12. Sınıf Belirsiz ve Belirli İntegral Çözümlü Soruları

12. Sınıf Matematik Belirsiz ve Belirli İntegral Çözümlü Soruların, problemlerin ve testlerin olacağı bu yazımızda integral ile ilgili çözümlü örnekler paylaşacağız. Sorulara geçmeden önce 12. Sınıf Belirsiz  İntegral Konu Anlatımı ve 12. Sınıf Belirli İntegral Konu Anlatımı yazılarımızı inceleyebilirsiniz.

 

Soru 1:\( \int\mathrm (f(x)+3x^2+x)dx=x.f(x) \)​olduğuna göre f'(2) değerini bulunuz.

Cevap: Verilen eşitliğe göre f(x) + 3x² + x ifadesinin integrali x.f(x) olduğundan x.f(x) ifadesinin türevi f(x) + 3x² + x olur.

(x.f(x))’ = f(x) + 3x² + x ⇒ 1.f(x) + x.f'(x) = f(x) + 3x² + x
f(x) + x.f'(x) = f(x) + 3x² + x
x.f'(x) = x(3x + 1)
f'(x) = 3x + 1
⇒ f'(2) = 7 olarak buluruz.

 

Soru 2: ​​\( f(x)=\int\mathrm (2x^2-8x+3)dx \)​ ​olduğuna göre f(x) fonksiyonunun ekstremum noktalarının apsisleri toplamını bulunuz.

Cevap: ​\( f(x)=\int\mathrm (2x^2-8x+3)dx \)​ ⇒ f'(x) = 2x² -8x + 3 olur.

f'(x) = 0 ⇒ 2x² -8x + 3 denkleminin diskriminantı Δ = b² -4ac
= (-8)² – 4.2.3
= 40 olur.

Denklemin diskriminantı pozitif olduğundan bu denklemin x1 ve x2 gibi iki farklı gerçek kökü vardır. f'(x) in işaret tablosu incelenirse x1 ve x2 köklerinin yerel ekstremum noktalarının apsisleri olduğu görülür.

Buna göre f(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamı 2x² -8x + 3 = 0 denkleminin kökler toplamıdır. Bu toplam;

x1 + x2 = ​\( -\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4 \ buluruz. \)

 

Soru 3: ​\( \int\mathrm x^5dx \)​ integrallerin eşitlerini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm x^5dx=\frac{x^{5+1}}{5+1}+c=\frac{x^6}{6}+c \ buluruz. \)

 

Soru 4: ​\( \displaystyle\int\mathrm x\sqrt[]{x}dx \)​integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm x\sqrt[]{x}dx = \int\mathrm x.x^{\frac{1}{2}}dx=\int\mathrm x^{\frac{3}{2}}dx \)

\( \displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+c \)​ ⇒ ​\( \displaystyle\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+c \)

\( \displaystyle\frac{2\sqrt[]{x^5}}{5}+c \)​⇒ ​\( \displaystyle\frac{2x^2\sqrt[]{x}}{5}+c \ buluruz. \)

 

Soru 5: ​\( \displaystyle\int\mathrm 3.x^4dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm 3.x^4dx= 3.\int\mathrm x^4dx \)

\( \displaystyle3.\frac{x^{5}}{5}+c \)​ ⇒ ​\( \displaystyle\frac{3x^{5}}{5}+c \ buluruz. \)

 

Soru 6: ​\( \displaystyle\int\mathrm (4x^3-3x^2)dx \)​integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm (4x^3-3x^2)dx= \int\mathrm 4x^3dx-\int\mathrm 3x^2dx \)

\( \displaystyle4.\int\mathrm x^3dx-3.\int\mathrm x^2dx \)

\( \displaystyle4.\frac{x^4}{4}+c_1-3.\frac{x^3}{3}+c_2 \)

\( x^4-x^3+c_1+c_2 \)​ ⇒ ​\( x^4-x^3+c \ olur. \)

 

Soru 7: f(x) = x² – x fonksiyonunun diferansiyelini bulunuz.

Cevap: d(f(x)) = f'(x).dx ⇒ d(f(x)) = (2x – 1).dx bulunur.

 

Soru 8:\( \displaystyle\int\mathrm (x-1)^5dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: x – 1 = u             ( x – 1 = u dönüşümü yapılır.)
dx = du                             (Her iki tarafın diferansiyeli alınır.)

\( \displaystyle\int\mathrm (x-1)^5dx= \int\mathrm u^5du \)​ (Dönüşüm ve diferansiyel verilen integralde yerine yazılır.)

\( =\displaystyle\frac{u^6}{6}+c \)​ (İntegral alınır.)

\( =\displaystyle\frac{(x-1)^6}{6}+c \)​  (u yerine eşiti olan x – 1 yazılır.)

 

Soru 9: ​\( \displaystyle\int\limits_2^2\mathrm x^2(x^2+1)^5dx \)​integralinin değerini bulunuz.

Cevap: Belirli integralde alt ve üst sınır birbirine eşit olduğundan integralin değeri 0 olarak bulunur.

\( \displaystyle\int\limits_2^2\mathrm x^2(x^2+1)^5dx=0 \ olur. \)

 

Soru 10: \( \displaystyle\int\limits_1^2\mathrm (x-1)dx \)​ integralinin sınırlarının yerlerini değiştirerek elde edilecek olan integrali yazınız.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_1^2\mathrm (x-1)dx=-\int\limits_2^1\mathrm (x-1)dx \)​ olur.

 

Soru 11: \( \displaystyle\int\limits_1^4\mathrm (x^2-1)dx \)​ integralini iki

integralin toplamı olarak ifade ediniz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_1^4\mathrm (x^2-1)dx =\int\limits_1^2\mathrm (x^2-1)dx +\int\limits_2^4\mathrm (x^2-1)dx =\int\limits_1^3\mathrm (x^2-1)dx +\int\limits_3^4\mathrm (x^2-1)dx \)​ vb.  biçimde ifade edilebilir.

 

Soru 12: ​\( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (5x^2-5)dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (5x^2-5)dx=5.\int\limits_2^3\mathrm (x^2-1)dx \)​ olur.

 

Soru 13: \( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (x^3+x^2-x)dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (x^3+x^2-x)dx=\int\limits_2^3\mathrm x^3dx+\int\limits_2^3\mathrm x^2dx-\int\limits_2^3\mathrm xdx \)​ olur.

 

Soru 14: Aşağıdaki biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonu veriliyor. Buna göre ​\( \displaystyle\int\limits_{-2}^1\mathrm f(x)dx \)

\( f(x) = \begin{cases} 3x^2-x & \quad \text{x<-1 } \text{ise }\\ 2x+3 & \quad \text{x≥-1 } \text{ise} \end{cases} \)​ integralinin değerini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_{-2}^1\mathrm f(x)dx=\int\limits_{-2}^{-1}\mathrm (3x^2-x)dx+\int\limits_{-1}^1\mathrm (2x+3)dx \)

\( \displaystyle\left.(x^3-\frac{x^2}{2})\right|_{-2}^{-1}+\left.(x^2+3x)\right|_{-1}^{1} \)

=[​\( \displaystyle((-1)^3-\frac{(-1)^2}{2})-((-2)^3-\frac{(-2)^2}{2}) \)​]+[​\( (1^2+3.1)-((-1)^2+3.(-1)) \)​]

=​\( [\displaystyle(-1-\frac{1}{2})-(-8-2)]+[4-(1-3)] \)

=​\( \displaystyle(-\frac{3}{2}+10)+(4+2) \)

\( \displaystyle\frac{17}{2}+6 = \frac{29}{2} \ buluruz. \)

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.