9. Sınıf Matematik Üçgende (Üçgenin) Alan Çözümlü Soruların, Problemlerin, Testlerin ve örneklerin olacağı bu yazımızda pdf formatında cevaplı sorular paylaşacağız. Sorulara geçmeden önce dilerseniz 9. Sınıf Üçgende Alan Konu Anlatımı yazımızı da inceleyebilrisiniz.
Soru 1: Aşağıdaki ABC üçgeninde [BH] ⊥ [AC], [AD] ⊥ [BC], |AD| = 8 cm, |BC| = 10 cm ve |BH| = 4 cm olduğuna göre |AC| nun kaç cm olduğunu bulunuz.
Cevap: Verilenlere göre ABC üçgeninde iki farklı alan eşitliği yazabiliriz.
\( A(ABC) = \displaystyle\frac{|AC|.|BC|}{2} =\frac{|AC|.4}{2}=2.|AC| \ (I) \)
\( A(ABC) = \displaystyle\frac{|AD|.|BC|}{2} =\frac{8.10}{2}=40 \ olur \ (II) \)
(I) ve (II) nin eşitliğinden 2|AC| = 40
2|AC| = 40
|AC| = 20 cm olarak buluruz.
Soru 2: Aşağıdaki ABC, eşkenar üçgendir. |AB| = |AC| = |BC| = a br olduğuna göre A(ABC) nın kaç br² olduğunu bulunuz.
Cevap: [AH] ⊥ [BC] olacak şekilde [AH] nı çizersek [AH], hem açıortay hem kenarortay olur. ABH üçgeninde;
\( cos30° =\displaystyle\frac{|AH|}{a}\\\displaystyle\frac{√3}{2}=\frac{|AH|}{a} ⇒ |AH| = \frac{a√3}{2} \ olur. \)
Buradan da \( A(ABC) = \displaystyle\frac{|AH|.|BC|}{2} \) formülünden
\( \displaystyle\frac{\frac{a√3}{2}.a}{2} \ buradan da \ \frac{a^2√3}{4} \ br^2 \ buluruz. \)
Soru 3: Aşağıdaki şekilde [BC] açıortay, [AC] ⊥ [AB], m(ACB) < m(BCD), |AC| = 3 cm, |AB| = 8 cm ve |CD| = 5 cm olduğuna göre A(CBD) nın kaç cm² olduğunu bulunuz.
Cevap: [BC] açıortay olduğundan [CH] ⊥ [BD] çizilirse |AC| = |CH| = 3 cm, |AB| = |BH| = 8 cm olur.
CHD üçgeninde [CH] ⊥ [HD], |CH| = 3, |CD| = 5 olduğundan |HD| = 4 cm olur (3 – 4 – 5 özel dik üçgeni).
Buradan \( A(CBD) = \displaystyle\frac{|CH|.|BD|}{2} =\frac{3.12}{2}=18 \ cm^2 \) olarak buluruz.
Soru 4: Aşağıdaki ABC üçgeninde |AB| = 4 cm , |AC| = 2√3 cm ve m(BAC) = 60° olduğuna göre A(ABC) nın kaç cm² olduğunu bulunuz.
Cevap: \( A(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2}.|AB|.|AC|.sinA \) formülünden
\( = \displaystyle\frac{1}{2}.4.2√3.sin60^o \)
\( = \displaystyle\frac{1}{2}.4.2√3.\frac{√3}{2} ⇒ \) A(ABC) = 6 cm² buluruz
Soru 5: Aşağıdaki ABC üçgeninde [AC] açıortay, [AE] ⊥ [ED], |AB| = 8 cm, |AD| = 4 cm, |DC| = 2 cm ve |ED| = 3 cm olduğuna göre A(ABC) nın kaç cm² olduğunu bulunuz.
Cevap: [AC] açıortay olduğundan m(BAC) = m(CAD) = α diyelim.
AED üçgeninde sinα = \( \displaystyle\frac{|ED|}{|AD|}=\frac{3}{4} \ olur. \)
\( A(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2}.|AC|.|AB|.sinα \) formülünden;
\( =\displaystyle\frac{1}{2}.6.8.\frac{3}{4} ⇒ \) A(ABC)=18 cm²buluruz.
Soru: 6 Aşağıdaki şekilde [AH] ⊥ [BC], [DE] ⊥ [BC], 4A(ABC) = 3A(DBC) dır.
|AH| = 6 cm olduğuna göre |DE| = x in kaç cm olduğunu buunuz.
Cevap: ABC ve DBC aynı tabana sahiptir. Bu üçgenlerin alanlarını yazalım.
\( A(ABC)=\displaystyle\frac{1}{2}.|AH|.|BC| \ (I) \\A(DBC)=\displaystyle\frac{1}{2}.|DE|.|BC| \ (II) \ olur. \)
\( A(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2}|AH|.|BC| \ (I) \\ A(DBC) = \displaystyle\frac{1}{2}|DE|.|BC| \ (II) \ olur. \)
4A(ABC) = 3A(DBC) olduğundan (I) ve (II) den
\( \displaystyle4.(\frac{1}{2}|AH|.|BC|)=3.(\frac{1}{2}|DE|.|BC|) \)
\( \displaystyle\frac{4}{3}|AH|.|BC|=|DE|.|BC| \ olur. \)
Buradan da |DE| = 8 cm olarak buluruz.
Soru: 7 D, E ve F noktaları ABC üçgeninde bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
A(DEF) = 8 birimkare ise A(ABC) üçgeninın kaç birimkare olduğunu bulunuz.
Cevap: [DE], [DF] ve [EF] ayrı ayrı orta tabandır. A(ADE) = A denilsin. [DE]’//[BC] olduğundan BDF, DEF ve EFC nin yükseklikleri eşittir.
Yükseklikleri ve bu yüksekliklere ait taban uzunlukları eşit olan üçgenlerin alanları eşittir. Dolayısıyla;
A(DEF) = 8 birimkare ise A(ABC) = 4.8 = 32 birimkare olur.