9. Sınıf Dik Üçgen ve Trigonometri Çözümlü Sorular

9. Sınıf Dik Üçgen ve Trigonometri Çözümlü Soruların, Problemlerin ve testlerin olacağı bu yazımzıda, Pisagor Teoremi, Öklid Teoremi, Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları ve Birim Çember ile ilgili sorular çözeceğiz. Sorualra geçmeden önce 9. Sınıf Dik Üçgen ve Trigonometri Konu Anlatımı yazımızı da inceleyebilirsiniz.

Soru: Aşağıdaki ABC nde |AD| = 5 cm, |AC| = 13 cm, |BD| = 6 cm, |DC| = 12 cm ve |AB| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.

Cevap: ADC üçgeninde |AD|² + |DC|² = |AC|²
5² + 12² = 13²
25 + 144 = 169
169 = 169 olduğundan [AD] ⊥ [DC] olur. O hâlde [AD] ⊥ [BD] olur.

ABD üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.
|AD|² + |BD|² = |AB|²
5² + 6² = x²
x² = 25 + 36
x² = 61 cm

x = ​\( \displaystyle\sqrt[]{61} \)​ cm bulunur.

 

Soru: Aşağıdaki şekilde B, E ve C noktaları doğrusal, [AB] ⊥ [BC], [DC] ⊥ [BC], |AB| = 4 cm, |DC| = 2 cm ve |BC| = 8 cm olmak üzere |AE| + |ED| nun en küçük değerini bulalım.

Cevap: |AE| + |ED| nun en kısa olması için D noktasının C ye göre simetriği alındığında oluşan D’ noktası ile E ve A nın doğrusal olması gerekir. Şekli aşağıdaki gibi dik üçgene tamamlarsak [AD´], AB´D´ dik üçgenin hipotenüsü olur. |BC| = |B´D´| = 8 cm, |DC| = |CD´| = 2 cm olmak üzere |AB´| = 6 cm olur.

AB´D´ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.
|AD´|² = |AB´|² + |B´D´|²
= 6² + 8²
= 36 + 64
|AD´|² = 100

|AD´| = 10 cm olur. Buradan |AE| + |ED| nun en küçük değeri 10 cm bulunur.

 

Soru: Aşağıdaki ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC], |BC| = 12 cm, |AC| = x + 8 cm ve |AB| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.

Cevap: ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC] olduğundan
|AC|² = |AB|² + |BC|² olur arkadaşlar.

(x + 8)² = x² + 12²
x² + 16x + 64 = x² + 144 olur.

16x = 80
x = 5 cm bulunur.

 

Soru: Şekildeki ABC üçgeni için [AB] ⊥ [AC] ve [AE] ⊥ [ED] d›r. AB 4√6 birim |DC| = 2 birim ve |BE| = |EC| ise |AD| uzunluğunu bulunuz.

Cevap: [AC] üzerinde, [EF] // [AB] olacak şekilde bir F noktası seçilirse |BE| = |EC| olduğundan [EF], ABC üçgeninin orta tabanı olur ve

\( |EF|=\displaystyle\frac{|AB|}{2}=\frac{4√6}{2}=2√6 \ olur. \)

Ayrıca [EF] // [AB] ve |BE| = |EC| olduğundan |AF| = |FC| olur. Bu durumda
|FD| = x denirse |AF| = |FC| = x + 2 olur.

AED üçgeninde Öklid teoremi ile;

(2√6)² = (x + 2).x = 24 ⇒ 24 = (x + 2).x
⇒ Bu eşitliği sağlayan x değeri 4 olur.

⇒ |AD| = |AF| + |FD| = x + 2 + x = 4 + 2 + 4 = 10 birim olarak buluruz.

 

Soru: [AB] ⊥ [AD], [AF] ⊥ [BD], [CE] ⊥ [BD] ve [CB] ⊥ [DC] dir.
|AF| = 12 birim
|BF| = 8 birim
|ED| = 4 birim ise |CE| nu bulunuz.

Cevap: |FE| = x diyelim arkadaşlar.
ABD üçgeninde Öklid teoremi ile

12² = 8.(x + 4) ⇒ 144 = 8.(x + 4)
⇒ 18 = x + 4
⇒ x = 14 buluruz.

CDB dik üçgeninde Öklid teoremi ile
|CE|² = (8 + x).4
|CE|² = (8 + 14).4
|CE|² = 88 ⇒ |CE| = ​\( \displaystyle\sqrt[]{88} \)

|CE| =​\( \displaystyle2\sqrt[]{22} \)​ olarak buluruz.

 

Soru: Şekilde [AB] ⊥ [AE], [BF] ⊥ [FD] ve [AC] ⊥ [BE] dır.

\( \displaystyle\frac{|CE|}{|CD|}=4 \ ise \ \frac{|AF|}{|CF|} \)​ oranını bulunuz.

Cevap: ABE dik üçgeninde Öklid teoremiyle |AC|² = | BC| ∙ |CE| olur.
BFD dik üçgeninde Öklid teoremiyle |CF|² = | BC| ∙ |CD| olur.
Bu iki eşitliği taraf tarafa oranlarsak

 

Soru: Aşağıdaki şekilde B, A, E doğrusaldır m(BAD) = m(HAD), m(CAE) = m(CAH), |AH| = 6 birim, |DH| = 4 birim ise |HC| uzunluğunu bulunuz.

Cevap: B, A, E doğrusal olduğundan 2a + 2b = 180° ⇒ a + b = 90° olur.
Bu durumda m(DAC) = 90° olur.

ADC dik üçgeninde Öklid teoremi ile
|AH|² = |DH|.|HC| ⇒ 36 = 4.|HC|

⇒ |HC| = 9 birim olur.

 

Soru: Aşağıdaki ABC dik üçgeni için m(BAC) = 90° ve |AH| ⊥  |BC| dır. |AH|= 2√6 birim ve |BH| = 4 birim ise |HC| ve |AC| uzunluklarını bulunuz.

Cevap: Sorunun detaylı çözümünü aşağıda bulabilrisiniz arkadaşlar.

 

Soru: Aşağıdaki ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], |AB| = 12 cm, |AC| = 5 cm ve m(ABC) = a olmak üzere a nın trigonometrik oranlarını bulalım.

Cevap: [AB] ⊥ [AC], |AB| = 12 cm, |AC| = 5 cm olduğundan
|BC| = 13 cm olur (5 – 12 – 13 özel dik üçgeni). Buradan da;

\( sinα=\displaystyle\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{5}{13} \)

\( cosα=\displaystyle\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{12}{13} \)

\( tanα=\displaystyle\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{5}{12} \)

\( cotα=\displaystyle\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{12}{5} \ olur. \)

 

Soru: Aşağıdaki birim çemberde m(AOP) = 45° olduğuna göre P noktasının koordinatlarını bulalım.

Cevap: [PH⊥OH] olacak şekilde [PH] nı çizelim.
O merkezli çember, birim çember olduğundan |OP| = 1 br, |OH| = a br, |PH| = b br olur.

P(a, b) noktası I. bölgede bulunduğundan ve m(AOP) = 45° olduğundan P(a, b) = P(cos45°, sin45°) tir.

cos45° = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​  sin45° = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​ olduğundan

a = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​; b = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​ olur.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.