Merhabalar arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik dersinin 5. ünitesinde yer alan Çokgenler konusunu anlatacağız. Bu yazımızda aşağıdaki kavramları daha iyi anlayacağınızı umuyoruz.

• Çokgenler
• Düzgün Çokgenler

ÇOKGENLER

Bir düzlemde doğrusal olmayan en az üç noktayı birleştiren doğru parçalarından oluşan kapalı şekillere çokgen denir. Çokgenler kenar sayılarına göre isimlendirilirler.

Çokgenlerde iki kenarın kesişimi sonucu iç bölgede oluşan açılara iç açılar denir. Bir kenarın uzantısıyla komşu kenarın dış bölgede oluşturduğu açıya dış açı denir.

Bir çokgenin ardışık olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Şekildeki çokgende [DA] ve [DB] köşegendir.

Çokgenlerin Özellikleri

•  n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.
•  n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden köşegenler çizerek (n – 2) tane üçgen elde edilebilir.
•  n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n – 2) · 180° dir.
•  Bütün çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
•  Bir çokgenin aynı köşesine ait iç açısı (x) ile dış açısı (y) bütünlerdir.
   x + y = 180°

•  n kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı ​\( \displaystyle\frac{n. (n-3)}{2} \)​tanedir.
 
Örnek; 
Kenar sayısı 11 olan bir çokgenin;
a. Bir köşesinden geçen köşegen sayısını bulunuz.
b. Bir köşesinden geçen köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısını bulunuz.
c. İç açılarının ölçüleri toplamını bulunuz.
ç. Dış açılarının ölçüleri toplamını bulunuz.
Çözüm; 
a. n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden (n-3) tane köşegen çizilebilir. Bu durumda çokgenimizin köşegen sayısı 11 ise 11 – 3 = 8 bu çokgenin bir köşesinden geçen köşegen sayısıdır.
b. n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden geçen köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısı (n – 2) ile bulunur. Bu durumda çokgenimizin bir köşesinden geçen köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısı 11 – 2 = 9 olur.
c. n kenarlı bir çokgenin iç açıları ölçüleri toplamı (n – 2). 180º’dir. Buna göre çokgenimizin iç açılarının ölçüleri toplamı ;
(11 – 2). 180º = 9. 180º = 1620º olur.
ç. Bütün çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı 360ºdir. Bu durumda kenar sayısı 11 olan çokgenimizin dış açıları toplamı 360º olur.
 
Örnek;
Şekildeki KLMNP beşgeninde verilenlere göre x ve y açılarının kaç derece olduğunu bulunuz.

Çözüm;
  x açısının ölçüsünü bulabilmek için öncelikle beşgenimizin iç açıları toplamını bulalım arkadaşlar.
(n – 2). 180º = (5 – 2). 180º = 540º beşgenin iç açıları ölçümü olur. Buna göre;
110º + 130º + x + 90º + 120º = 540º
450º + x = 540º
x = 540º – 450º
x = 90º olur.
x ve y açıları birbirini bütünler açılardır. Yani x + y = 180º’dir. x açısının değerini  90º olarak bulduğumuza göre, y açısı;
90º + y = 180º
y = 180º – 90º
y = 90º olur.
 

DÜZGÜN ÇOKGENLER

Kenar uzunlukları ve açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere ise düzgün çokgenler denir. Eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen ve düzgün altıgen birer düzgün çokgendir.

 
n Kenarlı Bir Düzgün Çokgende;
•  (n – 3) tane köşegen vardır.
•  Bir köşesinden köşegenler çizerek (n – 2) tane üçgen elde edilebilir.
•  İç açılarının ölçüleri toplamı (n – 2) · 180° dir.
•  Dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
•  Aynı köşesine ait iç açısı (x) ile dış açısı (y) bütünlerdir.
x + y = 180°
• Toplam köşegen sayısı ​\( \displaystyle\frac{n. (n-3)}{2} \)​tanedir.
•  Bir iç açısının ölçüsü ​​\( \displaystyle\frac{(n – 2) · 180°}{n} \)​​’dir.
•  Bir dış açısının ölçüsü​\( \displaystyle\frac{360°}{n} \)​​’dir.
 
Örnek;

ABCDE düzgün beşgeninde m(BAD) = x ’in kaç derece olduğunu bulalım.
Çözüm; 
Düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü
​\( \displaystyle\frac{(n – 2) · 180°}{n} = \displaystyle\frac{(5 – 2) · 180°}{5} = \displaystyle\frac{3 · 180°}{5} = 108° \)​olur.

m(AED) =m(EAB) = 108° olur. AED ikizkenar üçgendir.
m(DAE) =m(ADE) = y olsun. AED üçgeninin iç açıları toplamı 180° olduğundan
m(AED) +m(DAE) +m(ADE) = 180°
108° + y + y = 180°
2y = 180° – 108°
y = 36° dir.
m(EAB) = x + y
108° = x + 36°
x = 108° – 36°
x = 72° bulunur.
 
Örnek;
Bal peteğinin gözeneklerinden birinin bir iç açısının ölçüsünü kaçtır ?
Çözüm;
Bal peteğinin gözenekleri düzgün altıgenlerden oluşmuştur. Peteği oluşturan düzgün altıgenlerin her birinin kenar uzunlukları birbirine eşittir. Ayrıca kenar sayısı 6’dır. Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü;
​\( \displaystyle\frac{(n -2).180º}{n}=\frac{(6-2).180º}{6} = \frac{4.180º}{6} = 120º \)​ olur.
Bir bal peteğinin gözeneklerinden birinin bir iç açısının ölçüsü 120° bulunur.
 
Örnek;
Çokgenin bir köşesinden geçen köşegenlerin ayırdığı üçgen sayısı 14 ise bu çokgenin kenar sayısını bulunuz.
Çözüm;
Arkadaşlar n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden geçen köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısı (n – 2) ile bulunur. Bu durumda bizim çokgenimizin bir köşesinden geçen köşegenlerin ayırdığı üçgen sayısı 14 ise kenar sayımıza “n” dersek, çokgenimizin kenar sayısı;
14 = (n – 2)
n = 14 + 2
n = 16 olur.
 
Arkadaşlar çokgenler konumuz burada bitti 🙂 Ünitenin devamına aşağıdaki linklerden ulaşabilirsiniz.
Dörtgenler Konu Anlatımı
Eşkenar Dörtgenin Alanı Konu Anlatımı
Yamuğun Alanı Konu Anlatımı
Konuyu daha iyi kavrayabilmeniz için aşağıdaki linkten çözümlü sorulara göz atabilirsiniz.
Çokgenler Çözümlü Sorular