9. Sınıf İki Kümenin Kartezyen Çarpımı Çözümlü Sorular

9. Sınıf İki Kümenin Kartezyen Çarpımı İle İlgili Çözümlü Soruların ve Problemlerin olacağı bu yazımızda her bir sorunun detaylıca çözümlemesini yaptık.

Kartezyen Çarpım Kümesi

Birinci bileşeni bir A kümesinden, ikinci bileşeni ise bir B kümesinden alarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir ve AxB ile gösterilir. AxB kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi
AxB ={(a, b) | a e A ve b e B} dir.

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

1. A ve B birbirinden farklı iki küme ise AxB ! BxA olur. Kümeler yer değiştirdiğinde farklı sıralı ikililer oluşacağı için kartezyen çarpımları da birbirinden farklı kümeler oluştururlar.

2. Ax Q = Q xA = Q olur. Boş kümenin kartezyen çarpımına ekleyebileceği
herhangi bir elemanı olmadığı için kartezyen çarpımının sonucu da yine boş
küme bulunur.

Soru: A ={1, 3, 5, 7, 9} ve B ={k, l, m, n} kümeleri veriliyor. AxB, BxA, AxA ve BxB kümelerinin eleman sayısını bulunuz.

Cevap: A ve B herhangi iki küme olmak üzere s(A) = a ve s(B) = b ise
s(AxB) =a . b olur.

s(AxB) =s(BxA) olduğuna dikkat ediniz.

Soru: A ={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi veriliyor. AxA kümesinin elemanlarından kaç tanesinde 1. bileşen ve 2. bileşenin birbirinden farklı olduğunu bulunuz.

Cevap: s(A) =6 ve s(AxA) =6 . 6 =36 olur.

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) elemanlarının bileşenleri aynı olup 6 tanedir.
AxA kümesinin tüm elemanlarından, bileşenleri aynı olan elemanlar çıkarılırsa geriye bileşenleri aynı olmayan elemanlar kalır. Bu durumda bileşenlerin birbirinden farklı olduğu eleman sayısı 36 – 6 =30 olur.

Soru: AxB ={(3, a), (3, b), (3, c), (4, a), (4, b), (4, c)} ve
CxD ={(4, m), (4, n), (4, k), (4, l), (6, m), (6, n), (6, k), (6, l)}
kartezyen çarpım kümeleri veriliyor. AxD kümesinin eleman sayısını bulunuz.

Cevap: AxB yazılımında elde edilen sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinin elemanlarıdır. Böylece A kümesi A ={3, 4} ve s(A) =2 olur.

CxD yazılımında elde edilen sıralı ikililerin ikinci bileşenleri ise D kümesinin elemanlarıdır. Böylece D ={m, n, k, l} ve s(D) =4 olur. Bu durumda
s(AxD) = s(A) . s(D) = 2 . 4 = 8 olur.

 

Soru: A ={2, 3, 4} ve B ={3, 5} kümeleri veriliyor.
AxB kümesini liste yöntemi ve Venn şeması ile gösterip bu kümenin grafiğini çiziniz.

Cevap: AxB nin liste yöntemi ile gösterimi AxB ={(2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (4, 3), (4, 5)} olur. AxB nin Venn şeması ile gösterimi aşağıdadır.

Grafiğin dik koordinat sisteminde gösterimi AxB kümesini oluşturan sıralı ikililerin birinci bileşenleri x ekseni üzerinde, ikinci bileşenleri ise y ekseni üzerinde bulunur. x eksenindeki bileşenlere düşey ve kesikli, y eksenindeki bileşenlere yatay ve kesikli doğrular çizilip kesiştiği noktalar işaretlenir. Bu şekilde elde edilen noktaların oluşturduğu grafik AxB nin grafiğidir.

 

 

Soru: A = {x | 12 < x < 200, x = 5n, n Î Z } ve B = {x | x , alfabemizdeki ünlü harfler} ise s(AxB) değerini bulunuz.

Cevap:

A = {x | 12 < x < 200, x = 5n, n Î Z } = { 15,20,25…..195} -> s(A)= (195-15) / 5 + 1 = 37 olur.

s(B)= {a,e,u,ü,o,ö,i,ı} = 8

s(AxB)= 37 x 8 = 296 olarak yanıtı buluruz.

 

Soru: (3x + 4y , 2) =(5 , 4x + 3y) eşitliğine göre x + y değerini bulunuz.

Cevap:

3x + 4y = 5

4x + 3y = 2

7x + 7y = 7

7(x+y) = 7

x+y= 1

 

Soru: A = {a | a yı tam bölen farklı pozitif tam sayılar} kümesi veriliyor. s(A) = 4 şartını sağlayan a değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevap: verilen sayıların pozitif çarpanlarına bakalım

9’un çarpanları: 1,3,9

16’nın çarpanları: 1,2,4,8,16

27’nin çarpanları: 1,3,9,27

36’nın çarpanları: 1,2,3,4,6,9,12,18,36

45’in çarpanları: 1,3,5,9,15,45

bu durumda, 4 adet çarpanı bulunan sadece 27’dir. yanıtımı< 27 olur.

 

Soru: A = {a, b, c, d, {1, 2, 3, 4}} alt kümelerinin kaç tanesinde b elemanı bulunup c elemanı bulunmaz.

Cevap: c elemanını kümeden atalım.

b elemanını da seçtiğimizden geriye 3  eleman kalır arkadaşlar.

Bu durumda da cevabımızı 2³=8 olarak buluruz.

 

Soru: A = {a, b, c} ve B = {a, b, c, 1, 2, 3} kümeleri veriliyor. B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?

Cevap: A kümesinin elemanları B kümesinin de içinde yer aldığında dolayı, bu elemanları içeren alt küme sayısı da aynı olmalıdır.

Bu durumda A kümesinin alt küme sayısı 2³=8 olduğuna göre, A kümesinin elemanları, B kümesinin 8 tane alt kümesi kapsar

 

Soru: a ∈ A ve b ∈ A olmak üzere , a ve b ∈larından yalnız birinin bulunduğu alt küme sayısı 32 ise A nın kendisi hariç alt küme sayısı kaçtır?

Cevap: Oluşturacağımız kümede a ve b elemanlarından hariç n tane eleman daha yer alsın.

Toplam eleman sayısı n+2 olur  O halde a’nın bulunduğu alt küme sayısı 2ⁿ⁺²-2ⁿ olur.

Aynı şekilde b’nin bulunduğu alt küme sayısı da 2ⁿ⁺²-2ⁿ olur.  O halde

2ⁿ⁺²-2ⁿ+2ⁿ⁺²-2ⁿ=32 olur.

Buradan da  n=6 olarak buluruz.

A kümesinin alt küme sayısı da 2⁶=64 olur.

Soruda kendisi hariç alt küme sayısı sorulduğundan dolayı yanıtımızı 64-1=63 olarak buluruz.

 

Soru: A = {x | 13 < x < 70, x = 3k, k ∈ N } B = {y l 2 ≤ y < 50, y = 5k, k ∈ N } ise s(A , B) kaçtır?

Cevap: A kümesi A = {x | 15 ≤ x ≤ 69, x = 3k, k ∈ IN }

O halde s(A)=[(69-15)/3]+1=19 buluruz.

B kümesi  B = {y l 5 ≤ y ≤ 45, y = 5k, k ∈ N }

O halde s(B)=[(45-5)/5]+1=9 buluruz.

s(A,B)=s(A)+s(B) anlamına gelir.

Bu durumda  s(A,B)=19+9=28 olarak buluruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.