9. Sınıf Matematik Üçgenin Yardımcı Elemanları Konu Anlatımı

9. Sınıf Matematik Üçgenin Yardımcı Elemanları Konu Anlatımı pdf dersimize hoşgeldiniz arkadaşlar. Bu dersimizde sizlere üçgenin yardımcı elemanlarını anlatacağız.

  • Üçgende Açıortay
  • Üçgende Kenarortay
  • Kenar Orta Dikme
  • Üçgende Yükseklik

ÜÇGENİN YARDIMCI ELEMANLARI

 

Üçgenin açıortayı, kenarortayı ve yüksekliği üçgenin yardımcı elemanlarıdır.

ÜÇGENDE AÇIORTAY

Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. m(AOB)  = m(BOC) ise [OB, AOC açısının açıortayıdır.

Verilen bir açı cetvel ve pergel kullanılarak şu şekilde iki eş açıya ayrılabilir.

I. Adım

Cetvel yardımıyla AOB açısı çiziniz.

II. Adım

AOB açısının O noktasına pergelin sivri ucunu koyarak O merkezli bir çember çember yayı çiziniz. Bu çember yayının açının kollarını kestiği noktalar K ve N olsun.

III. Adım

Pergelin sivri ucunu K noktasına koyarak yarıçapı [OK] olan bir çember çizilir. Aynı şekilde pergelin sivri ucunu N noktasına koyarak yarıçapı [ON] olan bir çember çizilir. |OK| = |ON| dir. Bu çemberlerin kesiştiği noktalardan birisi P olsun.

IV. Adım

Son olarak O ve P noktaları birleştirildiğinde elde edilen [OP, AOB açısının açıortayıdır.

Açıortayın Özellikleri 

  Bir açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir.  O hâlde |NC| = |ND| ve |OC| = |OD| dir.

Elde edilen üçgenlerin ortak doğru parçası, [ON] olduğundan A.K.A. eşlik teoreminden;

\( \displaystyle\stackrel{Δ}{NCO}~ ≅ ~\displaystyle\stackrel{Δ}{NDO} \)​ olur.

 

  Bir üçgende iki iç açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü, 90° den diğer köşedeki açının ölçüsünün yarısı kadar fazladır. ABC üçgeninde [BD] ve [DC] açıortaylar olmak üzere

\( m(BDC) = 90 ~+ \displaystyle\frac{m(BAC)}{2} \)​ olur.

 

♦  ABC üçgeninde B ve C köşelerine ait dış açıortayların üçgeninde dışında olan bir  D noktasında kesişmeleriyle oluşan BDC açısının ölçüsü;

\( m(BDC) = 90~ – \displaystyle\frac{m(BAC)}{2} \)​ olur.

 

♦  Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü diğer köşedeki açının ölçüsünün yarısına eşittir.
ABC üçgeninde [BD] iç açıortay, [CD] dış açıortay olmak üzere;

\( m(BDC) = \displaystyle\frac{m(BAC)}{2} \)​ olur.

 

♦  İkizkenar bir üçgende tepe açısından tabana çizilen açıortay aynı zamanda yükseklik ve kenarortaydır.

[AD] ⊥ [BC] ve  |BD| = |DC| olur.

 

Örnek;

m(BTN) = m(ATN),  [KL] = [TA,   [KM] = [TB,   [PR] = [TA,   [PS] = [TB ve
|KL| = 3x – 16, |KM| = 2x – 9, |PS| = x – 4 olduğuna göre |TR|/|RL| oranını bulunuz.

 

Çözüm;

Açıortay üzerindeki bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Buna göre |KL| = |KM|  olur. O da;

3x – 16  =  2x – 9 ise x = 7 olur. Bu durumda |PR| = |PS| = x -4 ve |KL| = |KM| = 3x – 16 ise;

|PR| = |PS| = 3 ve |KL| = |KM| = 5 olarak bulunur.

\( \displaystyle\stackrel{Δ}{TRP}~ ≅ ~\displaystyle\stackrel{Δ}{TLK} \)  olduğundan;

\( \displaystyle\frac{|PR|}{|KL|} = \displaystyle\frac{|TR|}{|TL|} = \displaystyle\frac{3}{5} \)​ olur.

O halde ​\( \displaystyle\frac{|TR|}{|RL|} = \displaystyle\frac{3}{2} \)​ olur.

 

Örnek;

ABC üçgeninde, [BD] iç açıortay, [CD] dış açıortay, m(BDC) = 45º, |BC| = 10 cm, |EC| = 5 cm olduğuna göre |BE| = x değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

m(CBE) = a ise m(DCP) = m(DCE) = 45 + a olur.
m(A)+ 2a = 90º + 2a ⇒ m(A) = 90º olur.

ABC üçgeninde [BE] iç açıortay olduğundan iç açıortay teoremi kullanılırsa;

\( \displaystyle\frac{|AE|}{|AB|} = \displaystyle\frac{5}{10} \)​ olduğundan      |AE| = k ise |AB| = 2k olur.

1. Üçgende İç Açıortay

 

Bir üçgenin bir iç açısını iki eş açıya ayıran doğru parçasına o üçgenin iç açıortayı denir. Bir üçgende iç açıortaylar tek noktada kesişir. Kesiştikleri bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

[AS], A açısına ait açıortay olmak üzere |AS| = ​\( n_a \)
[BR], B açısına ait açıortay olmak üzere |BR| = \( n_b \)
[CP], C açısına ait açıortay olmak üzere |CP| = \( n_c \)​ ile gösterilir.
I noktası, iç açıortayların kesişim noktasıdır.

I noktası iç açıortayların kesişim noktası ve üçgenin iç teğet çemberinin merkezdir. D, E, F noktaları çemberin üçgene teğet noktaları olmak üzere;|IE| = |ID| = |IF| = r iç teğet çemberinin yarıçapıdır.
|AD| = |AE|
|BD| = |BF|
|CF| = |CE| olur.

 

Örnek;

ABC üçgeninde, I noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. [ID] // [AB], [IE] // [AC],  |BD| =  3 cm,  |DE| = 6 cm,  |EC| = 5 cm olduğuna göre IDE üçgeninin çevresinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

I noktası üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktasıdır. O hâlde [IB] ve [IC] iç açıortaylardır.
|ID| = |BD| = 3 cm, |IE| = |EC| = 5 cm dir. Bu durumda ​\( \displaystyle\stackrel{Δ}{Ç(IDE)} \)= 14​cm olarak bulunur.

2. Üçgende İç Açıortay Teoremi

 

♦  ABC üçgeninde, A açısına ait açıortay doğrusunun [BC] nı kestiği nokta N olsun.
|AB| = c, |AC| = b, |BN| = m, |NC| = n olmak üzere;

\( \displaystyle\frac{c}{b} = \displaystyle\frac{m}{n} \)​ dir.

♦  ABC üçgeninde [AN] iç açıortay ve |AN| = x olsun. |AB| = c, |AC| = b, |BN| = m, |NC| = n olmak üzere;

\( \displaystyle{x^2 = b.c – m.n} \)​ dir.

 

Örnek;

ABC üçgeninde, m(BAC) = 2. m(CBA), |BC| = 9 cm, |AC| = 6 cm olduğuna göre |AB| değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

Soruda verilenlere göre, m(ABC) = α denirse m(BAC) = 2α olur.

[AN], BAC açısının açıortayı olmak üzere |BN| = x, |AB| = y ise bu durumda üçgende iç açıortay teoreminden;

x² = 6y – x(9-x)
x² = 6y – 9x + x²
6y = 9x

\( \displaystyle\frac{y}{x} = \displaystyle\frac{3}{2} \)​olur. (1)

|AN| = x ve |NC| = 9 – x ise burada üçgende iç açıortay teoreminden;

\( \displaystyle\frac{y}{6} = \displaystyle\frac{x}{9-x} ⇒ \displaystyle\frac{y}{x} = \displaystyle\frac{6}{9-x} \)​olur. (2)

|AB| = y değerini bulmak için bu iki eşitliği kullanırsak;

\( \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{6}{9-x} \)

27 – 3x = 12
3x = 15
x = 5
y = |AB| = 7,5 cm olarak bulunur.

 

3. Üçgende Dış Açıortay

 

♦  Bir üçgenin bir dış açısını iki eş açıya ayıran ışına o üçgenin dış açıortayı denir. 

ABC üçgeninde ACP dış açısının açıortayı olan [CK, C açısına ait dış açıortaydır.

♦  Bir üçgende iki dış açıortay ile üçüncü açının iç açıortayı tek noktada kesişir(\( \displaystyle{I_A} \)​). Bu nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir. 

A açısına ait dış teğet çemberinin yarıçapı \( \displaystyle{r_A} \) dır. D, E ve F noktaları çemberin değme noktaları olmak üzere \( \displaystyle{|I_AD|=r_A} \)olur.

 

4. Üçgende Dış Açıortay Teoremi

 

♦  ABC üçgeninde [AK] dış açıortay, K ∈ [BC, |AB| = c, |AC| = b olmak üzere;

\( \displaystyle\frac{|KC|}{|KB|} = \displaystyle\frac{b}{c} \)​ olur.

♦  ABC üçgeninde [AK] dış açıortay, |AK| = y olsun. |AB| = c, |AC| = b olmak üzere;

y² = |KC|.|KB| – b.c ‘dir.

 

Örnek;

ABC üçgeninde [AK] iç açıortay, [AN] dış açıortay, |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm, |BC| = 7 cm olduğuna göre |KN| değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

İç açıortay teoreminden;

\( \displaystyle\frac{|AB|}{|AC|} = \displaystyle\frac{4}{3} = \displaystyle\frac{|BK|}{|KC|} \)

olduğundan |BK| = 4k ise |KC| = 3k bulunur.

|BC| = 4k + 3k = 7k = 7 olduğundan k = 1 bulunur.

O halde |BK| = 4 cm ve |KC| = 3 cm olur. |CN| = x olsun. Dış açıortay teoreminden;

\( \displaystyle\frac{x}{x+7} = \displaystyle\frac{6}{8} = \displaystyle\frac{3}{4} \)​⇒ 4x = 3x + 21 ⇒ x = 21 olur. Bu durumda |KN| = 3k + x = 3 + 21 = 24 cm olarak bulunur.

 

ÜÇGENDE KENARORTAY

 

Üçgenin bir köşesinden karşı kenarın ortasına çizilen ve bu kenarı iki eşit uzunluğa bölen doğru parçasına kenarortay denir.

ABC üçgeninde |BD| = |DC| olduğundan [AD], BC kenarının kenarortayıdır. Bu kenarortayın uzunluğu |AD| = ​\( \displaystyle{V_a} \)​ şeklinde gösterilir.

Kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve “G” ile gösterilir. Ağırlık merkezi kenarortayı, köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler.

|AD| = |DB|, |BF| = |FC|, |CE| = |EA| olduğundan [AF], [BE] ve [CD] kenarortaydır.

|AF| = \( \displaystyle{V_a} \)
|BE| = \( \displaystyle{V_b} \)
|CD| = \( \displaystyle{V_c} \)​ şeklinde gösterilir.

[AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = {G} noktası üçgenin ağırlık merkezidir. Bu durumda;

|AG| = 2.|GD|
|BG| = 2.|GE|
|CG| = 2.|GF| olur.

 

Örnek;

ABC üçgeninde [AE] ⊥ [BC] ve [BD] kenarortaydır. |AK| = 8 cm, |KE| = 4 cm ve |AB| = 13 cm olduğuna göre ABC üçgeninin çevre uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

|AK| = 2.|KE| olduğundan [AE] kenarortay olur. Bu durumda K noktası, ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.

[AE]⊥[BC] ve [AE] kenarortay ise ABC ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC| = 13 cm bulunur.

ABE dik üçgeninde Pisagor teoreminden |BE|² + 12² = 13² olur. O halde 5-12-13 üçgeninden yola çıkarak |BE| = 5 cm olarak bulunur.

ABC üçgeninin çevresi = 13 + 13 + 10 = 36 cm olur.

 

Kenarortayın Özellikleri 

  Bir üçgende herhangi iki kenarortayın uç noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenarortay üzerinde köşeden kenara doğru 3, 1 ve 2 sayılarıyla orantılı olacak şekilde parçalar ayırır.

[AF], [BE] ve [CD] kenarortaylar ve [DE] iki kenarortayın uç noktalarını birleştiren doğru parçası olmak üzere |AK| = 3k , |KG| = k , |GF| = 2k olur.

  Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.

[AB] ⊥ [AC] ve [AD] kenarortay olmak üzere |AD| = |DB| = |DC| olur.

  Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.  [DE] orta taban ise [DE] // [BC] ve |BC| = 2.|DE| olur.

  Bir üçgende D ve E kenarların orta noktaları ise |AK| = |KL| olur.

  Bir üçgende [AF] kenarortay ve [KL] //[BC] ise  |KE| = |EL| olur.

Kenarortay Uzunluğu

  ABC üçgeninde a, b ve c kenarlarına ait Va, Vb, Vc kenarortayları arasında;

\( 2(V_a)^2 = b^2 + c^2 – \displaystyle\frac{a^2}{2} \)

\( 2(V_b)^2 = a^2 + c^2 – \displaystyle\frac{b^2}{2} \)

\( 2(V_c)^2 = a^2 + b^2 – \displaystyle\frac{c^2}{2} \)​ bağıntıları vardır.

Bu bağıntılar taraf tarafa toplanır düzenlenirse;

\( 4((V_a)^2 + (V_b)^2 + (V_c)^2) = 3(a^2 + b^2 + c^2) \)​ bağıntısı bulunur.

 

  ABC dik üçgeninde m(A) = 90º ve |AS| = ​\( V_a \)​,  |BP| = ​\( V_b \)​,  |CR| = ​\( V_c \)​ olmak üzere; 

\( 5((V_a)^2 = (V_b)^2 + (V_c)^2 \)​ olur.

 

Örnek;

ABC dik üçgeninde m(A) = 90º ve G noktası ağırlık merkezidir. |BD| = 5√2 cm ve |CE| = 5√3 cm olduğuna göre |BC| = x in cm cinsinden değerini bulunuz.

Çözüm;

ABC dik üçgeninde D, E ve F kenar orta noktalar,  |AF| = ​\( V_a \)​,  |BD| = ​\( V_b \)​,  |CE| = ​\( V_c \)​ olduğundan; 

\( 5((V_a)^2 = (V_b)^2 + (V_c)^2 \) ve |BC| = \( 2V_a \) olur.

\( 5(V_a)^2 = (5\displaystyle\sqrt{3})^2 + (5\displaystyle\sqrt{2})^2 = 75 + 50 = 125 \) olduğundan

\( \displaystyle{V_a^2 = 25} \)⇒ \( V_a \) = 5 cm olur.

O halde |BC| = \( 2.V_a = 2.5 = 10 \) olur.

 

KENAR ORTA DİKME

 

Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına dik olan doğruya orta dikme doğrusu denir.

Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan herhangi bir nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır.
d ⊥ [AB] , |AH| = |HB| , K ∈ d ve L ∈ d olmak üzere |AK| = |KB| ve |AL| = |LB| olur.

Bir doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta bulunan her nokta doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir.
|CA| = |CB| ise [AB] nın orta dikmesi C noktasından geçer.

Bir üçgenin kenar orta dikmeleri bir noktada kesişir. ABC üçgeninde;
[DH] ⊥ [AB], |AD| = |DB|
[HE] ⊥ [BC], |BE| = |CE|
[HF] ⊥ [AC], |AF| = |CF| olmak üzere
H noktası kenar orta dikmelerin kesişim noktasıdır.

Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiştiği noktanın üçgenin köşelerine olan uzaklıkları eşittir. Bu uzaklıkların her biri üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı olur. ABC üçgeninde çevrel çemberin merkezi O, yarıçapı R ise |AO| = |BO| = |CO| = R birimdir.

Üçgenin çeşidine göre çevrel çemberinin merkezi için 3 farklı durum vardır.

 

Örnek;

ABC üçgeninde D noktası, çevrel çemberinin merkezidir. [DE] ⊥ [AC], [DF] = [BC], |EC| = 7 cm, |DE| = √15 cm, |DF| = 2 √7 cm olduğuna göre BC kenarının uzunluğunu cm cinsinden bulunuz.

Çözüm;

D noktası, ABC üçgeninde çevrel çemberin merkezi olduğundan [DF] , BC kenarına ait; [DE] , AC kenarına ait orta dikmedir. DEC dik üçgeninde;

|DC|² = |DE|² + |EC|² ⇒ |DC|² = 15 + 49 = 64 ⇒ |DC| = 8 cm olur.

DFC dik üçgeninde;

|DC|² = |DF|² + |FC|² ⇒ 64 = 28 + |FC|² ⇒ |FC| = 6 cm bulunur.

|FC| = 6 cm olduğundan |BC| = 12 cm olarak bulunur.

 

ÜÇGENDE YÜKSEKLİK

 

Üçgenin bir köşesinden karşısındaki kenara çizilen dik doğru parçasına üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir.

•  [AH] ⊥ [BC] olmak üzere [AH], [BC] nın yüksekliğidir.

•  H noktasına dikme ayağı adı verilir.

•  |AH| = ​\( h_a \)​ ile gösterilir.

ABC üçgeninin yükseklikleri veya yüksekliklerin uzantıları bir noktada kesişir. Bu noktaya ABC üçgeninin diklik merkezi adı verilir. Üçgenin çeşidine göre diklik merkezi için üç farklı durum vardır.

1)  ABC üçgeni dar açılı üçgen ise diklik merkezi üçgenin iç bölgesindedir. Diklik merkezi D noktasıdır.

2) ABC üçgeni dik üçgen ise diklik merkezi üçgenin dik köşesidir. A noktası aynı zamanda diklik merkezidir.

3)ABC üçgeni geniş açılı üçgen ise diklik merkezi üçgenin dış bölgesindedir. Diklik merkezi D noktasıdır.

Örnek;

ABC üçgeninde K diklik merkezi [AL] ∩ [CK] = {K}, |AC| = 3√6 cm, |LC| = √5 cm, |KL| = 2 cm ve |AK| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.

Çözüm;

ABC üçgeninde K noktası diklik merkezi olduğundan yüksekliklerin kesişim noktasıdır. O hâlde [AL] ⊥ [BC] olur. ALC, dik üçgen olduğundan;

|AL|² + |LC|² = |AC|²
|AL|² + (√5)² = (3√6)²
|AL|² + 5 = 54
|AL|² = 49
|AL| = 7 olur. Buradan;

|AK| + |KL| = |AL|
x + 2 = 7
x = 5 cm bulunur.

 

 

 

 

 

Üçgende Yardımcı Elemanlar konumuz burada bitti arkadaşlar. Konuyla ilgili daha fazla örnek soru görmek için aşağıdaki linklere tıklayabilirsiniz.

Çözümlü Açıortay Soruları – 1

Çözümlü Açıortay Soruları – 2

Sorularda kullanacağınız pratik formüller için ise aşağıdaki yazımıza göz atabilirsiniz. 🙂 Derslerinizde başarılar diliyoruz.

Üçgende Açıortay Bağıntıları Özellikleri Formülleri

 

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.