12. Sınıf Belirli İntegral Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımzıda Riemann (Riman) Toplamı, Bir Fonksiyonun Belirli ve Belirsiz İntegralleri Arasındaki İlişki ve Belirli İntegralin Özellikleri konularını çözümlü örnek sorular ile birlikte işleyeceğiz. Konu anlatımı dersimizden sonra 12. Sınıf Belirsiz ve Belirli İntegral Çözümlü Soruları nı inceleyebilirsiniz.
Belirli İntegralin Özellikleri
Bilgi Notu: Belirli integralde alt ve üst sınırlar eşit ise belirli integralin değeri sıfırdır.
\( \displaystyle\int\limits_a^a\mathrm f(x)dx=0 \) olur.
Örnek: \( \displaystyle\int\limits_2^2\mathrm x^2(x^2+1)^5dx \)integralinin değerini bulunuz.
Cevap: Belirli integralde alt ve üst sınır birbirine eşit olduğundan integralin değeri 0 olarak bulunur.
\( \displaystyle\int\limits_2^2\mathrm x^2(x^2+1)^5dx=0 \ olur. \)
Bilgi Notu: Belirli integralde alt ve üst sınırlar yer değiştirirse belirli integralin değeri işaret değiştirir.
\( \displaystyle\int\limits_b^a\mathrm f(x)dx=- \int\limits_a^b\mathrm f(x)dx \) olur.
Örnek: \( \displaystyle\int\limits_1^2\mathrm (x-1)dx \) integralinin sınırlarının yerlerini değiştirerek elde edilecek olan integrali yazınız.
Cevap: \( \displaystyle\int\limits_1^2\mathrm (x-1)dx=-\int\limits_2^1\mathrm (x-1)dx \) olur.
Bilgi Notu: a < c < b olmak üzere \( \displaystyle\int\limits_a^b\mathrm f(x)dx \) integrali aşağıdaki gibi iki integralin toplamı olarak ifade edilebilir.
\( \displaystyle\int\limits_a^b\mathrm f(x)dx=\int\limits_a^c\mathrm f(x)dx+\int\limits_c^b\mathrm f(x)dx \)
Örnek: \( \displaystyle\int\limits_1^4\mathrm (x^2-1)dx \) integralini iki
integralin toplamı olarak ifade ediniz.
Cevap: \( \displaystyle\int\limits_1^4\mathrm (x^2-1)dx =\int\limits_1^2\mathrm (x^2-1)dx +\int\limits_2^4\mathrm (x^2-1)dx =\int\limits_1^3\mathrm (x^2-1)dx +\int\limits_3^4\mathrm (x^2-1)dx \) vb. biçimde ifade edilebilir.
Bilgi Notu: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının belirli integrali, fonksiyonun belirli integralinin sabitle çarpımına eşittir.
\( \displaystyle\int\limits_a^b\mathrm k.f(x)dx=k.\int\limits_a^b\mathrm f(x)dx \)
Örnek: \( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (5x^2-5)dx \) integralinin eşitini bulunuz.
Cevap: \( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (5x^2-5)dx=5.\int\limits_2^3\mathrm (x^2-1)dx \) olur.
Bilgi Notu: İki fonksiyonun toplamının ya da farkının belirli integrali, belirli integrallerin toplamına ya da farkına eşit olur.
\( \displaystyle\int\limits_a^b\mathrm [f(x)+g(x)]dx=\int\limits_a^b\mathrm f(x)dx+\int\limits_a^b\mathrm g(x)dx \)
\( \displaystyle\int\limits_a^b\mathrm [f(x)-g(x)]dx=\int\limits_a^b\mathrm f(x)dx-\int\limits_a^b\mathrm g(x)dx \)
Örnek: \( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (x^3+x^2-x)dx \) integralinin eşitini bulunuz.
Cevap: \( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (x^3+x^2-x)dx=\int\limits_2^3\mathrm x^3dx+\int\limits_2^3\mathrm x^2dx-\int\limits_2^3\mathrm xdx \) olur.
Parçalı Fonksiyonların Belirli İntegrali
\( \displaystyle\int\limits_a^b\mathrm f(x)dx=\int\limits_a^c\mathrm g(x)dx=\int\limits_c^b\mathrm h(x)dx \) biçiminde iki integralin toplamı olarak yazılmalıdır.
Örnek: Aşağıdaki biçiminde tanımlı f]xg fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( \displaystyle\int\limits_{-2}^1\mathrm f(x)dx \)
\( f(x) = \begin{cases} 3x^2-x & \quad \text{x<-1 } \text{ise }\\ 2x+3 & \quad \text{x≥-1 } \text{ise} \end{cases} \) integralinin değerini bulunuz.
Cevap: \( \displaystyle\int\limits_{-2}^1\mathrm f(x)dx=\int\limits_{-2}^{-1}\mathrm (3x^2-x)dx+\int\limits_{-1}^1\mathrm (2x+3)dx \)
\( \displaystyle\left.(x^3-\frac{x^2}{2})\right|_{-2}^{-1}+\left.(x^2+3x)\right|_{-1}^{1} \)
=[\( \displaystyle((-1)^3-\frac{(-1)^2}{2})-((-2)^3-\frac{(-2)^2}{2}) \)]+[\( (1^2+3.1)-((-1)^2+3.(-1)) \)]
=\( [\displaystyle(-1-\frac{1}{2})-(-8-2)]+[4-(1-3)] \)
=\( \displaystyle(-\frac{3}{2}+10)+(4+2) \)
\( \displaystyle\frac{17}{2}+6 = \frac{29}{2} \ buluruz. \)