Üçgende Açıortay Bağıntıları Özellikleri Formülleri

Arkadaşlar bildiğiniz gibi açıortay bir çok  geometri sorusunda direkt olmasada dolaylı yoldan karşımıza çıkan bir konu. Bu yazımızda karşınıza çıkan açıortay sorularını pratik yoldan çözmenize yardımcı olacak açıortay özelliklerini ve formüllerini bulabilirsiniz.

Üçgende Açıortay Bağıntıları Özellikleri Formülleri

 

Açıortay : Bir açıyı iki eş parçaya ayıran ışına bu açının açıortayı denir.

Açıortay Özellikleri

 

1.  Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzaklıklar birbirine eşittir.

|AB| = |AC| ve |KB| = |KC| ise

m(CAK) = m(BAK)

A(AKC) = A(AKB)’dir.

2.  Açı ortay üzerinde alınan bir noktanın açının kollarına olan uzaklıları birbirine eşittir.

|NM| = |NP| ve |KB| = |KC| olur.

3.  Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta(O noktası) üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

O merkezli çemberin yarı çapı “r” olarak gösterilir. Bu durumda O noktasından üçgenin kenarlarına ([AB], [AC], [BC]) indirilen dikmeler birbirine eşittir.

\( h_c ⊥[AB] , h_b ⊥[AC], h_a⊥ [BC] \)

\( h_c = h_b = h_a \)

4.  O noktası, ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi ise;

\( \frac{A(BOC)}{a} = \frac{A(COA)}{b} = \frac{A(AOB)}{c} \)olur.

5.  İki iç açıortayın ([OB], [OC]) üçgenin içindeki bir O noktasında kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü;

\( x = 90^o + \frac{m(\widehat{A})}{2}.(\widehat{BOC}) \)

6.  İki dış açıortayın üçgenin dışındaki bir D noktasında kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü;

\( x = 90^o – \frac{m(\widehat{A})}{2}.(\widehat{BDC}) \)

7.  Bir iç açıortay ile dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü;

\( z = \frac{m(A)}{2} \)olur.

8.  Bir üçgende iki dış açıortay ile bir iç açıortay bir noktada kesişir. Bu nokta dış teğet çemberin merkezidir.

|OB| = |OC| = r

\( m(\widehat{OAC}) = m(\widehat{OAB}) \)

\( m(\widehat{AOC}) = m(\widehat{BOA}) \)

 

9. (İç Açıortay Teoremi) ABC üçgeninde [AD] açıortay ise;

\( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) \)

\( \frac{A(ABD)}{A(ACD)} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \)​ olur.

10.  (İç Açıortay Teoremi) ABC üçgeninde [AN] açıortay ise;

|KN| = |LN|

\( m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN}) \)

 

11. (İç Açıortay Teoremi) ABC üçgeninde [AD] açıortay ise;  \( \frac{c}{b} = \frac{y}{x} \)

 

 

 

 

 

12. (İç Açıortay Teoremi) ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay uzunluğuna ndersek;

İç Açıortay Uzunluğu;

\( n_a = \sqrt{b.c – y.x} \)

yani

\( n_a^2 = b.c – y.x \)

 

13.  (Dış Açıortay Teoremi) [AN], ABC üçgeninin dış açıortay doğrusu olmak üzere;

 ​

\( \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|NC|}{|NB|} \)

\( \frac{A(ABC)}{A(ACN)} = \frac{|BC|}{|CN|} \)

Dış Açıortay Uzunluğu;

\( n_a^2 = |NC|.|NB| – |AC|.|AB| \)

 

14. ABC üçgeninde [AN] iç açıortay ve [AK] dış açıortay olmak üzere;

[AN] ⊥ [AK]

\( m(\widehat{NAK}) = 90º \)

\( \frac{|KC|}{|KB|} = \frac{|CN|}{|NB|} \)

 

 

Bir ecza deposu, kara yolu ile ulaşımın zor olduğu bir eczaneye ilaç gönderimini hava koşulları

Soru : Bir ecza deposu, kara yolu ile ulaşımın zor olduğu bir eczaneye ilaç gönderimini hava koşulları uygun olduğunda uçangöz (drone) adı verilen araçlar ile yapmaktadır. Uçangözler ile gönderimin yapılabilmesi için yağmur, dolu ve kar gibi yağış koşullarının olmaması gerekmektedir.

Yukarıdaki tabloda ecza deposu ile eczanenin bulunduğu bölgenin geçen haftaya ait hava durumu bilgileri verilmiştir. Geçen hafta ecza deposundan eczaneye hava koşullarının uygun olduğu her gün 1 defa, uçangöz ile ilaç gönderimi olmuştur. Uçangözün ecza deposundan eczaneye gidiş süresi, dönüş süresinden %25 daha uzundur. Geçen hafta uçangözün bu ecza deposu ile eczane arasındaki gidiş gelişlerinin toplam süresi 108 dakikadır. Buna göre, uçangözün ecza deposundan eczaneye gidiş süresi kaç dakikadır?

Çözüm: Güzel hava sayı sadece 3 gündür arkadaşlar. gidiş gelişlerinin toplam süresi 108 dakika olduğuna göre;

1 gün için gidiş geliş süresi 108/3 = 36 dakikadır.

eczaneye gidiş süresi, dönüş süresinden %25 daha uzunmuş. Dönüşe 4x dersek, gidişte 5x olur. Bunlarında toplamı 4x + 5x = 46 olur.

Buradan da x = 4 olarak buluruz.

Gidiş süremiz 5x olduğuna göre 5.4 = 20 dakika olarak yanıtı buluruz.

Birbirine eş üç kâğıt aşağıdaki gibi eş bölmelere ayrılıp, bölmelere birer harf yazıldıktan

Soru : Birbirine eş üç kâğıt aşağıdaki gibi eş bölmelere ayrılıp, bölmelere birer harf yazıldıktan sonra, farklı yöntemlerle katlanıyor. Elde edilen katlanmış kâğıtlar birer kenarları çakışacak şekilde bir poşet dosyaya aşağıdaki gibi yerleştiriliyor.

Buna göre poşet dosyanın kısa kenarının uzunluğu kaç santimetredir?

Çözüm: Evet arkadaşlar soruda bize 3 eş kağıt parçasının farklı şekillerde katlandığı söylenmiş. Buna göre bu kağıdın enine x dersek;

1. şekilde her bir bölmenin genişliği x/2 olur.

2. şekilde bölmelerin genişliği x/3 olur.

3. şekilde her bir bölmenin (A, B, C, D) genişliği x/4 olur.

Dosyaya 3. şeklin kağıdını koyarsak dosyanın kenar uzunluğu ;

19,4 + x/4 olur.

Dosyaya 1. ve 2. şeklin kağıdını koyarsak dosyanın kenar uzunluğu;

12,4 + x/2 + x/3 olur.

19,4 + x/4 = 12,4 + x/2 + x/3

19, 4 – 12,4 = x/2 + x/3 – x/4 (paydaları 12 olacak şekilde eşitlersek)

7 = (6x + 4x – 3x)/12

7. 12 = 7x

x = 12 olur. Bu durumda poşet dosyanın kısa kenarının uzunluğu;

19,4 + x/4 = 19,4 + 12/4

= 19,4 + 3

= 22,4 olur.