \)ifadesinin değeri kaçtır ?
Çözüm;
\( \begin{equation}\displaystyle{\frac{sin 48º}{sin 16º}} – \frac{cos 48º}{cos 16º}\end{equation} \)
= \( \begin{equation}\displaystyle\frac{sin 48º. cos 16º – cos 48º. sin 16º}{cos 16º. sin 16º}\end{equation} \)
= \( \begin{equation}\displaystyle\frac{sin (48º – 16º)}{\displaystyle\frac{1}{2}. 2. sin 16º. cos 16º}\end{equation} \)
= \( \begin{equation}\displaystyle\frac{2. sin 32º}{\displaystyle{sin 32º}}\end{equation} = 2 \) olur.
YARIM AÇI FORMÜLLERİ
♦ sin 2x = 2. sin x. cos x
♦ cos 2x = cos²x – sin²x
♦ cos 2x = 2. cos²x – 1
♦ cos 2x = 1 – 2. sin²x
♦ tan 2x = \( \displaystyle\frac{2. tan x}{1 – tan^2 x} \)
Örnek;
3. sinx – 4. cosx = 0 olduğuna göre, |cos 2x| değeri kaçtır ?
Çözüm;
3. sinx – 4. cosx = 0 ise
3. sinx = 4. cosx olur. Buradan
3/4 = sinx/cosx = tanx ‘dir.
tanx = 3/4 ise 3- 4- 5 üçgeninden hipotenüs 5 ve cos x = 3/5 olur.
cos 2x için yarım açı formüllerinden uygularsak;
cos 2x = 2. cos² – 1
cos 2x = 2. (3/5)² – 1
cos 2x = 18/25 – 1 = -7/25
|cos 2x| = |-7/25| = 7/25 olur.
PİSAGOR FORMÜLLERİ
♦ sin²x + cos²x = 1
♦ tan²x + 1 = sec²x
♦ cot²x + 1 = cosec²x
DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ
Toplam veya fark durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım durumuna getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.
♦ \( sin x + sin y = 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)
♦ \( sin x – sin y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)
♦ \( cos x + cos y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)
♦ \( cos x – cos y = – 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)
♦ \( \displaystyle\frac{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y}{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y} = tan\displaystyle\frac{x + y}{2} \)
♦ \( \displaystyle\frac{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y}{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y} = cot\displaystyle\frac{x + y}{2} \)
TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ
Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri toplam durumuna getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.
♦ \( cos x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) + cos (x – y)] \)
♦ \( sin x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[sin (x + y) + sin (x – y)] \)
♦ \( sin x. sin y = – \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) – cos (x – y)] \)
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
İçinde trigonometrik ifade barındıran denklemlere trigonometrik denklem denir. Denklemi sağlayan değerlere denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir.
NOT : Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine .., -1, 0, 1 .. gibi tam sayılar yazılarak denklemin kökleri bulunur. Bu köklerden bize verilen aralıkta olanları alınır.
Trigonometrik Denklem Çeşitleri
“sin x = sin a” Denklemi
Bir trigonometrik denklemi sin x = sin a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi iki alt köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;
\( \displaystyle{x_1} \) = a + 360º.k = a + 2πk
\( \displaystyle{x_2} \) = 180º – a + 360º.k = π- a + 2πk olur.
“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Örnek;
sin x = sin 70º ve x ∈ [0, 2π] olmak üzere x’in çözüm kümesi nedir ?
Çözüm;
\( \displaystyle{x_1} \) = 70º + 360º.k
\( \displaystyle{x_2} \) = 180º – 70º + 360º.k = 110º + 360º.k
k = 0 ⇒ \( \displaystyle{x_1} \) = 70º
\( \displaystyle{x_2} \) = 110º
\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) , x’in aralığında olur.
k = 1 ⇒ \( \displaystyle{x_1} \) = 430º
\( \displaystyle{x_2} \) = 470º
\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) , x’in aralığının dışında olur.
k = – 1 ⇒ \( \displaystyle{x_1} \) = -290º
\( \displaystyle{x_2} \) = -250º
\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) , x’in aralığının dışında olur.
Bu durumda x’in çözüm kümesi {70º, 110º } olur.
“cos x = cos a” Denklemi
Bir trigonometrik denklemi cos x = cos a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi iki alt köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;
\( \displaystyle{x_1} \) = a + 360º.k = a + 2πk
\( \displaystyle{x_2} \) = – a + 360º.k = – a + 2πk olur.
“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Örnek;
cos 3x = sin x ve x∈ [0º, 180º] ise x’in çözüm kümesi ne olur ?
Çözüm;
Formülü uygulayabilmek için sin x ‘i kosinüs cinsinden yazalım.
cos 3x = cos ( 90º – x)
3x = 90º – x + 360º.k ⇒ x = 22,5º + 90º.k
3x = – 90º + x + 360º.k ⇒ x = – 45º + 180º.k
x, [0º, 180º] aralığında olduğuna göre k’ya değerler verirsek;
k = 0 ⇒ \( \displaystyle{x_1} \) = 22,5º
\( \displaystyle{x_2} \)= – 45º
\( \displaystyle{x_2} \) , x’in aralığının dışında olur.
k = 1 ⇒ \( \displaystyle{x_1} \) = 112,5º
\( \displaystyle{x_2} \)= 135 º
\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) , x’in aralığında olur.
k = – 1 ⇒ \( \displaystyle{x_1} \) = – 67,5º
\( \displaystyle{x_2} \)= – 225 º
\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) , x’in aralığının dışında olur.
“tan x = tan a” Denklemi
Bir trigonometrik denklemi tan x = tan a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi tek köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;
\( \displaystyle{x} \) = a + 180º.k = a + πk
“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
“cot x = cot a” Denklemi
Bir trigonometrik denklemi cot x = cot a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi tek köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;
\( \displaystyle{x} \) = a + 180º.k = a + πk
“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.
11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı
11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı
11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı
Trigonometri Çözümlü Sorular-1
Trigonometri Çözümlü Sorular-2
Trigonometri Çıkmış Sorular