12. Sınıf Belirsiz İntegral Konu Anlatımı

12. Sınıf Belirsiz İntegral Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımzıda Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları ile Değişken Değiştirme Yöntemi konularını çözümlü örnek sorular ile birlikte işleyeceğiz. Konu anlatımı dersimizden sonra 12. Sınıf Belirsiz ve Belirli İntegral Çözümlü Soruları nı inceleyebilirsiniz.

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

F(x) fonksiyonun türevi f(x) olsun. f(x) fonksiyonunun türevi alınmadan önceki hâli olan F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun ters türevi denir. Bir fonksiyonun ters türevini bulma işlemine integral alma işlemi denir. F(x) fonksiyonunun türevi f(x) olmak üzere F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun integrali denir.

f(x) = x² + c  fonksiyonuna f'(x) = 2x fonksiyonunun integrali denir. Burada c sabit sayısına da integral sabiti adı verilir.

Bir f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali ​\( \int\mathrm f(x)dx \)​ biçiminde ifade edilir. Bu integralin bulunması için F'(x) = f(x) olacak şekilde bir F(x) fonksiyonu araştırılır ve integral sabiti olan c bu F(x) fonksiyonuna eklenir. Bu durumda

\( \int\mathrm f(x)dx = F(x)+c \ olur. \)

 

Örnek:\( \int\mathrm f(x)dx \)​ = x³ – 2x² + x + 1 olduğuna göre f(x) fonksiyonunu bulunuz.

Cevap: Verilen eşitliğe göre f(x)fonksiyonunun integrali x³ – 2x² + x + 1 olduğundan x³ – 2x² + x + 1 ifadesinin türevi f(x) olur.

(x³ – 2x² + x + 1)’ = f(x)  ⇒  f(x) = 3x² – 4x + 1 olarak buluruz.

 

İntegral Alma Kuralları

n ≠ -1 ve n ∈ Q olmak üzere

F(X) = ​\( \displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \)​= xn oldugundan   ​\( \displaystyle \int\mathrm x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c \ olur. \)

 

Örnek: ​\( \int\mathrm x^5dx \)​ integrallerin eşitlerini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm x^5dx=\frac{x^{5+1}}{5+1}+c=\frac{x^6}{6}+c \ buluruz. \)

 

Bilgi Bulutu: a ∈ R olmak üzere

\( \displaystyle\int\mathrm a.x^ndx =a. \int\mathrm x^ndx \ olur. \)

Örnek: ​\( \displaystyle\int\mathrm 3.x^4dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm 3.x^4dx= 3.\int\mathrm x^4dx \)

\( \displaystyle3.\frac{x^{5}}{5}+c \)​ ⇒ ​\( \displaystyle\frac{3x^{5}}{5}+c \ buluruz. \)

 

Bilgi Bulutu: f(x) ve g(x) integrallenebilir iki fonksiyon olmak üzere

\( \displaystyle\int\mathrm (f(x)+g(x))dx=\int\mathrm f(x)dx+\int\mathrm g(x)dx \)

\( \displaystyle\int\mathrm (f(x)-g(x))dx=\int\mathrm f(x)dx-\int\mathrm g(x)dx \)

Örnek: ​\( \displaystyle\int\mathrm (4x^3-3x^2)dx \)​integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm (4x^3-3x^2)dx= \int\mathrm 4x^3dx-\int\mathrm 3x^2dx \)

\( \displaystyle4.\int\mathrm x^3dx-3.\int\mathrm x^2dx \)

\( \displaystyle4.\frac{x^4}{4}+c_1-3.\frac{x^3}{3}+c_2 \)

\( x^4-x^3+c_1+c_2 \)​ ⇒ ​\( x^4-x^3+c \ olur. \)

 

Değişken Değiştirme Yöntemi

Diferansiyel Kavramı

Türevlenebilir bir f(x) fonksiyonu için ​\( \displaystyle\frac{d}{dx}(f(x))=f'(x) \)​ ifadesi f(x) fonksiyonunun türevi olmak üzere d(f(x)) = f'(x).dx ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir.

Sonuç olarak bir f(x) fonksiyonunun diferansiyeli olan d(f(x)) ifadesi, fonksiyonun türevi ile dx in çarpımına eşittir.

 

Örnek: f(x) = x² – x fonksiyonunun diferansiyelini bulunuz.

Cevap: d(f(x)) = f'(x).dx ⇒ d(f(x)) = (2x – 1).dx bulunur.

 

Bilgi Bulutu: İntegral alma kuralları ile alınması zor olan bazı integraller değişken değiştirme yöntemi kullanılarak daha basit integraller hâline getirildikten sonra kolayca integrali alınabilir.

n ≠ 0, n ≠-1 ve n ∈ Q olmak üzere;

\( \displaystyle\int\mathrm (f(x))^n.f'(x).dx \)​ biçimindeki integrallerde sırasıyla aşağıdaki adımlar uygulanır.

f(x) = u                  ( f(x) = u dönüşümü yapılır.)
f'(x)dx = du         (Her iki tarafın diferansiyeli alınır.)

\( \displaystyle\int\mathrm (f(x))^n.f'(x).dx =\int\mathrm u^n.du \) (Dönüşüm ve diferansiyel verilen integralde yerine yazılır.)

\( =\displaystyle\frac{u^{n+1}}{n+1}+c \)(İntegral alınır.)

\( =\displaystyle\frac{(f(x))^{n+1}}{n+1}+c \)(u yerine eşiti olan f]xg yazılır.)

 

Örnek:\( \displaystyle\int\mathrm (x-1)^5dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: x – 1 = u             ( x – 1 = u dönüşümü yapılır.)
dx = du                             (Her iki tarafın diferansiyeli alınır.)

\( \displaystyle\int\mathrm (x-1)^5dx= \int\mathrm u^5du \)(Dönüşüm ve diferansiyel verilen integralde yerine yazılır.)

\( =\displaystyle\frac{u^6}{6}+c \) (İntegral alınır.)

\( =\displaystyle\frac{(x-1)^6}{6}+c \)​  (u yerine eşiti olan x – 1 yazılır.)

 

Konu anlatımı dersimizin burada sonuna geldik arkadaşlar. Konuyu pekiştirmek için İntegral Çözümlü Sorular adlı yazımızı da inceleyebilirsiniz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.