12. Sınıf Çemberin Analitik İncelenmesi Çözümlü Sorular

12. Sınıf Matematik Analitik Geometri Çemberin Analitik İncelenmesi Çözümlü Soruların, Problemlerin olacağı bu yazımızda çözümlü örneklerle birlikte konuyu özetledik arkadaşlar. Sorulara geçmeden önce 12. Sınıf Çemberin Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı yazımızıda inceleyebilirsiniz.

Soru 1: Merkezi M(-3 , 2) ve yarıçapı r = 5 birim olan bir çember veriliyor. Buna göre;
a) Çemberin standart denklemini bulunuz.
b) P(2 , k) noktası çember üzerinde ise k değerini bulunuz.

Cevap: a) Çemberin standart denklemi

(2+3)² + (k-2)² =25  (x+3)² + (y-2)²  = 25 olur.

b) P(2 , k) noktası çember üzerinde olduğundan çember denklemini sağlar. Denklemde x yerine 2 ve y yerine k yazılırsa;

(2+3)² + (k-2)² =25
25 + (k-2)² =25
(k-2)² =0
k = 2 olarak buluruz.

 

Soru 2: Merkezi M(2 , – 5) olan ve P(1, – 2) noktasından geçen çemberin standart denklemini bulunuz.

Cevap: Çemberin merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklık, çemberin yarıçapını verir.

\( r=|MP|=\sqrt[]{(2-1)^2 +(-5-(-2))^2} = \sqrt[]{1+9} = \sqrt[]{10} \)​ birim bulunur. Böylece merkezi M(2,-5) ve yarıçapı r = ​\( \sqrt[]{10} \)​ birim olan çemberin standart denklemi;

(x-2)² + (y-(-5))² = ​\( (\sqrt[]{10})^2 \)​ ⇒ (x-2)² + (y+5)² = 10 buluruz.

 

Soru 3: Merkezi M(2 , 3) ve yarıçapı r = 4 birim olan çemberin standart denklemini bulunuz.

Cevap: Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r birim olan çemberin standart denklemi (x – a)² + (y-b)²  = r² olduğundan merkezi M(2 , 3) ve yarıçap uzunluğu r = 4 birim olan çemberin standart denklemi

(x-2)² + (y-3)²  = 4²  ⇒    (x-2)² + (y-3)²  = 16 olarak bulunur.

 

Soru 4: Merkezi M(-3 , 2) olan çember A noktasında x eksenine teğettir. Bu çemberin standart denklemini bulunuz.

Cevap: |MA| = r olup r = 2 birim bulunur.

Merkezi M(-3 , 2) ve yarıçapı r = 2 birim olan çemberin standart denklemi

(x-(-3))² + (y-2)² = 2² ⇒ (x+3)² + (y-2)² = 4 olarak buluruz.

 

Soru 5: x² + y² -x +2y + 5 = 0 denkleminin bir çember belirtip belirtmediğini bulunuz.

Cevap: x² + y² -x +2y + 5 = 0 denkleminde D =-1, E = 2 ve F = 5 olduğundan

D² + E² -4.F = (-1)² + 2² -4.5
= 1 + 4 -20
= -15 olur.

D² + E² -4.F ifadesi negatif olduğundan verilen denklem bir çember belirtmez.

 

Soru 6: 4x + 3y + 14 = 0 dogrusu ile x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 çemberinin birbirine göre durumlarını belirleyiniz.

Cevap: x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 çemberinin

merkezi ​\( M(-\displaystyle\frac{4}{2},-\frac{(-6)}{2})=M(-2,3) \)

yarıçapı  ​\( r=\displaystyle\frac{1}{2}.\sqrt[]{16+36-4.4} = 3 \ birim \ olur. \)

M(-2 , 3) noktasının 4x+3y+14 = 0 doğrusuna olan uzaklığı d birim olsun.

\( d = \displaystyle\frac{|4.(-2)+3.3+14|}{\sqrt[]{4^2 +3^2}} = \frac{|15|}{5} = 3 \ birim \ bulunur. \)

d = r olduğundan doğru çembere teğettir.

 

Soru 7:  4x + 3y + 24 = 0 dogrusu ile x² + y² + 4x – 6y + 9 = 0 çemberinin birbirine göre durumlarını belirleyiniz.

Cevap: x² + y² + 4x – 6y + 9 = 0 çemberinin

merkezi ​\( M(-\displaystyle\frac{4}{2},-\frac{(-6)}{2})=M(-2,3) \)

yarıçapı  ​\( r=\displaystyle\frac{1}{2}.\sqrt[]{16+36-4.9} = 2 \ birim \ olur. \)

M(-2 , 3) noktasının 4x+3y+24 = 0 doğrusuna olan uzaklığı d birim olsun.

\( d = \displaystyle\frac{|4.(-2)+3.3+24|}{\sqrt[]{4^2 +3^2}} = \frac{|25|}{5} = 5 \ birim \ bulunur. \)

5 > 2 ⇒ d > r olduğundan doğru çemberi kesmez.

 

Soru 8: Denklemi y = x-1 olan doğru ile x² + y² + 4x + 6y – 5 = 0 çemberinin varsa kesim noktalarını bulunuz.

Cevap:  x² + y² + 4x + 6y – 5 = 0 çember denkleminde y yerine x-1 yazılırsa

x² + (x-1)² + 4x + 6(x-1) – 5 = 0
x² + x² -2x +1 + 4x + 6x – 6 – 5 = 0
2x² + 8x – 10 = 0
x² + 4x – 5 = 0 denklemi elde edilir.

a = 1, b = 4 ve c =-5 olur. Δ = b² – 4ac = 16 – 4.1.(-5) = 36 > 0 olduğundan doğru çemberi iki noktada kesmektedir.

x² + 4x – 5 = 0 ⇒ (x+5).(x-1) = 0
⇒ x = 1 veya x = -5 bulunur.

Bu değerler kesim noktalarının apsisleri olup ordinatları ise;

x = -5 ise y = -5 – 1 = -6 olur.
x = 1 ise y = 1 – 1 = 0 olur.

O hâlde çember ile doğrunun kesim noktaları (-5 ,-6) ve (1, 0) olur.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.