9. Sınıf İki Kümenin Kartezyen Çarpımı İle İlgili Çözümlü Soruların ve Problemlerin olacağı bu yazımızda her bir sorunun detaylıca çözümlemesini yaptık.
Kartezyen Çarpım Kümesi
Birinci bileşeni bir A kümesinden, ikinci bileşeni ise bir B kümesinden alarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir ve AxB ile gösterilir. AxB kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi
AxB ={(a, b) | a e A ve b e B} dir.
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
1. A ve B birbirinden farklı iki küme ise AxB ! BxA olur. Kümeler yer değiştirdiğinde farklı sıralı ikililer oluşacağı için kartezyen çarpımları da birbirinden farklı kümeler oluştururlar.
2. Ax Q = Q xA = Q olur. Boş kümenin kartezyen çarpımına ekleyebileceği
herhangi bir elemanı olmadığı için kartezyen çarpımının sonucu da yine boş
küme bulunur.
Soru: A ={1, 3, 5, 7, 9} ve B ={k, l, m, n} kümeleri veriliyor. AxB, BxA, AxA ve BxB kümelerinin eleman sayısını bulunuz.
Cevap: A ve B herhangi iki küme olmak üzere s(A) = a ve s(B) = b ise
s(AxB) =a . b olur.
s(AxB) =s(BxA) olduğuna dikkat ediniz.
Soru: A ={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi veriliyor. AxA kümesinin elemanlarından kaç tanesinde 1. bileşen ve 2. bileşenin birbirinden farklı olduğunu bulunuz.
Cevap: s(A) =6 ve s(AxA) =6 . 6 =36 olur.
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) elemanlarının bileşenleri aynı olup 6 tanedir.
AxA kümesinin tüm elemanlarından, bileşenleri aynı olan elemanlar çıkarılırsa geriye bileşenleri aynı olmayan elemanlar kalır. Bu durumda bileşenlerin birbirinden farklı olduğu eleman sayısı 36 – 6 =30 olur.
Soru: AxB ={(3, a), (3, b), (3, c), (4, a), (4, b), (4, c)} ve
CxD ={(4, m), (4, n), (4, k), (4, l), (6, m), (6, n), (6, k), (6, l)}
kartezyen çarpım kümeleri veriliyor. AxD kümesinin eleman sayısını bulunuz.
Cevap: AxB yazılımında elde edilen sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinin elemanlarıdır. Böylece A kümesi A ={3, 4} ve s(A) =2 olur.
CxD yazılımında elde edilen sıralı ikililerin ikinci bileşenleri ise D kümesinin elemanlarıdır. Böylece D ={m, n, k, l} ve s(D) =4 olur. Bu durumda
s(AxD) = s(A) . s(D) = 2 . 4 = 8 olur.
Soru: A ={2, 3, 4} ve B ={3, 5} kümeleri veriliyor.
AxB kümesini liste yöntemi ve Venn şeması ile gösterip bu kümenin grafiğini çiziniz.
Cevap: AxB nin liste yöntemi ile gösterimi AxB ={(2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (4, 3), (4, 5)} olur. AxB nin Venn şeması ile gösterimi aşağıdadır.
Grafiğin dik koordinat sisteminde gösterimi AxB kümesini oluşturan sıralı ikililerin birinci bileşenleri x ekseni üzerinde, ikinci bileşenleri ise y ekseni üzerinde bulunur. x eksenindeki bileşenlere düşey ve kesikli, y eksenindeki bileşenlere yatay ve kesikli doğrular çizilip kesiştiği noktalar işaretlenir. Bu şekilde elde edilen noktaların oluşturduğu grafik AxB nin grafiğidir.
Soru: A = {x | 12 < x < 200, x = 5n, n Î Z } ve B = {x | x , alfabemizdeki ünlü harfler} ise s(AxB) değerini bulunuz.
Cevap:
A = {x | 12 < x < 200, x = 5n, n Î Z } = { 15,20,25…..195} -> s(A)= (195-15) / 5 + 1 = 37 olur.
s(B)= {a,e,u,ü,o,ö,i,ı} = 8
s(AxB)= 37 x 8 = 296 olarak yanıtı buluruz.
Soru: (3x + 4y , 2) =(5 , 4x + 3y) eşitliğine göre x + y değerini bulunuz.
Cevap:
3x + 4y = 5
4x + 3y = 2
7x + 7y = 7
7(x+y) = 7
x+y= 1
Soru: A = {a | a yı tam bölen farklı pozitif tam sayılar} kümesi veriliyor. s(A) = 4 şartını sağlayan a değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevap: verilen sayıların pozitif çarpanlarına bakalım
9’un çarpanları: 1,3,9
16’nın çarpanları: 1,2,4,8,16
27’nin çarpanları: 1,3,9,27
36’nın çarpanları: 1,2,3,4,6,9,12,18,36
45’in çarpanları: 1,3,5,9,15,45
bu durumda, 4 adet çarpanı bulunan sadece 27’dir. yanıtımı< 27 olur.
Soru: A = {a, b, c, d, {1, 2, 3, 4}} alt kümelerinin kaç tanesinde b elemanı bulunup c elemanı bulunmaz.
Cevap: c elemanını kümeden atalım.
b elemanını da seçtiğimizden geriye 3 eleman kalır arkadaşlar.
Bu durumda da cevabımızı 2³=8 olarak buluruz.
Soru: A = {a, b, c} ve B = {a, b, c, 1, 2, 3} kümeleri veriliyor. B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?
Cevap: A kümesinin elemanları B kümesinin de içinde yer aldığında dolayı, bu elemanları içeren alt küme sayısı da aynı olmalıdır.
Bu durumda A kümesinin alt küme sayısı 2³=8 olduğuna göre, A kümesinin elemanları, B kümesinin 8 tane alt kümesi kapsar
Soru: a ∈ A ve b ∈ A olmak üzere , a ve b ∈larından yalnız birinin bulunduğu alt küme sayısı 32 ise A nın kendisi hariç alt küme sayısı kaçtır?
Cevap: Oluşturacağımız kümede a ve b elemanlarından hariç n tane eleman daha yer alsın.
Toplam eleman sayısı n+2 olur O halde a’nın bulunduğu alt küme sayısı 2ⁿ⁺²-2ⁿ olur.
Aynı şekilde b’nin bulunduğu alt küme sayısı da 2ⁿ⁺²-2ⁿ olur. O halde
2ⁿ⁺²-2ⁿ+2ⁿ⁺²-2ⁿ=32 olur.
Buradan da n=6 olarak buluruz.
A kümesinin alt küme sayısı da 2⁶=64 olur.
Soruda kendisi hariç alt küme sayısı sorulduğundan dolayı yanıtımızı 64-1=63 olarak buluruz.
Soru: A = {x | 13 < x < 70, x = 3k, k ∈ N } B = {y l 2 ≤ y < 50, y = 5k, k ∈ N } ise s(A , B) kaçtır?
Cevap: A kümesi A = {x | 15 ≤ x ≤ 69, x = 3k, k ∈ IN }
O halde s(A)=[(69-15)/3]+1=19 buluruz.
B kümesi B = {y l 5 ≤ y ≤ 45, y = 5k, k ∈ N }
O halde s(B)=[(45-5)/5]+1=9 buluruz.
s(A,B)=s(A)+s(B) anlamına gelir.
Bu durumda s(A,B)=19+9=28 olarak buluruz.