8. sınıf matematik çarpanlar ve katlar ile ilgili konu anlatımının olacağı bu yazımızda sizler için çözümlü örnekler ile konuyu anlatmaya çalışacağız.
Çarpanlar ve katlar konusu genellikle 8. sınıfta işlenen basit bir konudur.
Çarpanlar ve katlar konusun 3 bölümden oluşmaktadır.
- Pozitif tam sayıların çarpanları
- En küçük ortak kat (EKOK)
- En büyük ortak bölen (EBOB)
Şimdi bu 3 farklı bölümle ilgili hem anlatım hem de çözümlü sorular yapacağız.
Pozitif Tam sayıların çarpanları;
Pozitif tam sayılar 1 den başlayarak 1, 2, 3 ….. şeklinde devam eder. Bundan dolayı da pozitif tam sayı çarpanları bu sayı değerlerinden oluşur.
Örneğin; 40 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını bulalım.
Cevap : 1 den başlayarak 40 a kadar sorudaki 40 sayısına bölünen çarpanları bulalım.
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 ve 40 tır. O halde 40 sayısının pozitif tam sayıları bu sayı değerleridir.
Örnek 2 : 36 sayısının pozitif tam sayı ve asal sayı çarpanlarını bularak üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazalım.
Cevap 2: 1 den başlayarak 36 ya kadar olan çarpanları bulalım.
1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 ve 36 dır. Bu sayılar pozitif tam sayı çarpanlarıdır.
Bunlardan 2 ve 3 asal çarpanlardır.
36 sayısının üslü gösterimi bulmak için ise ekok işlemini yaparız
36 yı 2 den başlayarak bölersek 2, 2, 3 ve 3 bölenleri olur.
Gösterimi ise 22.32 olur.
Örnek 3 : 72 tam sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
Cevap 3: 72 yi 2 ye bölersek 36 kalır
36 yı 2 ye bölersek 18 kalır.
18 i 2 ye bölersek 9 kalır
9 u 3 e bölersek 3 kalır
3 ü 3 e bölersek 1 kalır.
Bölen sayılarımız 2, 2, 2, 3 ve 3 tür.
Bu durumda 72 sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı
23.32 olur.
Örnek 4 : 630 = 3 . B . 5 . 7 eşitliğini sağladığına göre B sayısının değeri kaçtır?
Cevap 4: 630 sayını sırasıyla 3, 5 ve 7 ye bölersek kalan sayı bizim B değerimiz olacaktır. O halde
630:3 = 210 olur.
210:5 = 42 olur.
42:7 = 6 olur.
Bu durumda B sayı değerimizi 6 olarak buluruz.
En büyük ortak bölen çarpanları;
Tüm sayıları ayna anda bölen sayıların çarpımı bize EBOB çarpanlarını verir. Şimdi bu demek istediğimizi aşağıdaki örnek 5 te açıklayalım.
Örnek 5 : 36 ve 42 sayısının en büyük ortak bölen değerini bulunuz.
Cevap 5: En büyük ortak bölen değeri aynı anda 2 sayıyı da bölen değerdir. Bu durumda;
36 ve 42 sayısını 2 ye bölersek 18 ve 21 kalır. 2 sayımız ebob a dahil olur.
18 ve 21 sayısını 2 ye bölersek 9 ve 21 kalır. 2 sayımız ebob a dahil değildir.
9 ve 21 sayısını 3 e bölersek 3 ve 7 kalır. 3 sayımız ebob a dahil olur.
3 ve 7 sayısını 3 e bölersek 1 ve 7 kalır. 3 sayımız ebob a dahil değildir.
Bu durumda Ebob değerimiz 2.3 = 6 olarak bulunur.
Örnek 6 : 160 tam sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazınız.
Cevap 6: 160 ı 2 ye bölersek 80 kalır
80 nı 2 ye bölersek 40 kalır.
40 ı 2 ye bölersek 20 kalır
20 yi 2 ye bölersek 10 kalır
10 nu 2 ye bölersek 5 kalır.
5 i 5 e bölersek 1 kalır.
Bölen sayılarımız 2, 2, 2, 2, 2 ve 5 tir.
Bu durumda 160 sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı
25.51 olur.
Örnek 7 : EBOB ve EKOK’larının çarpımı 225 olan iki sayıdan biri 9 ise, diğer sayı kaçtır?
Cevap 7: İki sayının EBOB ile EKOK değerlerinin çarpımı bu iki sayının çarpımına eşit olur. O halde
EBOB . EKOK = 9. diğer sayı
EBOB, EKOK çarpımı 225 olduğuna göre
225 = 9. diğer sayı
diğer sayı = 25 olarak bulunur.
En küçük ortak kat;
Sayıların tüm bölenelrinin çarpımı bize EKOK değerini verir. Şimdi ne denemk istediğimiz aşağıdaki örnek 8 de açıklayalım.
Örnek 8 : 110 sayısından en az kaç çıkartılırsa elde edilen sayı değeri 12 ve 14 ile tam olarak bölünebilir.
Cevap 8: En az kaç çıkartılır dendiğine göre 12 ve 14 nın EKOK değerini bulmamız gerekiyor.
12 ve 14 ü 2 ye bölersek 6 ve 7 kalır,
6 ve 7 yi 2 ye bölersek 3 ve 7 kalır,
3 ve 7 yi 3 e bölersek 1 ve 7 kalır,
1 ve 7 yi 7 e bölersek 1 ve 1 kalır.
Bu durumda EKOK değerimiz 2.2.3.7 = 84 olur.
110 – 84 = 26 olur. Bu durumda 110 sayısından en az 26 sayısını çıkartırsak sayı değerimiz 12 ve 14 e tam olarak bölünebilir.
Örnek 9 : 45 ve 75 sayısının en büyük ortak bölen değerini bulunuz.
Cevap 9: En büyük ortak bölen değeri aynı anda 2 sayıyı da bölen değerdir. Bu durumda;
45 ve 75 sayısını 3 e bölersek 15 ve 25 kalır. 3 sayımız ebob a dahil olur.
15 ve 25 sayısını 3 e bölersek 5 ve 25 kalır. 3 sayımız ebob a dahil değildir.
5 ve 25 sayısını 5 e bölersek 1 ve 5 kalır. 5 sayımız ebob a dahil olur.
Bu durumda Ebob değerimiz 3.5 = 15 olarak bulunur.
Örnek 10 : 20 kilogramlık elma ve 15 kilogramlık armut, paketlere eşit ağırlıkta konulacaktır. Bu iş için en az kaç pakete ihtiyaç vardır?
Cevap 10: Paket sayısının en az olması istendiğine göre 20 ve 15 sayısının EBOB değerini bulmamız gerekiyor.
20 ve 15 i 2 ye bölersek 10 ve 15 kalır,
10 ve 15 i 2 ye bölersek 5 ve 15 kalır.
5 ve 15 i 3 e bölersek 5 ve 5 kalır.
5 ve 5 i 5 e bölersek 1 ve 1 kalır.
Bu durumda EBOB değerimiz 5 olur. (Her iki sayı aynı anda sadece 5 e bölünebildi.)
Elma ve armutun ağırıkları toplamı 20 + 15 = 35 olur.
35/5 = 7 paket olarak cevabı buluruz.