5. Sınıf Matematik Kesirler Konu Anlatımı

5.Sınıf Matematik Kesirler ve Kesirlerle İşlemler Konu Anlatımı Pdf dersimize hoş geldiniz sevgili arkadaşlar. Bu dersimizde sizlere kesirler konusunu çözümlü örnek sorularla destekleyerek anlatacağız. Kesirler ile ilgili öğreneceğimiz başlıklar aşağıdaki gibidir;

  • Kesir Nedir ?
  • Kesir Çeşitleri (Basit Kesir, Bileşik Kesir, Tam Sayılı Kesir)
  • Birim Kesir
  • Denk Kesirler
  • Kesirleri Sıralama
  • Kesirler ile Toplama ve Çıkarma İşlemleri
  • Bir çokluğun Basit Kesir Kadarını Bulma

KESİRLER VE KESİRLERLE İŞLEMLER

 

Bir bütünün eş parçalarını gösteren ve \( \displaystyle\frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen ifadelere kesir denir.

KESİR ÇEŞİTLERİ

Basit Kesir 

Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Bu kesirlerin payı paydasına bölündüğünde 1’den küçük bir değer elde edilir.

 

Örnek; 

Zehra’nın, örüntü bloklarını kullanarak oluşturduğu kesirleri inceleyelim.

Zehra’nın örüntü bloklarıyla oluşturduğu kesir modelinde, kırmızı ile gösterilen kısım, bütünün 2/6’sını gösterir.

2/6 kesrinin payı paydasından küçüktür. (2 < 6) Bu durumda bu kesrimiz bir basit olur.

Zehra’nın oluşturduğu kesir modelindeli mavi ile gösterilen kısım, bütünün 4/6’sını gösterir.

4/6 kesrinin payı paydasından küçüktür. (4 < 6) Kesrimiz basit kesirdir.

Birim Kesir

Bir bütünün eş parçalarından her birini belirten kesre birim kesir denir. Birim kesirler birer basit kesirdir.

  • Birim kesirler, payı 1 olan kesirlerdir.

Örnek; 

Annem bir pideyi 4 eş parçaya böldü. Eş parçalardan 1 tanesini beslenme
çantama koydu. Beslenme çantama konulan eş parçayı kesirle ifade edelim.

Pide 4 eş parçaya bölünmüştür. Eş parçalardan 1 tanesi beslenme çantasına
koyulmuştur. Pidenin beslenme çantasına koyulan kısmı 1/4 şeklinde
ifade edilir. Eş parçalardan biri bütünün birim kesridir.

  • İki birim kesirden paydası küçük olan birim kesir daha büyüktür.

\( \displaystyle\frac{1}{3}> \frac{1}{9}> \frac{1}{12} \)

 

Örnek;

Asım ile Hayri’nin eşit miktarda parası vardır. Asım parasının \( \displaystyle\frac{1}{4} \) ‘ini, Hayri ise  \( \displaystyle\frac{1}{6} \) ‘ini harcamıştır. Bu birim kesirleri aynı sayı doğrusunda göstererek Asım’ın mı, Hayri’nin mi daha fazla para harcadığını bulalım.

Çözüm;

Sayı doğrusunda sıfıra yakın olan birim kesir daha küçük olduğundan;

\( \displaystyle\frac{1}{4}> \frac{1}{6} \) olur. Öyleyse Asım daha fazla para harcamıştır.

 

  • Birim kesirler 1’den küçük olduğu için sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında yer alır.

Örnek;

\( \displaystyle\frac{6}{11} \)​ kesri kaç tane ​\( \displaystyle\frac{1}{11} \) kesrinden oluşmaktadır ?

Çözüm;

Arkadaşlar sayı doğrusunda iki doğal sayının arası bir bütüne eşittir. Soruda bizden bu bütünü 11’e bölmemiz ve bu bölmelerden 6’sını seçmemiz istenmiş. ​Hadi o zaman \( \displaystyle\frac{6}{11} \) gösterebilmek için bir sayı doğrusu çizelim.

Sayı doğrusuna göre \( \displaystyle\frac{6}{11} \)  içinde 6 tane \( \displaystyle\frac{1}{11} \) birim kesri vardır.

 

Bileşik Kesir 

Payı paydasına eşit ya da paydasından büyük olan kesirlere bileşik kesir denir.

Tam Sayılı Kesir 

Bir tam sayı ve basit bir kesir ile ifade edilen kesirlere tam sayılı kesir denir. Tam sayılı kesir, bir doğal sayı ile basit kesrin toplamına eşittir.

 

BİLGİ :  Bileşik kesirler tam sayılı kesir, tam sayılı kesirler ise bileşik kesirler şeklinde yazılabilir.

 

Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme

Tam sayılı kesir, bileşik kesre çevrilirken kesrin paydası ile tam kısmı çarpılır. Bu çarpımdan çıkan sonuç ile kesrin payı toplanarak paya yazılır. Payda ise olduğu gibi kalır.

 

Örnek;

\( \displaystyle2\frac{3}{5}\) tam sayılı kesrini bileşik kesre dönüştürelim.

Çözüm;

Tam sayılı kesrimizi bileşik kesre dönüştürmek için tam kısmı ve paydayı çarpıp, pay ile toplayarak payımıza yazalım arkadaşlar. Paydayı ise olduğu gibi bırakalım.

\( \displaystyle2\frac{3}{5} = \frac{(2 . 5) + 3}{5} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5}\)

Bu işlemler sonucunda \( \displaystyle2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}\)  bileşik kesrini elde ederiz.

 

Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme

Bir bileşik kesir tam sayılı kesre dönüştürülürken kesrin payı paydasına bölünür. Bu bölme işlemindeki bölüm tam sayı, kalan pay ve bileşik kesrin paydası, payda olarak yazılır.

Örnek;

\( \displaystyle\frac{10}{4}\) bileşik kesrinini tam sayılı kesre dönüştürelim.

Çözüm;

I.Yol:

\( \displaystyle\frac{10}{4}\) kesrinin içinde kaç tane tam kesir olduğunu göstererek tam sayılı kesre dönüştürelim.

II. Yol:

İkinci yolumuz arkadaşlar kural olarak size verdiğimiz yoldur. Buna göre bileşik kesrimizi tam sayılı kesre dönüştürmek için kesrin payı paydasına bölünür. Bu bölme işlemindeki bölüm tam sayı, kalan pay ve bileşik kesrin paydası, payda olarak yazılır.

BİLGİ : Bileşik kesirler ve tam sayılı kesirler 1’den büyük olduğu için sayı doğrusunda 1’den sonra yer alırlar.

 

Örnek;

\( \displaystyle\frac{4}{5}\) ve \( \displaystyle\frac{7}{5}\) kesirlerini sayı doğrusunda gösterelim.

Çözüm;

Öncelikle arkadaşlar bir sayı doğrusu çizelim ve çizdiğimiz bu sayı doğrusunda 0 ile 1 ve 1 ile 2 aralıklarını beşer eşit parçaya bölelim ve kesirlerimizin yerini bulalım.

Örnek;

\( \displaystyle3\frac{3}{6}\) kesrini sayı doğrusunda gösterelim.

Çözüm;

Arkadaşlar kesrimiz bir tam sayılı kesirdir. O yüzden sayı doğrusunda gösterirken öncelikle başındaki tam sayıyı dikkate alabiliriz. Bizim kesrimiz 3 ile  4 arasında olacak. Bu durumda bir sayı doğrusu çizip sayı doğrumuzun 3 ile  4 arasını paydamızda yazan 6 parçaya bölerek kesrimizi sayı doğrusunda gösterelim.

Denk Kesirler

Bir bütünün aynı miktarını ifade eden kesirlere denk kesirler denir. Denk kesirler “=” sembolü ile gösterilir.

Denk kesirlere örnek olarak şekilde 2 pizza verilmiştir. Bu pizzalardan ilki 4 eşit parçaya ikincisi ise 8 eşit parçaya bölünmüştür. İlk pizzanın 2 parçası, ikinci pizzanın ise 4 parçası seçilmiştir. Buna göre pizzaların seçilen kısımları için kesirleri yazdığımızda;

 

Örnek;

Bir anne eşit büyüklükte iki tepsi börek yapmıştır. Bu tepsilerden birindeki böreği 10 eş parçaya, diğerindeki böreği 20 eş parçaya bölmüştür. Oğluna 10 parçalık tepsiden 3 parça börek veren annenin kızına 20 parçalık tepsiden kaç parça börek verirse oğluna ve kızına eşit miktarda börek vermiş olacağını bulalım.

Çözüm;

Soruya göre annenin 10 parçaya böldüğü tepsiden oğluna verdiği börek miktarını aşağıdaki gibi gösterebiliriz.

Şimdide annenin 20 parçaya böldüğü tepsiden kızına kaç börek verirse oğlu ile eşit miktarda börek vereceğini görselle gösterelim.

Buna göre annenin kızına 6 dilim börek vermiştir. Bu oranları kesir olarak gösterirsek;

\( \displaystyle\frac{3}{10} = \frac{6}{20} \)

BİLGİ: Birbirine denk kesirler genellikle birbirinin sadeleştirilmiş veya genişletilmiş halidir.

 

Kesirleri Genişletme

Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı (0 hariç) ile çarpılırsa kesrin değeri değişmez. Buna kesirlerin genişletilmesi denir.

Örnek;

\( \displaystyle\frac{3}{4} \) kesrini genişletelim.

Çözüm;

2 ile genişletilmiş hali;

\( \displaystyle\frac{3}{4}  = \frac{3 . 2}{4 . 2} = \frac{6}{8}\)

4 ile genişletilmiş hali;

\( \displaystyle\frac{6}{8}  = \frac{6 . 4}{8 . 4} = \frac{24}{32}\)

Bu durumda \( \displaystyle\frac{3}{4}  = \frac{6}{8} = \frac{24}{32}\) olur. Yani bu 3 kesir birbirine denk kesirlerdir.

 

Kesirleri Sadeleştirme

Bir kesrin pay ve paydası aynı sayıya (0 hariç) bölersek kesrin değeri değişmez. Buna kesirlerin sadeleştirilmesi denir.

Örnek;

\( \displaystyle\frac{30}{54} \) kesrini sadeleştirelim.

Çözüm;

2 ile sadeleştirilmiş hali;

\( \displaystyle\frac{30}{54}  = \frac{30 / 2}{54 / 2} = \frac{15}{27}\)

3 ile sadeleştirilmiş hali;

\( \displaystyle\frac{15}{27}  = \frac{15 / 3}{27 / 3} = \frac{5}{9}\)

Bu durumda \( \displaystyle\frac{30}{54}  = \frac{15}{27} = \frac{5}{9}\) olur. Yani bu 3 kesir birbirine denk kesirlerdir.

Kesirleri sadeleştirmek kesirlerle yapılan işlemlerde kolaylık sağlar. Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilerek de sadeleştirilebilir.

Kesirleri Sıralama 

  • Bir doğal sayı ile bileşik kesri karşılaştırmak için bileşik kesri tam sayılı kesre çeviririz. Kesrin tam kısmı doğal sayıya eşitse veya büyükse kesir daha büyüktür, kesrin tam kısmı doğal sayıdan küçükse kesir daha küçüktür.

NOT: Her doğal sayı paydası 1 olan bir kesir şeklinde ifade edilebilir.

\( \displaystyle2 = \frac{2}{1}\)

 

  • Payları eşit olan kesirleri sıralamak için kesirlerin paydalarına bakarız. Paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

Örnek;

Aysun ile Salih aynı büyüklükte 2 tane pasta aldı. Aysun bir pastanın \( \displaystyle\frac{2}{4}\)‘sini, Salih ise diğer pastanın \( \displaystyle\frac{2}{8}\) ‘sini yedi. Hangisi daha fazla pasta yemiştir ?

Çözüm;

Sorunun çözümü için arkadaşlar öncelikle soruda  verilen durumu görselleştirelim. Kesirlerimizin payları eşit olduğuna göre paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Yani;

Aysun’un yediği parça, Salih’in yediği parçadan daha büyüktür.

\( \displaystyle\frac{2}{8} < \frac{2}{4}\)

 

  • Paydaları eşit olan kesirleri sıralamak için kesirlerin paylarına bakarız. Payı büyük olan kesir daha büyüktür.

Örnek;

\( \displaystyle\frac{4}{15} , \frac{1}{15},  \frac{19}{15}, \frac{8}{15}\) kesirlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Çözüm;

Yukarıdaki maddemize göre arkadaşlar kesirlerimizi sıralamak istersek, paydası eşit olan kesirlerde payı büyük olan kesrimiz daha büyük olur. Buna göre;

\( \displaystyle\frac{1}{15} < \frac{4}{15}<  \frac{8}{15}< \frac{19}{15}\) olur.

 

  • Paydaları eşit olmayan kesirleri sıralamak için öncelikle kesirlerde genişletme yaparak paydalarını eşitleriz. Paydaları eşit olan kesirlerde payı büyük olan kesir daha büyüktür.

 

  • Paydaları eşit olmayan tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilmeden karşılaştırılırken kesirlerin tam kısımlarına bakılır. Tam kısmı büyük olan kesir daha büyüktür. Tam kısımları aynı olan kesirlerin kesir kısımlarının paydası eşitlenir. Elde edilen kesirlerden payı küçük olan tam sayılır kesir daha küçüktür.

Örnek;

\( \displaystyle1\frac{3}{4} , 1\frac{5}{8},  2\frac{1}{3}\) kesirlerini büyükten küçüğe doğru sıralayalım.

Çözüm;

Soruda bize verilen kesirler birer tam sayılı kesirdir arkadaşlar. Buna göre önce kesirlerimizin tam kısımlarına bakarak bu kesirleri sıralamaya çalışacağız.

\( \displaystyle1\frac{3}{4}\) ve \( \displaystyle1\frac{5}{8}\) tam sayılı kesirlerin tam kısmı 1, \( \displaystyle2\frac{1}{3}\) tam sayılı kesirinin tam kısmı ise 2’dir. Bu durumda bu kesirlerin en büyüğü \( \displaystyle2\frac{1}{3}\) olur.

Şimdi de \( \displaystyle1\frac{3}{4}\) ve \( \displaystyle1\frac{5}{8}\) kesirlerinden hangisinin büyük olduğunu bulalım. Bu iki kesrinde tam kısmı eşit. O yüzden kesirlerin kalan kısımlarından hangisinin büyük olduğunu bulursak tam sayılı kesirlerden de hangisinin büyük olduğunu buluruz. O zaman öncelikle sıralayabilmek için kesirlerimizin paydalarını eşitleyelim.

\( \displaystyle\frac{3}{4} = \frac{3 . 2}{4 . 2} = \frac{6}{8}\)

Buna göre paydaları eşit olan iki kesirden payı büyük olan kesir daha büyüktür.

\( \displaystyle\frac{6}{8} > \frac{5}{8}\)

Yani \( \displaystyle1\frac{3}{4} > 1\frac{5}{8}\) ‘dir.

Sıralamamız ise \( \displaystyle2\frac{1}{3} > 1\frac{3}{4} > 1\frac{5}{8}\) şeklindedir.

 

  • Paydaları eşit olan tam sayılı kesirler, bileşik kesre çevrilerek veya tam kısımlarına bakılarak karşılaştırılır. Tam kısmı büyük olan kesir daha büyüktür. Tam kısımları aynı ise payı büyük olan tam sayılı kesir daha büyüktür.

Örnek;

\( \displaystyle1\frac{2}{5}\) ile \( \displaystyle1\frac{3}{5}\) kesirlerini karşılaştırınız.

Çözüm;

Sorumuzu iki farklı yolla çözebiliriz arkadaşlar. Şimdi ilk yol ile başlayalım.

I. yol:

Soruda verilen kesirlerimizin tam kısımları eşittir arkadaşlar. Kesirlerimizin paydaları da eşit olduğu için payı büyük olan kesrimiz daha büyüktür.

\( \displaystyle1\frac{2}{5} < 1\frac{3}{5}\)

II. yol:

Öncelikle sıralamak için kesirlerimizi bileşik kesre çevirelim.

\( \displaystyle1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}\)

\( \displaystyle1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}\)

Buna göre paydaları eşit olan iki kesirden payı büyük olan daha büyüktür.

\( \displaystyle\frac{7}{5} < \frac{8}{5}\) yani \( \displaystyle1\frac{2}{5} < 1\frac{3}{5}\) olur.

 

Bir çokluğun kesir kadarını hesaplama

Payda bir çokluğun kaç eş parçaya ayrıldığını gösterirken pay bu miktardan kaç parça alındığını gösterir. Yani bir çokluğun istenen basit kesir kadarını bulmak için önce çokluk paydaya bölünüp birim kesir kadarı bulunur. Daha sonra bu miktar kesrin payıyla çarpılır.

Örnek;

Aşçılık kursunu başarıyla tamamlayan Figen Hanım, 24 tane domatesin 2/3 ’ünü yemeğin içine doğramıştır. Figen Hanım’ın yemek için doğradığı domateslerin sayısını bulalım.

Çözüm;

\( \displaystyle24.\frac{2}{3} = \frac{24 . 2}{3} = \frac{48}{3} = 16 \)

Figen Hanım yemeğe 16 tane domates doğramıştır.

 

Kesir kadarı verilen çokluğun tamamını hesaplama

Basit kesir kadarı verilen bir çokluğun tamamı bulunurken önce çokluğun birim kesrine karşılık gelen miktarı bulunur. Çokluğun birim kesrine karşılık gelen miktarı bulmak için çokluk, kesrin payına bölünür. Daha sonra bulunan bölüm payda ile çarpılarak çokluğun tamamı bulunur.

Örnek;

Bir aracın yakıt deposunun 5/6 ’i 40 L benzin almaktadır. Bu aracın deposu kaç litre benzin alır?

Çözüm;

Yakıt depomuzun \( \displaystyle\frac{5}{6}\) ‘sı 40 L benzin alıyormuş. O zaman önce depomuzun  \( \displaystyle\frac{1}{6}\) ‘sı ne kadar benzin alır onu bulmalıyız arkadaşlar.

\( \displaystyle(40 / 5) = 8\) L benzin alır. Bu durumda benzin depomuzun tamamı;

\( \displaystyle8 . 6 = 48\) L benzin alır.

 

KESİRLER ile İŞLEMLER

Kesirlerle Toplama

Paydaları eşit olan iki kesir toplanırken payların toplamı paya, ortak payda ise paydaya yazılır.

Örnek;

Huriye Hanım yaptığı çöreklerin 2/5 ’sini komşularına, 1/5’ini çocuk bahçesindeki çocuklara dağıtmıştır. Buna göre Huriye Hanım yaptığı çöreklerin kaçta kaçını dağıtmıştır?

Çözüm;

Soruya göre Huriye hanım çöreklerin \( \displaystyle\frac{2}{5} + \frac{1}{5}\) lik kısmını dağıtmıştır.

Yani Huriye hanım çöreklerin;

\( \displaystyle\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2 + 1}{5} = \frac{3}{5}\) ‘ünü dağıtmıştır.

Kesirlerle Çıkarma

Paydaları eşit olan iki kesrin çıkarma işleminde birinci kesrin payından ikinci kesrin payı çıkarılıp bulunan fark paya, ortak payda ise paydaya yazılır.

Örnek;

Bir tarlanın 2/9’sine buğday, 5/9 ’ine ise mısır ekilmiştir. Mısır ekili alan, buğday ekili alandan tarlanın kaçta kaçı kadar fazladır?

Çözüm;

Soruda bize mısır ekili alanın buğday ekili alandan ne kadar fazla olduğunu soruyor arkadaşlar. Bunun için mısır ekili alandan buğday ekili alanı çıkarmamız gerekiyor.

\( \displaystyle\frac{5}{9} – \frac{2}{9} = \frac{5 – 2}{9} = \frac{3}{9}\)

Mısır ekili alan, buğday ekili alandan \( \displaystyle\frac{3}{9}\) fazladır.

BİLGİ: Paydaları eşit olmayan kesirlerle toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için kesirlerin paydaları eşitlenmelidir. Bu yüzden genişletme veya sadeleştirme işlemi yapılarak kesirlerin paydaları eşitlenir. Daha sonra toplama veya çıkarma işlemi yapılır.

 

Örnek;

\( \displaystyle\frac{1}{2} + \frac{3}{8}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm;

Arkadaşlar sorumuzu çözebilmek için önce kesirlerimizin paydalarını eşitleyelim. Bunun içinde \( \displaystyle\frac{1}{2}\) kesrini 4 ile genişletelim.

\( \displaystyle\frac{1}{2} = \frac{1 . 4}{2 . 4} = \frac{4}{8}\)

Bu durumda;

\( \displaystyle\frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4 + 3}{8} = \frac{7}{8}\) olur.

 

Örnek;

Esin ve ailesi otomobilleriyle Ankara’dan Eskişehir’e uğrayarak Bursa’ya gitmişlerdir. Seyahat süresince babasının hesabına göre Ankara’dan Eskişehir’e
kadar araç deposundaki benzinin 5/8 ’i, Eskişehir’den Bursa’ya kadar ise 1/4 ’i kullanılmıştır. Buna göre Ankara ile Eskişehir arasındaki yakıt tüketimi, Eskişehir ile Bursa arasındaki yakıt tüketiminden araç deposundaki benzinin kaçta kaçı kadar fazladır?

Çözüm;

Esin ve ailesi Ankara – Eskişehir arasında depodaki benzinin 5/8’ini, Eskişehir – Bursa arasında ise 1/4’ünü kullanmışlardır. Bu durumda Ankara – Eskişehir arasındaki yakıt tüketiminin Bursa – Eskişehir arasındaki yakıt tüketiminden ne kadar fazla olduğunu bulmak için \( \displaystyle\frac{5}{8} – \frac{1}{4}) işleminin sonucunu bulmalıyız.

İşlemimizi yapabilmek için öncelikle kesirlerimizin paydalarını eşitleyelim. Bunun içinde \( \displaystyle\frac{1}{4}\) kesrini 2 ile genişletelim.

\( \displaystyle\frac{1}{4} = \frac{1 . 2}{4 . 2} = \frac{2}{8}\)

Bu durumda işlemimizin sonucu;

\( \displaystyle\frac{5}{8} – \frac{1}{4} = \frac{5}{8} – \frac{2}{8} = \frac{5 – 2}{8} = \frac{3}{8}\) olur.

 

 

Örnek;

Ramazan Bayramı’nda 2 tepsi baklava yapan Gülay Hanım, bayramın ilk günü 1 tepsi, ikinci günü ise kalan 1 tepsinin 3/4 ’ünü misafirlerine ikram etmiştir. Toplam kaç tepsi baklava yenmiştir?

Çözüm;

Gülay hanım misafirlerine bayramın ilk günü 1, ikinci günü ise bir tepsinin 3/4’ü kadar baklava ikram etmiş.

\( \displaystyle1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}\)

Yani toplamda iki tepsi baklavanın \( \displaystyle\frac{7}{4}\) ‘ünü ikram etmiştir.

 

Kesir Problemleri

 

Problem:

Bir bambu bitkisinin boyu \( \displaystyle5\frac{3}{4}\) metredir. İplik üretimi amacıyla bu bitkinin boyundan \( \displaystyle2\frac{1}{2}\) metre kısaltıldığında bitkinin boyu kaç metre olur ?

Cevap:

Bambunun kısaltıldıktan sonraki boyunu bulabilmek için boyundan kısaltılan miktarı çıkarmamız gerekiyor arkadaşlar. Çıkartma işlemini yapabilmek için önce tam sayılı kesirlerimizi bileşik kesirlere çevirelim.

\( \displaystyle5\frac{3}{4} = \frac{23}{4}\)

\( \displaystyle2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)

Sonrada kesirlerimizin paydalarını eşitleyelim. Bunun için \( \displaystyle\frac{5}{2}\) kesrini 2 ile genişletelim.

\( \displaystyle\frac{5}{2} = \frac{5 . 2}{2 . 2} = \frac{10}{4}\)

\( \displaystyle5\frac{3}{4} – 2\frac{1}{2} = \frac{23}{4} – \frac{10}{4} = \frac{23 – 10}{4} = \frac{13}{4}\) metre bambu ağacımızın kalan kısmıdır. eğer bu kesri tam sayılı kesre çevirmek istersek\( \displaystyle\frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}\) olur.

 

Problem:

Çetin Bey, bahçesindeki çitin birinci gün 1/2’sini, ikinci gün 1/4’ünü boyamıştır. Çetin Bey çitin tamamını üç günde boyadığına göre üçüncü gün çitin kaçta kaçını boyamıştır ?

Cevap:

Arkadaşlar bize soruda Çetin Beyin üçüncü gün çitin ne kadarını boyadığı soruluyor. Bunu bulabilmek için öncelikle birinci ve ikinci gün çitin ne kadarını boyadığını bulmamız gerekiyor.

\( \displaystyle\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)

Kesirlerimizin paydaları farklı olduğu için \( \displaystyle\frac{1}{2}\) kesrini 2 ile genişleteceğiz. Bu durumda;

\( \displaystyle\frac{1}{2} = \frac{1 . 2}{2 . 2} = \frac{2}{4}\) olur.

\( \displaystyle\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2 + 1}{4} = \frac{3}{4}\) birinci ve ikinci gün boyadığı çit miktarıdır. Çitlerin tamamına \( \displaystyle\frac{4}{4}\) dersek;

\( \displaystyle\frac{4}{4} – \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\) Çetin Bey üçüncü gün çitlerin \( \displaystyle\frac{1}{4}\) ‘ü boyamıştır.

 

5. Sınıf Matematik Kesirler Konu Anlatımı yazımız burada bitmiştir arkadaşlar. Konu ile ilgili daha fazla soru çözmek için aşağıdaki linke bakabilirsiniz. 🙂

Kesir Problemleri 5. Sınıf Matematik

EBOB ve EKOK Ne Demek?

EBOB ve EKOK NE DEMEK?, Bir sayının ortak böleni ve ortak katı nasıl bulunur? Ortak bölen ve ortak katları ne demek? gibi soruların yanıtlarını bu yazımızda paylaşacağız sevgili öğrenciler.

EBOB, en büyük ortak bölen; EKOK ise en küçük ortak bölendir.

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni, kısaca ebobu denir. a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) veya (a,b)ebob şeklinde gösterilir.

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı, kısaca ekoku denir. a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a,b) veya (a,b)ekok şeklinde gösterilir.

 

EBOB BULMA: İki sayıyı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayıdan başlayarak devam ederiz. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir. Ancak burada önemli olan her iki sayıyı da bölen sayıları işaretlememiz gerektiğidir.

EBOB Özellikleri

a, b, c tamsayıları için c hem a’yı hem b’yi bölüyorsa c’ye a ile b’nin bir ortak böleni denebilir.

İşte seçtiğimiz bu iki sayıyı kalansız bölen sayıların en büyüğüne EBOB(a, b) denir.

  • c herhangi bir tamsayı olmak üzere; EBOB(c⋅a, c⋅b) = c⋅EBOB(a, b)’dir.
  • EBOB(a/d, b/d) = 1 ise d = EBOB(a, b) olur.
  • EBOB(a, b) = 1 ise a ve b’ye aralarında asal veya birbirine asal sayılar denir.
  • EBOB(a, b) = EBOB(a, c) ise
    • EBOB(a2,b2) = EBOB(a2,c2) ve
    • EBOB(a, b) = EBOB(a, b, c) olur.
  • EBOB(a, b, c) = EBOB(EBOB(a, b), EBOB(a, c))
  • EBOB(a, b) = 1 ise EBOB(a2, ab, b2) = 1 olur.
  • EBOB(a, b) = EBOB(–a, b) = EBOB(a, –b) = EBOB(–a, –b)
    EKOK BULMA: İki sayı yan yana yazılarak bölen listesi yapılır. En küçük asal sayıdan başlayarak devam edilir. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir.
EKOK Özellikleri
  • a ve b sıfırdan farklı tamsayılar olsun. a ve b’nin en küçük pozitif ortak katına a ve b’nin en küçük ortak katı denir ve a ve b nin bir katı k ise EKOK(a, b) daima k’yı böler.
  • a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; EBOB(a, b)⋅EKOK(a, b) = a⋅b’dir.
Önemli Formüller

En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat konusu altında birçok soru tipi karşına çıkabilir. Sana bu farklı soru tiplerinde yararlı olacağına inandığım birkaç formül vereceğim.

 

  • Eni ve boyu bilinen dikdörtgenleri bir araya getirerek bir kare oluşturman istenebilir. Kenarları a ve b olan dikdörtgenlerden bir kare oluşturabilmek için en az gerekli olan dikdörtgen sayısı aşağıdaki formülle bulunur. En az dikdörtgen derken göreceği gibi EKOK kullandık, fark ettin mi?

  • Küp oluşturmak için ise formülümüz biraz farklı. Farklı ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgen prizmaları bir araya getirerek bir küp oluşturmamız istenirse en az gerekli olan prizma sayısı aşağıdaki gibidir:

  • “Şekilde ebatları verilen dikdörtgen tarlaya eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.” cümlesiyle başlayan sorular hepimize tanıdık gelmiştir. İşte bu sorularda kilit formül şöyle: Eşit aralıklı olmak ve köşelere de gelmek koşuluyla gereken en az ağaç sayısı ise aşağıdaki gibi olur:

EBOB SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

1) Bidonlarda, varillerde, şişelerde, çuvallarda, kaplarda bulunan malzemeler daha küçük başka kaplara aktarılıyorsa,

2) Tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,

3) İnsanlardan oluşan gruplar için kaç uçak, otobüs, araba veya oda gerekir diye soruluyorsa,

4) Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, kutunun, deponun içine kaç küp sığar diye soruluyorsa,

5) Kumaşlar, bezler, demir çubuklar parçalara ayrılacaksa,

6) Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde ediliyorsa ebob kullanılır.

ÖRNEK: 80cm ve 120cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır.Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur?

EBOB (80,120) = 2.2.2.5 = 40cm

EKOK: İki veya daha fazla çokluğu ortak katlarının en küçüğüdür.  Doğal olarak sorularda parçalardan bütüne gitmemiz istiyorsa ekok kullanma ihtimalimiz yüksek.

EKOK SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

1) Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler üçer-beşer-vb sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa,

2) Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa,

3) Sınıfta öğrenciler ikişer-üçer-vb sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa,

4) Ziller, saatler birlikte ne zaman bir daha çalar diye soruluyorsa,

5) Dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan küp yapılıyorsa ekok kullanılır.

ÖRNEK: Tarık bilyelerini 4’er , 5’er , 6’şar saydığında her defasında 1 bilyesi artıyor.Buna göre, Tarık’ın en az kaç tane bilyesi vardır?

EKOK(4,5,6) = 2.2.3.5 = 60

60 + 1 = 61 bilye

7. Sınıf Matematik Örüntüler ve İlişkiler Konu Anlatımı

Merhabalar arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik dersinin 3. ünitesinde yer alan Örüntüler ve İlişkiler konusunu anlatacağız. Bu yazımızla birlikte aşağıdaki konuları daha iyi anlayacağınızı umuyoruz.

  • Örüntüler ve İlişkiler

ÖRÜNTÜLER ve İLİŞKİLER

 

Örüntü, sayı ve şekiller gibi bir dizi matematiksel nesnelerin belli bir kural eşliğinde yapılandırılmasıdır. Bir yılın ayları, mevsimleri veya haftanın günleri örüntülere verilebilecek en güzel örneklerdendir. Bunların yanında doğadaki örümcek ağlarının, bal peteklerinin ve birçok bitki türünün örüntülerden oluştuğu görülmektedir. Bu örüntüler sayesinde estetik görüntüler ortaya çıkmaktadır.

Bir örüntüdeki adım sayısı ile örüntünün terimleri arasındaki ilişkiyi veren cebirsel ifadeye “örüntünün genel terimi” denir. Bu terim “n” harfi ile gösterilir ve değişkendir. Buradaki “n” değişkenine temsilci sayı veya genel sayı da denir.

Örüntüde ardışık iki terim arasındaki fark sabit ise bu sabit sayı, örüntü kuralındaki değişkenin katsayısıdır.

 

Ardışık iki terim arasındaki farkı sabit olan örüntülerde örüntünün genel terimini yani “n” değişkenini bulmak için;

1) Sabit olan fark, örüntünün temsilci sayısı olan n’nin katsayısına yazılır ve n’li bir terim elde edilir.

2) n yerine 1 yazılarak elde edilen değer ile örüntünün ilk terimi karşılaştırılır. Arada fark varsa ilk terimi elde etmek için gereken sayı kadar ekleme ya da çıkarma yapılır.

3) Eklenen veya çıkarılan sayı, n’li terimin yanına yazılır.

 

Örnek;

Yukarıdaki şekil örüntüsünde 5. adımda kullanılan çizgi sayısını bulalım. Örüntünün adım sayısı ile kullanılan çizgi sayısı arasındaki ilişkiyi cebirsel ifade olarak yazalım.

Çözüm;

Örüntünün adım sayısı ile kullanılan çizgi arasındaki ilişkiyi cebirsel ifade olarak yazalım. Bunun için öncelikle adım sayısı ile adımdaki çizgi sayısı arasındaki ilişkiyi gösteren bir tablo oluşturalım.

Kullanılan çizgi sayısını sayı örüntüsü olarak yazalım.

3, 5, 7, 9, 11, …

11-9 = 9-7 = 7-5 = 5-3 = 2

Görüldüğü gibi ardışık terimler arasındaki fark sabit olup bu sabit sayının değeri 2’dir. Yani bu sabit sayı artış miktarıdır.

 

Örnek;

4, 10, 16, 22, … şeklinde devam eden sayı örüntüsünün genel terimini bulalım.

Çözüm; 

Verilen örüntüyü bir tabloya yerleştirelim. Terimler arasındaki artışı belirleyelim. Bu artışı örüntünün genel kuralındaki temsilci sayının katsayısı olarak yazalım. 1. terimi elde etmek için yapmamız gereken işlemi belirleyip örüntünün genel kuralını oluşturalım.

Örüntünün adımları arasında sabit bir fark olup bu fark 6’dır.
Artış miktarı: 6
O hâlde örüntünün genel kuralındaki temsilci sayının (n) katsayısı 6’dır.
Örüntünün 1. terimi olan 4’ü elde etmek için 6’dan 2 çıkarmalıyız.
Buradan örüntünün genel kuralı 6n – 2 olur.

 

Örnek;

 

Oya, kumbarasında para biriktirmeye başladı. Oya, kumbarasına birinci hafta 10 TL attı. Sonraki her hafta kumbarasına 5 TL ekledi. Para miktarının hafta sayısı ile ilişkisini inceleyelim. Oya’nın 10. haftada kumbarasında kaç Türk lirası biriktiğini bulalım.

Çözüm;

Öncelikle arkadaşlar Oya’nın haftalara göre biriktirdiği para miktarlarını yazarak örüntümüzü çıkaralım.

1. hafta : 10 TL
2. hafta : 10 + 5 = 15 TL
3. hafta : 15 + 5 = 20 TL
4. hafta : 20 + 5 = 25 TL
˙˙

Oya’nın kumbarasındaki para miktarı her hafta 5 TL artmıştır. Buna göre sayı örüntümüzü oluşturalım.

25 – 20 = 20 – 15 = 15 – 10 = 5

Sayı örüntüsünde ardışık iki terim arasındaki fark 5’dir. “n” harfini değişken olarak alalım. n harfinin katsayısı 5 olur. Örüntü kuralı 5n + 5 olur. Buna göre;

1. hafta, n = 1 için 5 · 1 + 5 = 10
10. haftada kumbaradaki para miktarı, n = 10 için 5 · 10 + 5 = 50 + 5 = 55 TL olarak bulunur.

 

Örnek;

Kuralı 4n – 2 olan sayı örüntüsünün 3, 21 ve 100. adımlarındaki sayıları bulalım.

Çözüm;

Arkadaşlar yukardaki soruda örüntünün kuralı 4n – 2’tir. Örüntünün;

3. adımındaki sayı, n = 3 için 4 · 3 – 2 = 12 – 2 = 10,
21. adımındaki sayı, n = 21 için 4 · 21 – 2 = 84 – 2 = 82,
100. adımındaki sayı, n = 100 için 4 · 100 – 2 = 400 – 2 = 398 olarak bulunur.

 

Arkadaşlar Örüntüler ve İlişkiler konumuz burada bitti. ? Teşekkür ederiz.

7. Sınıf Matematik Cebirsel İfadeler Konu Anlatımı

Merhabalar arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik dersinin 3. ünitesinde yer alan Cebirsel İfadeler konusunu anlatacağız. Bu yazımızla birlikte aşağıdaki sorulara daha iyi cevap verebileceğinizi umuyoruz.

  • Cebirsel İfade Nedir ?
  • Cebirsel İfadede Matematiksel İşlemler Nasıl Yapılır ? 

CEBİRSEL İFADELER

İçerisinde en az bir bilinmeyen bulunan ve işlem içeren ifadelere “cebirsel
ifadeler” denir.

3x – 2y, 5y², 6 – 4z, u³ – 1 ifadeleri birer cebirsel ifadedir.

Bir cebirsel ifadede (+) veya (-) ile ayrılan her bir ifadeye “terim” denir. Bu ifadelerde herhangi bir bilinmeyene bağlı olmayan sayılara “sabit terim“, bilinmeyenleri ve bu bilinmeyenlerin kuvvetleri aynı olan terimlere
benzer terim” denir. Bilinmeyen ifadelere “değişken“, bu ifadelerin başındaki çarpım durumundaki sayılara ise “katsayı” denir.

 

Örnek; 

  • 7x cebirsel ifadesinde 7x “terim”, x “değişken” veya “bilinmeyen” dir. 7 ise “katsayı”dır.
  • 3y – 4 cebirsel ifadesinde 3y ile – 4 “terim”, y “değişken”, 3 ” katsayı” ve -4 ” sabit terim”dir.
  • 9ab + 3 ifadesinde 9ab ile +3 “terim”, a ile b “değişken”, 9 “katsayı” ve +3 “sabit terim”dir.
  • 14x – 5x cebirsel ifadesinde 14x ile -5x terimlerinin değişkenleri x’tir. Değişkenleri ve değişkenlerinin üstleri aynı olan terimler “benzer terimler”dir.

 

Örnek;

2x + 4y – 3x – 2y +1 cebirsel ifadesindeki benzer terimleri bulalım.

Çözüm;

Değişkeni x olan terimlerden 2x ve -3x benzer terimlerdir. Değişkeni y olan terimlerden ise 4y ve – 2y benzer terimlerdir.

CEBİRSEL İFADELER İLE MATEMATİKSEL İŞLEMLER

Cebirsel İfadeler ile Toplama İşlemi

Cebirsel ifadelerde toplama işlemi yapılırken benzer terimlerin katsayıları toplanır ve bu toplam değişkene katsayı olarak yazılır. Sabit terimlerin toplamı da sabit terim olarak yazılır.

(ax + b) + (cx + d) = (a + c)x +(b + d)
(a, b, c ve d tam sayı)

Örnek;

2x + 3 + x + 2 cebirsel ifadesini en sade şekilde yazalım.

Çözüm; 

I. Yol ; Toplama işlemini modelleyerek yapalım.

II. Yol; Benzer terimlerin katsayılarını ve sabit terimleri toplayarak yapalım. Benzer terimleri kırmızı renk ile yazalım.

2x + 3 + x + 2 = 2x + x + 3 + 2 = 3x + 5 bulunur.

Cebirsel İfadeler ile Çıkarma İşlemi

Cebirsel ifadelerle çıkarma işlemi yaparken önce çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür. Sonra toplama işlemi yapılır.

Örnek;

(3x – 2) – (2x – 4) işlemini modelleyerek yapalım.

Çözüm;

(3x – 2) – (2x – 4) = (3x – 2) + (-2x + 4) olur.

I. Yol;

II. Yol;

Benzer terimlerin katsayılarını kendi aralarında ve sabit terimleri kendi aralarında toplama veya çıkarma işlemi yaparak bulalım.

(3x – 2) – (2x – 4) = (3x – 2) + [(-2x) + 4]
= 3x – 2x – 2 + 4
= x + 2 bulunur.

 

Örnek;

3x – 2 ve 2x + 6 cebirsel ifadesini, cebir karoları ile modelleyerek toplayalım.

Çözüm; 

Değişkene ve sabit terimlere karşılık gelen cebir karolarını ayrı ayrı gruplayarak bir araya getirelim:

(3x – 2) + (2x + 6) = 3x – 2 + 2x + 6
= (3x + 2x) + (-2  + 6)
= 5x + 4 olur.

Cebirsel İfadeler ile Çarpma İşlemi

Bir doğal sayı ile cebirsel ifade çarpılırken tam sayılarda olduğu gibi çarpmanın toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanılır. Doğal sayı ile cebirsel ifadenin tüm terimleri ayrı ayrı çarpılır.

a.(bx + c) = (a.b)x + (a.c)

Örnek;

Bir kenar uzunluğu (a + 1) br olan karenin çevresini bulalım.

Çözüm;

Bir kenar uzunluğu (a + 1) br olan karenin çevresini,
Çevre = Ç = (a + 1) + (a + 1) + (a + 1) + (a + 1) şeklinde bulabileceğimiz gibi
= Ç = 4. (a + 1) işlemi ile de bulabiliriz.

Bu ifadelerin her ikisini karenin çevresini verdiği için;
4. (a + 1) = (a + 1) + (a + 1) + (a + 1) + (a + 1)  olacaktır.

Eşitliğin sağ tarafındaki cebirsel ifadeleri topladığımızda 4. (a + 1) = 4a + 4 olduğunu görürüz.

Bu eşitlik, tam sayılarda çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğidir.

Örnek;

 olmak üzere aşağıda modellenen işleme ait matematik cümlesini yazalım.

Çözüm;

Modellenen ifade,

2. (2x + 1) = 2. 2x + 2. 1
= 4x + 2 olur.

 

Arkadaşlar Cebirsel İfadeler konumuz burada bitti. 🙂 Beğenilerinizi bekliyoruz.

Pi Sayısı Nedir ?

Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen irrasyonel  bir matematik sabitidir. Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.

Değeri yaklaşık olarak 3.14.. şeklinde ifade edilir.

\( \displaystyle\frac{4 ~inch}{1.27~inch} = 3.14 \)

Fakat aynı zamanda Pi sayısı bir irrasyonel sayı olduğundan, hiçbir zaman sonlu bir tamsayı düzeninde ifade edilemez ve virgülden sonra sonsuz sayıda tekrarsız rakam içerir.

Bu güne kadar sonsuz düzenli bu sayının sadece 2.699.999.990.000 basamağı hesaplanabilmiştir. Bu çalışma 2010 yılında Fabrice Bellard tarafından yapılmıştır.

Sembolü olan “π“, Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen “perimetier” kelimesinin de ilk harfidir.

Pi sayısının tam olarak nasıl ve kim tarafından bulduğu kesin olarak bilinmemektedir. Bunun sebebi pi sayısının farklı devirlerde farklı milletler tarafından bir çok alanda kullanılması ve çember gibi çok sık karşımıza çıkabilecek geometrik cisimlerin hesaplamalarında sıklıkla tercih edilmesidir. Bu yüzden Pi sayısı, kültürel açıdan matematiksel sabitler içerisinde en çok etki yaratanıdır.

Pi sayısı anısına Albert Einstein’de doğum günü olan 14 Mart günü dünya “Pi günü” olarak kabul edilmiştir.

14 Mart Dünya “Pi Günü”

Hatta bir şarkısı bile vardır 🙂

Pi sayısı, bunların yanı sıra bazı gizemli özelliklerde içerir. Sonsuza kadar giden bu sayı için harflerle sayıları birbirine dönüştüren bir kod üretildiğinde içinde isminizin, doğum tarihinizin, ölüm tarihinizin, anne ve babanızın adının, telefon numaranızın hatta evleneceğiniz insanın isminin bile yan yana yer aldığı söylenmektedir. Hatta bazı bilim insanları pi sayısı için evrenin sırrı gözüyle bakmaktadır.

İçeriğimizi nasıl buldunuz ? 🙂

Armstrong Sayısı Nedir?

Bir sayının basamaklarındaki tüm rakamlarının sayı değerlerinin , sayının basamak sayısı kadar kuvveti alınıp toplanıldığında elde edilen sayı, sayının kendisine eşitse bu sayıya “Armstrong sayısı” denir.

153 ⇒

\( 1^3 + 5^3 + 3^3 = 1+ 125 + 27 \)

\( =153 \)

1634 ⇒ 

\(1^4+6^4+3^4+4^4 =1+1296+81+256\)

\( = 1634 \)

54748​ ⇒     

\( 5^5+4^5+7^5+4^5+8^5=3125+1024+16807+1024+32768 \)

\( = 54748 \)

 

Örnek;  

3 basamaklı (40A) ve (B70) sayıları birer Armstrong sayı ise A. B kaçtır?

Çözüm; 

40A ve B70 üç basamaklı sayılar olduğuna göre bu sayıların armstrong açılımına göre rakamlarının küplerini alarak bilinmeyen değerleri bulmaya çalışalım arkadaşlar.

\( \displaystyle40A = 400 + A \)

\( \displaystyle40A = 4^3 + 0^3 + A^3 = 64 + 0 + A^3 = 64 + A^3 \)

\( \displaystyle400 + A = 64 + A^3 \)​ ⇒ \( \displaystyle400 – 64 = A^3 – A\)

\( \displaystyle336 = A(A^2 -1) = A(A – 1)(A + 1) \)

buradan A=7 dersek denklemi sağlamış ve 407 sayısını elde etmiş oluruz.

 

\( \displaystyle B70 = 100B + 70 \)

\(\displaystyle B70 = B^3 + 7^3 + 0^3 = B^3 + 343 + 0 = 343 + B^3 \)

\( \displaystyle100B + 70 = 343 + B^3 \)​ ⇒ \( \displaystyle343 – 70 = 100B – B^3\)

\( \displaystyle273 = B(100 – B^2) = B(10 – B)(10 + B)\)

buradan B=3 dersek denklemi sağlamış ve 370 sayısını elde etmiş oluruz.

 

Bu durumda A.B = 7. 3 = 21 olur.

 

9. Sınıf Matematik Üçgenin Yardımcı Elemanları Konu Anlatımı

9. Sınıf Matematik Üçgenin Yardımcı Elemanları Konu Anlatımı pdf dersimize hoşgeldiniz arkadaşlar. Bu dersimizde sizlere üçgenin yardımcı elemanlarını anlatacağız.

  • Üçgende Açıortay
  • Üçgende Kenarortay
  • Kenar Orta Dikme
  • Üçgende Yükseklik

ÜÇGENİN YARDIMCI ELEMANLARI

 

Üçgenin açıortayı, kenarortayı ve yüksekliği üçgenin yardımcı elemanlarıdır.

ÜÇGENDE AÇIORTAY

Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. m(AOB)  = m(BOC) ise [OB, AOC açısının açıortayıdır.

Verilen bir açı cetvel ve pergel kullanılarak şu şekilde iki eş açıya ayrılabilir.

I. Adım

Cetvel yardımıyla AOB açısı çiziniz.

II. Adım

AOB açısının O noktasına pergelin sivri ucunu koyarak O merkezli bir çember çember yayı çiziniz. Bu çember yayının açının kollarını kestiği noktalar K ve N olsun.

III. Adım

Pergelin sivri ucunu K noktasına koyarak yarıçapı [OK] olan bir çember çizilir. Aynı şekilde pergelin sivri ucunu N noktasına koyarak yarıçapı [ON] olan bir çember çizilir. |OK| = |ON| dir. Bu çemberlerin kesiştiği noktalardan birisi P olsun.

IV. Adım

Son olarak O ve P noktaları birleştirildiğinde elde edilen [OP, AOB açısının açıortayıdır.

Açıortayın Özellikleri 

  Bir açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir.  O hâlde |NC| = |ND| ve |OC| = |OD| dir.

Elde edilen üçgenlerin ortak doğru parçası, [ON] olduğundan A.K.A. eşlik teoreminden;

\( \displaystyle\stackrel{Δ}{NCO}~ ≅ ~\displaystyle\stackrel{Δ}{NDO} \)​ olur.

 

  Bir üçgende iki iç açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü, 90° den diğer köşedeki açının ölçüsünün yarısı kadar fazladır. ABC üçgeninde [BD] ve [DC] açıortaylar olmak üzere

\( m(BDC) = 90 ~+ \displaystyle\frac{m(BAC)}{2} \)​ olur.

 

♦  ABC üçgeninde B ve C köşelerine ait dış açıortayların üçgeninde dışında olan bir  D noktasında kesişmeleriyle oluşan BDC açısının ölçüsü;

\( m(BDC) = 90~ – \displaystyle\frac{m(BAC)}{2} \)​ olur.

 

♦  Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü diğer köşedeki açının ölçüsünün yarısına eşittir.
ABC üçgeninde [BD] iç açıortay, [CD] dış açıortay olmak üzere;

\( m(BDC) = \displaystyle\frac{m(BAC)}{2} \)​ olur.

 

♦  İkizkenar bir üçgende tepe açısından tabana çizilen açıortay aynı zamanda yükseklik ve kenarortaydır.

[AD] ⊥ [BC] ve  |BD| = |DC| olur.

 

Örnek;

m(BTN) = m(ATN),  [KL] = [TA,   [KM] = [TB,   [PR] = [TA,   [PS] = [TB ve
|KL| = 3x – 16, |KM| = 2x – 9, |PS| = x – 4 olduğuna göre |TR|/|RL| oranını bulunuz.

 

Çözüm;

Açıortay üzerindeki bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Buna göre |KL| = |KM|  olur. O da;

3x – 16  =  2x – 9 ise x = 7 olur. Bu durumda |PR| = |PS| = x -4 ve |KL| = |KM| = 3x – 16 ise;

|PR| = |PS| = 3 ve |KL| = |KM| = 5 olarak bulunur.

\( \displaystyle\stackrel{Δ}{TRP}~ ≅ ~\displaystyle\stackrel{Δ}{TLK} \)  olduğundan;

\( \displaystyle\frac{|PR|}{|KL|} = \displaystyle\frac{|TR|}{|TL|} = \displaystyle\frac{3}{5} \)​ olur.

O halde ​\( \displaystyle\frac{|TR|}{|RL|} = \displaystyle\frac{3}{2} \)​ olur.

 

Örnek;

ABC üçgeninde, [BD] iç açıortay, [CD] dış açıortay, m(BDC) = 45º, |BC| = 10 cm, |EC| = 5 cm olduğuna göre |BE| = x değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

m(CBE) = a ise m(DCP) = m(DCE) = 45 + a olur.
m(A)+ 2a = 90º + 2a ⇒ m(A) = 90º olur.

ABC üçgeninde [BE] iç açıortay olduğundan iç açıortay teoremi kullanılırsa;

\( \displaystyle\frac{|AE|}{|AB|} = \displaystyle\frac{5}{10} \)​ olduğundan      |AE| = k ise |AB| = 2k olur.

1. Üçgende İç Açıortay

 

Bir üçgenin bir iç açısını iki eş açıya ayıran doğru parçasına o üçgenin iç açıortayı denir. Bir üçgende iç açıortaylar tek noktada kesişir. Kesiştikleri bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

[AS], A açısına ait açıortay olmak üzere |AS| = ​\( n_a \)
[BR], B açısına ait açıortay olmak üzere |BR| = \( n_b \)
[CP], C açısına ait açıortay olmak üzere |CP| = \( n_c \)​ ile gösterilir.
I noktası, iç açıortayların kesişim noktasıdır.

I noktası iç açıortayların kesişim noktası ve üçgenin iç teğet çemberinin merkezdir. D, E, F noktaları çemberin üçgene teğet noktaları olmak üzere;|IE| = |ID| = |IF| = r iç teğet çemberinin yarıçapıdır.
|AD| = |AE|
|BD| = |BF|
|CF| = |CE| olur.

 

Örnek;

ABC üçgeninde, I noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. [ID] // [AB], [IE] // [AC],  |BD| =  3 cm,  |DE| = 6 cm,  |EC| = 5 cm olduğuna göre IDE üçgeninin çevresinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

I noktası üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktasıdır. O hâlde [IB] ve [IC] iç açıortaylardır.
|ID| = |BD| = 3 cm, |IE| = |EC| = 5 cm dir. Bu durumda ​\( \displaystyle\stackrel{Δ}{Ç(IDE)} \)= 14​cm olarak bulunur.

2. Üçgende İç Açıortay Teoremi

 

♦  ABC üçgeninde, A açısına ait açıortay doğrusunun [BC] nı kestiği nokta N olsun.
|AB| = c, |AC| = b, |BN| = m, |NC| = n olmak üzere;

\( \displaystyle\frac{c}{b} = \displaystyle\frac{m}{n} \)​ dir.

♦  ABC üçgeninde [AN] iç açıortay ve |AN| = x olsun. |AB| = c, |AC| = b, |BN| = m, |NC| = n olmak üzere;

\( \displaystyle{x^2 = b.c – m.n} \)​ dir.

 

Örnek;

ABC üçgeninde, m(BAC) = 2. m(CBA), |BC| = 9 cm, |AC| = 6 cm olduğuna göre |AB| değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

Soruda verilenlere göre, m(ABC) = α denirse m(BAC) = 2α olur.

[AN], BAC açısının açıortayı olmak üzere |BN| = x, |AB| = y ise bu durumda üçgende iç açıortay teoreminden;

x² = 6y – x(9-x)
x² = 6y – 9x + x²
6y = 9x

\( \displaystyle\frac{y}{x} = \displaystyle\frac{3}{2} \)​olur. (1)

|AN| = x ve |NC| = 9 – x ise burada üçgende iç açıortay teoreminden;

\( \displaystyle\frac{y}{6} = \displaystyle\frac{x}{9-x} ⇒ \displaystyle\frac{y}{x} = \displaystyle\frac{6}{9-x} \)​olur. (2)

|AB| = y değerini bulmak için bu iki eşitliği kullanırsak;

\( \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{6}{9-x} \)

27 – 3x = 12
3x = 15
x = 5
y = |AB| = 7,5 cm olarak bulunur.

 

3. Üçgende Dış Açıortay

 

♦  Bir üçgenin bir dış açısını iki eş açıya ayıran ışına o üçgenin dış açıortayı denir. 

ABC üçgeninde ACP dış açısının açıortayı olan [CK, C açısına ait dış açıortaydır.

♦  Bir üçgende iki dış açıortay ile üçüncü açının iç açıortayı tek noktada kesişir(\( \displaystyle{I_A} \)​). Bu nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir. 

A açısına ait dış teğet çemberinin yarıçapı \( \displaystyle{r_A} \) dır. D, E ve F noktaları çemberin değme noktaları olmak üzere \( \displaystyle{|I_AD|=r_A} \)olur.

 

4. Üçgende Dış Açıortay Teoremi

 

♦  ABC üçgeninde [AK] dış açıortay, K ∈ [BC, |AB| = c, |AC| = b olmak üzere;

\( \displaystyle\frac{|KC|}{|KB|} = \displaystyle\frac{b}{c} \)​ olur.

♦  ABC üçgeninde [AK] dış açıortay, |AK| = y olsun. |AB| = c, |AC| = b olmak üzere;

y² = |KC|.|KB| – b.c ‘dir.

 

Örnek;

ABC üçgeninde [AK] iç açıortay, [AN] dış açıortay, |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm, |BC| = 7 cm olduğuna göre |KN| değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

İç açıortay teoreminden;

\( \displaystyle\frac{|AB|}{|AC|} = \displaystyle\frac{4}{3} = \displaystyle\frac{|BK|}{|KC|} \)

olduğundan |BK| = 4k ise |KC| = 3k bulunur.

|BC| = 4k + 3k = 7k = 7 olduğundan k = 1 bulunur.

O halde |BK| = 4 cm ve |KC| = 3 cm olur. |CN| = x olsun. Dış açıortay teoreminden;

\( \displaystyle\frac{x}{x+7} = \displaystyle\frac{6}{8} = \displaystyle\frac{3}{4} \)​⇒ 4x = 3x + 21 ⇒ x = 21 olur. Bu durumda |KN| = 3k + x = 3 + 21 = 24 cm olarak bulunur.

 

ÜÇGENDE KENARORTAY

 

Üçgenin bir köşesinden karşı kenarın ortasına çizilen ve bu kenarı iki eşit uzunluğa bölen doğru parçasına kenarortay denir.

ABC üçgeninde |BD| = |DC| olduğundan [AD], BC kenarının kenarortayıdır. Bu kenarortayın uzunluğu |AD| = ​\( \displaystyle{V_a} \)​ şeklinde gösterilir.

Kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve “G” ile gösterilir. Ağırlık merkezi kenarortayı, köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler.

|AD| = |DB|, |BF| = |FC|, |CE| = |EA| olduğundan [AF], [BE] ve [CD] kenarortaydır.

|AF| = \( \displaystyle{V_a} \)
|BE| = \( \displaystyle{V_b} \)
|CD| = \( \displaystyle{V_c} \)​ şeklinde gösterilir.

[AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = {G} noktası üçgenin ağırlık merkezidir. Bu durumda;

|AG| = 2.|GD|
|BG| = 2.|GE|
|CG| = 2.|GF| olur.

 

Örnek;

ABC üçgeninde [AE] ⊥ [BC] ve [BD] kenarortaydır. |AK| = 8 cm, |KE| = 4 cm ve |AB| = 13 cm olduğuna göre ABC üçgeninin çevre uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

|AK| = 2.|KE| olduğundan [AE] kenarortay olur. Bu durumda K noktası, ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.

[AE]⊥[BC] ve [AE] kenarortay ise ABC ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC| = 13 cm bulunur.

ABE dik üçgeninde Pisagor teoreminden |BE|² + 12² = 13² olur. O halde 5-12-13 üçgeninden yola çıkarak |BE| = 5 cm olarak bulunur.

ABC üçgeninin çevresi = 13 + 13 + 10 = 36 cm olur.

 

Kenarortayın Özellikleri 

  Bir üçgende herhangi iki kenarortayın uç noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenarortay üzerinde köşeden kenara doğru 3, 1 ve 2 sayılarıyla orantılı olacak şekilde parçalar ayırır.

[AF], [BE] ve [CD] kenarortaylar ve [DE] iki kenarortayın uç noktalarını birleştiren doğru parçası olmak üzere |AK| = 3k , |KG| = k , |GF| = 2k olur.

  Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.

[AB] ⊥ [AC] ve [AD] kenarortay olmak üzere |AD| = |DB| = |DC| olur.

  Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.  [DE] orta taban ise [DE] // [BC] ve |BC| = 2.|DE| olur.

  Bir üçgende D ve E kenarların orta noktaları ise |AK| = |KL| olur.

  Bir üçgende [AF] kenarortay ve [KL] //[BC] ise  |KE| = |EL| olur.

Kenarortay Uzunluğu

  ABC üçgeninde a, b ve c kenarlarına ait Va, Vb, Vc kenarortayları arasında;

\( 2(V_a)^2 = b^2 + c^2 – \displaystyle\frac{a^2}{2} \)

\( 2(V_b)^2 = a^2 + c^2 – \displaystyle\frac{b^2}{2} \)

\( 2(V_c)^2 = a^2 + b^2 – \displaystyle\frac{c^2}{2} \)​ bağıntıları vardır.

Bu bağıntılar taraf tarafa toplanır düzenlenirse;

\( 4((V_a)^2 + (V_b)^2 + (V_c)^2) = 3(a^2 + b^2 + c^2) \)​ bağıntısı bulunur.

 

  ABC dik üçgeninde m(A) = 90º ve |AS| = ​\( V_a \)​,  |BP| = ​\( V_b \)​,  |CR| = ​\( V_c \)​ olmak üzere; 

\( 5((V_a)^2 = (V_b)^2 + (V_c)^2 \)​ olur.

 

Örnek;

ABC dik üçgeninde m(A) = 90º ve G noktası ağırlık merkezidir. |BD| = 5√2 cm ve |CE| = 5√3 cm olduğuna göre |BC| = x in cm cinsinden değerini bulunuz.

Çözüm;

ABC dik üçgeninde D, E ve F kenar orta noktalar,  |AF| = ​\( V_a \)​,  |BD| = ​\( V_b \)​,  |CE| = ​\( V_c \)​ olduğundan; 

\( 5((V_a)^2 = (V_b)^2 + (V_c)^2 \) ve |BC| = \( 2V_a \) olur.

\( 5(V_a)^2 = (5\displaystyle\sqrt{3})^2 + (5\displaystyle\sqrt{2})^2 = 75 + 50 = 125 \) olduğundan

\( \displaystyle{V_a^2 = 25} \)⇒ \( V_a \) = 5 cm olur.

O halde |BC| = \( 2.V_a = 2.5 = 10 \) olur.

 

KENAR ORTA DİKME

 

Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına dik olan doğruya orta dikme doğrusu denir.

Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan herhangi bir nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır.
d ⊥ [AB] , |AH| = |HB| , K ∈ d ve L ∈ d olmak üzere |AK| = |KB| ve |AL| = |LB| olur.

Bir doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta bulunan her nokta doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir.
|CA| = |CB| ise [AB] nın orta dikmesi C noktasından geçer.

Bir üçgenin kenar orta dikmeleri bir noktada kesişir. ABC üçgeninde;
[DH] ⊥ [AB], |AD| = |DB|
[HE] ⊥ [BC], |BE| = |CE|
[HF] ⊥ [AC], |AF| = |CF| olmak üzere
H noktası kenar orta dikmelerin kesişim noktasıdır.

Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiştiği noktanın üçgenin köşelerine olan uzaklıkları eşittir. Bu uzaklıkların her biri üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı olur. ABC üçgeninde çevrel çemberin merkezi O, yarıçapı R ise |AO| = |BO| = |CO| = R birimdir.

Üçgenin çeşidine göre çevrel çemberinin merkezi için 3 farklı durum vardır.

 

Örnek;

ABC üçgeninde D noktası, çevrel çemberinin merkezidir. [DE] ⊥ [AC], [DF] = [BC], |EC| = 7 cm, |DE| = √15 cm, |DF| = 2 √7 cm olduğuna göre BC kenarının uzunluğunu cm cinsinden bulunuz.

Çözüm;

D noktası, ABC üçgeninde çevrel çemberin merkezi olduğundan [DF] , BC kenarına ait; [DE] , AC kenarına ait orta dikmedir. DEC dik üçgeninde;

|DC|² = |DE|² + |EC|² ⇒ |DC|² = 15 + 49 = 64 ⇒ |DC| = 8 cm olur.

DFC dik üçgeninde;

|DC|² = |DF|² + |FC|² ⇒ 64 = 28 + |FC|² ⇒ |FC| = 6 cm bulunur.

|FC| = 6 cm olduğundan |BC| = 12 cm olarak bulunur.

 

ÜÇGENDE YÜKSEKLİK

 

Üçgenin bir köşesinden karşısındaki kenara çizilen dik doğru parçasına üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir.

•  [AH] ⊥ [BC] olmak üzere [AH], [BC] nın yüksekliğidir.

•  H noktasına dikme ayağı adı verilir.

•  |AH| = ​\( h_a \)​ ile gösterilir.

ABC üçgeninin yükseklikleri veya yüksekliklerin uzantıları bir noktada kesişir. Bu noktaya ABC üçgeninin diklik merkezi adı verilir. Üçgenin çeşidine göre diklik merkezi için üç farklı durum vardır.

1)  ABC üçgeni dar açılı üçgen ise diklik merkezi üçgenin iç bölgesindedir. Diklik merkezi D noktasıdır.

2) ABC üçgeni dik üçgen ise diklik merkezi üçgenin dik köşesidir. A noktası aynı zamanda diklik merkezidir.

3)ABC üçgeni geniş açılı üçgen ise diklik merkezi üçgenin dış bölgesindedir. Diklik merkezi D noktasıdır.

Örnek;

ABC üçgeninde K diklik merkezi [AL] ∩ [CK] = {K}, |AC| = 3√6 cm, |LC| = √5 cm, |KL| = 2 cm ve |AK| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.

Çözüm;

ABC üçgeninde K noktası diklik merkezi olduğundan yüksekliklerin kesişim noktasıdır. O hâlde [AL] ⊥ [BC] olur. ALC, dik üçgen olduğundan;

|AL|² + |LC|² = |AC|²
|AL|² + (√5)² = (3√6)²
|AL|² + 5 = 54
|AL|² = 49
|AL| = 7 olur. Buradan;

|AK| + |KL| = |AL|
x + 2 = 7
x = 5 cm bulunur.

 

 

 

 

 

Üçgende Yardımcı Elemanlar konumuz burada bitti arkadaşlar. Konuyla ilgili daha fazla örnek soru görmek için aşağıdaki linklere tıklayabilirsiniz.

Çözümlü Açıortay Soruları – 1

Çözümlü Açıortay Soruları – 2

Sorularda kullanacağınız pratik formüller için ise aşağıdaki yazımıza göz atabilirsiniz. 🙂 Derslerinizde başarılar diliyoruz.

Üçgende Açıortay Bağıntıları Özellikleri Formülleri

 

9. Sınıf Matematik Kenarortay Konu Anlatımı

9. Sınıf Matematik Kenarortay Konu Anlatımı pdf dersimize hoşgeldiniz arkadaşlar. Bu dersimizde sizlere üçgenin yardımcı elemanlarından olan kenarortaydan bahsedeceğiz.

ÜÇGENİN YARDIMCI ELEMANLARI

 

Üçgenin açıortayı, kenarortayı ve yüksekliği üçgenin yardımcı elemanlarıdır.

ÜÇGENDE KENARORTAY

 

Üçgenin bir köşesinden karşı kenarın ortasına çizilen ve bu kenarı iki eşit uzunluğa bölen doğru parçasına kenarortay denir.

ABC üçgeninde |BD| = |DC| olduğundan [AD], BC kenarının kenarortayıdır. Bu kenarortayın uzunluğu |AD| = ​\( \displaystyle{V_a} \)​ şeklinde gösterilir.

Kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve “G” ile gösterilir. Ağırlık merkezi kenarortayı, köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler.

|AD| = |DB|, |BF| = |FC|, |CE| = |EA| olduğundan [AF], [BE] ve [CD] kenarortaydır.

|AF| = \( \displaystyle{V_a} \)
|BE| = \( \displaystyle{V_b} \)
|CD| = \( \displaystyle{V_c} \)​ şeklinde gösterilir.

[AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = {G} noktası üçgenin ağırlık merkezidir. Bu durumda;

|AG| = 2.|GD|
|BG| = 2.|GE|
|CG| = 2.|GF| olur.

 

Örnek;

ABC üçgeninde [AE] ⊥ [BC] ve [BD] kenarortaydır. |AK| = 8 cm, |KE| = 4 cm ve |AB| = 13 cm olduğuna göre ABC üçgeninin çevre uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

|AK| = 2.|KE| olduğundan [AE] kenarortay olur. Bu durumda K noktası, ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.

[AE]⊥[BC] ve [AE] kenarortay ise ABC ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC| = 13 cm bulunur.

ABE dik üçgeninde Pisagor teoreminden |BE|² + 12² = 13² olur. O halde 5-12-13 üçgeninden yola çıkarak |BE| = 5 cm olarak bulunur.

ABC üçgeninin çevresi = 13 + 13 + 10 = 36 cm olur.

 

Kenarortayın Özellikleri 

  Bir üçgende herhangi iki kenarortayın uç noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenarortay üzerinde köşeden kenara doğru 3, 1 ve 2 sayılarıyla orantılı olacak şekilde parçalar ayırır.

[AF], [BE] ve [CD] kenarortaylar ve [DE] iki kenarortayın uç noktalarını birleştiren doğru parçası olmak üzere |AK| = 3k , |KG| = k , |GF| = 2k olur.

  Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.

[AB] ⊥ [AC] ve [AD] kenarortay olmak üzere |AD| = |DB| = |DC| olur.

  Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.  [DE] orta taban ise [DE] // [BC] ve |BC| = 2.|DE| olur.

  Bir üçgende D ve E kenarların orta noktaları ise |AK| = |KL| olur.

  Bir üçgende [AF] kenarortay ve [KL] //[BC] ise  |KE| = |EL| olur.

Kenarortay Uzunluğu

  ABC üçgeninde a, b ve c kenarlarına ait Va, Vb, Vc kenarortayları arasında;

\( 2(V_a)^2 = b^2 + c^2 – \displaystyle\frac{a^2}{2} \)

\( 2(V_b)^2 = a^2 + c^2 – \displaystyle\frac{b^2}{2} \)

\( 2(V_c)^2 = a^2 + b^2 – \displaystyle\frac{c^2}{2} \)​ bağıntıları vardır.

Bu bağıntılar taraf tarafa toplanır düzenlenirse;

\( 4((V_a)^2 + (V_b)^2 + (V_c)^2) = 3(a^2 + b^2 + c^2) \)​ bağıntısı bulunur.

 

  ABC dik üçgeninde m(A) = 90º ve |AS| = ​\( V_a \)​,  |BP| = ​\( V_b \)​,  |CR| = ​\( V_c \)​ olmak üzere; 

\( 5((V_a)^2 = (V_b)^2 + (V_c)^2 \)​ olur.

 

Örnek;

ABC dik üçgeninde m(A) = 90º ve G noktası ağırlık merkezidir. |BD| = 5√2 cm ve |CE| = 5√3 cm olduğuna göre |BC| = x in cm cinsinden değerini bulunuz.

Çözüm;

ABC dik üçgeninde D, E ve F kenar orta noktalar,  |AF| = ​\( V_a \)​,  |BD| = ​\( V_b \)​,  |CE| = ​\( V_c \)​ olduğundan; 

\( 5((V_a)^2 = (V_b)^2 + (V_c)^2 \) ve |BC| = \( 2V_a \) olur.

\( 5(V_a)^2 = (5\displaystyle\sqrt{3})^2 + (5\displaystyle\sqrt{2})^2 = 75 + 50 = 125 \) olduğundan

\( \displaystyle{V_a^2 = 25} \)⇒ \( V_a \) = 5 cm olur.

O halde |BC| = \( 2.V_a = 2.5 = 10 \) olur.

 

Kenarortay konumuz burada bitti arkadaşlar.  🙂 Derslerinizde başarılar diliyoruz.

 

9. Sınıf Matematik Açıortay Konu Anlatımı

9. Sınıf Matematik Açıortay Konu Anlatımı pdf dersimize hoşgeldiniz arkadaşlar. Bu dersimizde sizlere üçgenin yardımcı elemanlarından olan açıortaydan bahsedeceğiz.

ÜÇGENİN YARDIMCI ELEMANLARI

 

Üçgenin açıortayı, kenarortayı ve yüksekliği üçgenin yardımcı elemanlarıdır.

ÜÇGENDE AÇIORTAY

Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. m(AOB)  = m(BOC) ise [OB, AOC açısının açıortayıdır.

Verilen bir açı cetvel ve pergel kullanılarak şu şekilde iki eş açıya ayrılabilir.

I. Adım

Cetvel yardımıyla AOB açısı çiziniz.

II. Adım

AOB açısının O noktasına pergelin sivri ucunu koyarak O merkezli bir çember çember yayı çiziniz. Bu çember yayının açının kollarını kestiği noktalar K ve N olsun.

III. Adım

Pergelin sivri ucunu K noktasına koyarak yarıçapı [OK] olan bir çember çizilir. Aynı şekilde pergelin sivri ucunu N noktasına koyarak yarıçapı [ON] olan bir çember çizilir. |OK| = |ON| dir. Bu çemberlerin kesiştiği noktalardan birisi P olsun.

IV. Adım

Son olarak O ve P noktaları birleştirildiğinde elde edilen [OP, AOB açısının açıortayıdır.

Açıortayın Özellikleri 

  Bir açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir.  O hâlde |NC| = |ND| ve |OC| = |OD| dir.

Elde edilen üçgenlerin ortak doğru parçası, [ON] olduğundan A.K.A. eşlik teoreminden;

\( \displaystyle\stackrel{Δ}{NCO}~ ≅ ~\displaystyle\stackrel{Δ}{NDO} \)​ olur.

 

  Bir üçgende iki iç açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü, 90° den diğer köşedeki açının ölçüsünün yarısı kadar fazladır. ABC üçgeninde [BD] ve [DC] açıortaylar olmak üzere

\( m(BDC) = 90 ~+ \displaystyle\frac{m(BAC)}{2} \)​ olur.

 

♦  ABC üçgeninde B ve C köşelerine ait dış açıortayların üçgeninde dışında olan bir  D noktasında kesişmeleriyle oluşan BDC açısının ölçüsü;

\( m(BDC) = 90~ – \displaystyle\frac{m(BAC)}{2} \)​ olur.

 

♦  Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortayın oluşturduğu açının ölçüsü diğer köşedeki açının ölçüsünün yarısına eşittir.
ABC üçgeninde [BD] iç açıortay, [CD] dış açıortay olmak üzere;

\( m(BDC) = \displaystyle\frac{m(BAC)}{2} \)​ olur.

 

♦  İkizkenar bir üçgende tepe açısından tabana çizilen açıortay aynı zamanda yükseklik ve kenarortaydır.

[AD] ⊥ [BC] ve  |BD| = |DC| olur.

 

Örnek;

m(BTN) = m(ATN),  [KL] = [TA,   [KM] = [TB,   [PR] = [TA,   [PS] = [TB ve
|KL| = 3x – 16, |KM| = 2x – 9, |PS| = x – 4 olduğuna göre |TR|/|RL| oranını bulunuz.

 

Çözüm;

Açıortay üzerindeki bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Buna göre |KL| = |KM|  olur. O da;

3x – 16  =  2x – 9 ise x = 7 olur. Bu durumda |PR| = |PS| = x -4 ve |KL| = |KM| = 3x – 16 ise;

|PR| = |PS| = 3 ve |KL| = |KM| = 5 olarak bulunur.

\( \displaystyle\stackrel{Δ}{TRP}~ ≅ ~\displaystyle\stackrel{Δ}{TLK} \)  olduğundan;

\( \displaystyle\frac{|PR|}{|KL|} = \displaystyle\frac{|TR|}{|TL|} = \displaystyle\frac{3}{5} \)​ olur.

O halde ​\( \displaystyle\frac{|TR|}{|RL|} = \displaystyle\frac{3}{2} \)​ olur.

 

Örnek;

ABC üçgeninde, [BD] iç açıortay, [CD] dış açıortay, m(BDC) = 45º, |BC| = 10 cm, |EC| = 5 cm olduğuna göre |BE| = x değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

m(CBE) = a ise m(DCP) = m(DCE) = 45 + a olur.
m(A)+ 2a = 90º + 2a ⇒ m(A) = 90º olur.

ABC üçgeninde [BE] iç açıortay olduğundan iç açıortay teoremi kullanılırsa;

\( \displaystyle\frac{|AE|}{|AB|} = \displaystyle\frac{5}{10} \)​ olduğundan      |AE| = k ise |AB| = 2k olur.

1. Üçgende İç Açıortay

 

Bir üçgenin bir iç açısını iki eş açıya ayıran doğru parçasına o üçgenin iç açıortayı denir. Bir üçgende iç açıortaylar tek noktada kesişir. Kesiştikleri bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

[AS], A açısına ait açıortay olmak üzere |AS| = ​\( n_a \)
[BR], B açısına ait açıortay olmak üzere |BR| = \( n_b \)
[CP], C açısına ait açıortay olmak üzere |CP| = \( n_c \)​ ile gösterilir.
I noktası, iç açıortayların kesişim noktasıdır.

I noktası iç açıortayların kesişim noktası ve üçgenin iç teğet çemberinin merkezdir. D, E, F noktaları çemberin üçgene teğet noktaları olmak üzere;|IE| = |ID| = |IF| = r iç teğet çemberinin yarıçapıdır.
|AD| = |AE|
|BD| = |BF|
|CF| = |CE| olur.

 

Örnek;

ABC üçgeninde, I noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. [ID] // [AB], [IE] // [AC],  |BD| =  3 cm,  |DE| = 6 cm,  |EC| = 5 cm olduğuna göre IDE üçgeninin çevresinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

I noktası üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktasıdır. O hâlde [IB] ve [IC] iç açıortaylardır.
|ID| = |BD| = 3 cm, |IE| = |EC| = 5 cm dir. Bu durumda ​\( \displaystyle\stackrel{Δ}{Ç(IDE)} \)= 14​cm olarak bulunur.

2. Üçgende İç Açıortay Teoremi

 

♦  ABC üçgeninde, A açısına ait açıortay doğrusunun [BC] nı kestiği nokta N olsun.
|AB| = c, |AC| = b, |BN| = m, |NC| = n olmak üzere;

\( \displaystyle\frac{c}{b} = \displaystyle\frac{m}{n} \)​ dir.

♦  ABC üçgeninde [AN] iç açıortay ve |AN| = x olsun. |AB| = c, |AC| = b, |BN| = m, |NC| = n olmak üzere;

\( \displaystyle{x^2 = b.c – m.n} \)​ dir.

 

Örnek;

ABC üçgeninde, m(BAC) = 2. m(CBA), |BC| = 9 cm, |AC| = 6 cm olduğuna göre |AB| değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

Soruda verilenlere göre, m(ABC) = α denirse m(BAC) = 2α olur.

[AN], BAC açısının açıortayı olmak üzere |BN| = x, |AB| = y ise bu durumda üçgende iç açıortay teoreminden;

x² = 6y – x(9-x)
x² = 6y – 9x + x²
6y = 9x

\( \displaystyle\frac{y}{x} = \displaystyle\frac{3}{2} \)​olur. (1)

|AN| = x ve |NC| = 9 – x ise burada üçgende iç açıortay teoreminden;

\( \displaystyle\frac{y}{6} = \displaystyle\frac{x}{9-x} ⇒ \displaystyle\frac{y}{x} = \displaystyle\frac{6}{9-x} \)​olur. (2)

|AB| = y değerini bulmak için bu iki eşitliği kullanırsak;

\( \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{6}{9-x} \)

27 – 3x = 12
3x = 15
x = 5
y = |AB| = 7,5 cm olarak bulunur.

 

3. Üçgende Dış Açıortay

 

♦  Bir üçgenin bir dış açısını iki eş açıya ayıran ışına o üçgenin dış açıortayı denir. 

ABC üçgeninde ACP dış açısının açıortayı olan [CK, C açısına ait dış açıortaydır.

♦  Bir üçgende iki dış açıortay ile üçüncü açının iç açıortayı tek noktada kesişir(\( \displaystyle{I_A} \)​). Bu nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir. 

A açısına ait dış teğet çemberinin yarıçapı \( \displaystyle{r_A} \) dır. D, E ve F noktaları çemberin değme noktaları olmak üzere \( \displaystyle{|I_AD|=r_A} \)olur.

 

4. Üçgende Dış Açıortay Teoremi

 

♦  ABC üçgeninde [AK] dış açıortay, K ∈ [BC, |AB| = c, |AC| = b olmak üzere;

\( \displaystyle\frac{|KC|}{|KB|} = \displaystyle\frac{b}{c} \)​ olur.

♦  ABC üçgeninde [AK] dış açıortay, |AK| = y olsun. |AB| = c, |AC| = b olmak üzere;

y² = |KC|.|KB| – b.c ‘dir.

 

Örnek;

ABC üçgeninde [AK] iç açıortay, [AN] dış açıortay, |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm, |BC| = 7 cm olduğuna göre |KN| değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm;

İç açıortay teoreminden;

\( \displaystyle\frac{|AB|}{|AC|} = \displaystyle\frac{4}{3} = \displaystyle\frac{|BK|}{|KC|} \)

olduğundan |BK| = 4k ise |KC| = 3k bulunur.

|BC| = 4k + 3k = 7k = 7 olduğundan k = 1 bulunur.

O halde |BK| = 4 cm ve |KC| = 3 cm olur. |CN| = x olsun. Dış açıortay teoreminden;

\( \displaystyle\frac{x}{x+7} = \displaystyle\frac{6}{8} = \displaystyle\frac{3}{4} \)​⇒ 4x = 3x + 21 ⇒ x = 21 olur. Bu durumda |KN| = 3k + x = 3 + 21 = 24 cm olarak bulunur.

 

Açıortay konumuz burada bitti arkadaşlar. Konuyla ilgili daha fazla örnek soru görmek için aşağıdaki linklere tıklayabilirsiniz.

Çözümlü Açıortay Soruları – 1

Çözümlü Açıortay Soruları – 2

Sorularda kullanacağınız pratik formüller için ise aşağıdaki yazımıza göz atabilirsiniz. 🙂 Derslerinizde başarılar diliyoruz.

Üçgende Açıortay Bağıntıları Özellikleri Formülleri

 

7. Sınıf Matematik Çokgende Alan Problemleri

7. Sınıf Matematik Çokgende Alan Problemleri Pdf lerinin olacağı bu yazımızda düzgün çokgenler, eşkenar dörtgenler ve yamuk ile ilgili çözümlü örnek sorular paylaşacağız. Sorulara geçmeden önce 7. Sınıf Matematik Çokgenler Konu Anlatımı yazımızı inceleyebilirsiniz.

Soru:

Eşkenar dörtgen şeklindeki bir tarlanın alanı 480 m²dir. Tarlanın bir köşegeninin uzunluğu 20 m ise tarlanın diğer köşegeninin uzunluğunu bulalım.

Cevap:

Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır. Bu eşkenar dörtgenin bir köşegeninin uzunluğunun 20 m olduğu verilmiştir. Diğer köşegen uzunluğuna da x diyelim.

\( 480 = \displaystyle\frac{x.20}{2} \)

\( \displaystyle{480.2 = x.20} \)

\( \displaystyle{960 = 20x} \)

\( \displaystyle{48=x} \)

Bu durumda eşkenar dörtgenin diğer köşegen uzunluğu 48 m’dir.

 

Soru :

Yamuk biçimindeki bir bahçenin taban uzunlukları 60 m ve 25 m, tabanlara ait yüksekliği 30 m’dir. Bu bahçenin 2/3’üne domates fidesi dikilecektir. Domates fidesi dikilecek alanın kaç metrekare olduğunu bulunuz.

Cevap:

Bahçenin alanı ⇒ ​\( A= \displaystyle\frac{(a+c).h}{2} \)​ formülünden

\( A= \displaystyle\frac{(60+25).30}{2} \)​ olur.

A = 85 . 15
A = 1275 m² dir.

Domates fidesi dikilecek alan;

\( 1275.\displaystyle\frac{2}{3}= \displaystyle\frac{2550}{3} \)​= 850 m² olarak buluruz.

 

Soru:

ABCD eşkenar dörtgeninde AB = 10 cm, AH = 9,6 cm ve AC = 16 cm olduğuna göre BD köşegeninin uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım.

Cevap:

ABCD eşkenar dörtgeninin alanını, hem köşegenler çarpımından hem de paralelkenarın alanını bulma yönteminden yararlanarak bulalım.

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{|AC|.|BD|}{2} = |CD|.|AH| \)

\( \displaystyle\frac{|AC|.|BD|}{2} = 10.~9,6 \)

\( \displaystyle\frac{16.|BD|}{2} = 96 \)

\( \displaystyle{16. |BD|} = 192 \)

\( \displaystyle{|BD| = 12} \)​cm

 

Soru :

İkizkenar yamuk biçimindeki parkın alanı 4000 m²; tabanlarından biri 70 m ve tabanlara ait yükseklik 40 m’dir. Bu parktaki boyalı bölge çocuk oyun alanı olarak düzenlenmiştir. Oyun alanının AH kenarının uzunluğunu bulunuz.

Cevap:

\( A= \displaystyle\frac{(a+c).h}{2} \ formülünden \)

\( 4000= \displaystyle\frac{(a+70).40}{2} \ olur. \)

4000 = 20a + 1400
20a = 4000 – 1400
a = 2600 ÷ 20
a = 130 m’dir.

ABCD yamuğu ikizkenar yamuk olduğundan |AH| = |KB| = x olur. Buradan,
|AB| = |AH| + |HK| + |KB|
130 = x + 70 + x
130 = 2x + 70
2x = 130 – 70
x = 60 ÷ 2

x = 30 m olarak bulunur.

 

Soru:

ABCD yamuğunda BC = 10 cm, BH = 10 cm’dir. Yamuğun alanı 135 cm² olduğuna göre AD kenarının uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım.

Cevap:

ABCD yamuğunun alanın 135 m² olduğu soruda verilmiştir. AD kenarının uzunluğuna x diyelim.

\( Alan = \displaystyle\frac{(Alt~ taban + Üst ~taban). Yükseklik}{2} \)

\( 135 = \displaystyle\frac{(10 + x). 10}{2} \)​olur. Buradan;

270 = 100 + 10x
170 = 10x
x = 17 cm

|AD| = 17 cm olarak bulunur.

 

Soru :

ABCD yamuğunda |AB| = 32 cm, |DC| = 14 cm ve |DH| = 9 cm olduğuna göre bu yamuğun alanını bulunuz.

Cevap:

\( A= \displaystyle\frac{(a+c).h}{2} \ formülünden \)

\( A=\displaystyle\frac{(32+14).9}{2} \ olur. \)

\( A= \displaystyle\frac{46.9}{2} \ den \ 207 \ cm^2 \ olur. \)

 

Soru:

Dikdörtgen şeklindeki masanın üzerine, köşeleri dikdörtgenin kenarlarının orta noktalarına gelecek şekilde bir örtü seriliyor. Masanın üstünde örtülmeyen kısmın kaç cm2 olduğunu bulalım.

Cevap:

Masanın üzerine serilen örtünün köşeleri, masanın kenarlarının
orta noktalarına geldiğinden örtü eşkenar dörtgen şeklindedir.
Masanın yüzey alanı = 150 ∙ 80 = 12 000 cm²
(dikdörtgenin alanı)

Örtünün yüzey alanı = (150. 80) / 2  = 12 000/ 2 = 6000 cm²

Örtülmeyen kısmın alanı = 12 000 − 6000 = 6000 cm² dir.

 

Soru:

ABCD bir ikizkenar yamuk ve DH = 6 cm, BH = 8 cm ise ABCD ikizkenar yamuğunun alanının kaç cm² olduğunu bulalım.

Cevap:

ABCD yamuğunu [DH] boyunca kesip bu parçayı DC kenarı ile AB kenarı üst üste gelecek şekilde yerleştirelim. ABCD bir ikizkenar yamuk olduğu için bu yerleştirmede alanı yamuğun alanına eşit olan bir dikdörtgen elde ederiz.

ABCD yamuğunun alanı, oluşan dikdörtgenin alanına eşittir. Bu durumda
Dikdörtgenin alanı = 6 ∙ 8 = 48 cm² dir.
ABCD yamuğunun alanı da 48 cm² dir.

 

Soru:

12 cm uzunluğundaki bir tel, kıvrılarak kenarları doğal sayı olacak şekilde bir dikdörtgen elde ediliyor. Bu dikdörtgenin kaplayacağı alanın en fazla kaç cm² olacağını bulalım.

Cevap:

12 cm uzunluğundaki teli kıvırarak elde ettiğimiz dikdörtgenin çevresi 12 cm olacaktır. Bu dikdörtgenin kısa kenarı a, uzun kenarı b olsun. O hâlde,

2a + 2b = 12
a + b = 6 olacaktır.

12 cm uzunluğundaki tel ile oluşturulacak dikdörtgenin kaplayacağı alan en fazla 9 cm² dir.

 

Soru:

Bir otelin salonunun krokisi aşağıda verilmiştir. Bu salonun tabanı, işçilik dâhil metrekaresi 40 TL olan halı ile kaplanacaktır. Salonun tamamını kaplamak için ödenecek parayı bulalım.

Cevap:

Otelin salonunun taban alanını bulabilmemiz için tabanı dörtgenlere ayıralım. Bu durumda tabanda bir yamuk ve bir dikdörtgen elde ederiz.
Yamuğun ve dikdörtgenin alanlarını ayrı ayrı bularak sonuçları topladığımızda
taban alanını bulmuş oluruz.

Yamuğun alanı =( (9 + 7). 8 )/ 2 = 64 m²’dir.
Dikdörtgenin alanı = 2 . 6 = 12 m²’dir.
Salonun tabanının alanı = 64 + 12 = 76 m²’dir.

Halının 1 m²si 40 TL olduğuna göre salonun tabanına 40 . 76 = 3040 TL ödenir.

 

Soru:

Bir çiftçi, bahçesini parsellere ayırıyor ve bahçesine yandaki gibi sebze fideleri dikiyor. Biber fidesi dikili bölge paralelkenar, patlıcan fidesi dikili bölge dik yamuk ve domates fidesi dikili alan eşkenar dörtgendir. Buna göre bahçenin
tamamının alanını bulalım.

Cevap:

Çiftçinin tarlasının köşelerini harflerle adlandıralım.
FGDE bir paralelkenar olduğundan |ED| = |GF| = 20 m,
ABGF bir dik yamuk olduğundan |AF| = |BH| = 8 m,
|GH| = |AB| – |GF| = 26 – 20 = 6 m olur.

BCDG bir bireşkenar dörtgen olduğundan
|GC| = 2 · |GH| = 2 · 6 = 12 m,
|BD| = 2 · |BH| = 2 · 8 = 16 m olur.

Bahçenin toplam alanı,
A(ABCDEFA) = A(ABGF) + A(BCDG) + A(FGDE)

\( = \displaystyle\frac{[|GF| + |AB|] . |AF|}{2} + \displaystyle\frac{|GC|.|BD|}{2} + |GF|. |EK| \)

\( = \displaystyle\frac{[20 + 26] . 8}{2} + \displaystyle\frac{12.16}{2} + 20. 8 \)

\( = \displaystyle{184 + 96 + 160} = 440 ~m^2 \)​ bulunur.

 

Soru:

Kenar uzunlukları birer doğal sayı ile belirtilen ve alanı 24 br² olan dikdörtgenlerden çevresi en büyük değere sahip olanı bulalım.

Cevap:

Dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımı olacağından çarpımları 24 olan doğal sayıları bulalım:

24 = 24. 1
24 = 12. 2
24 = 8. 3
24 = 6. 4

Alanı 24 br² olan dikdörtgenlerden kısa kenarı 1 br, uzun kenarı 24 br olan dikdörtgenin çevresi en uzun olan dikdörtgendir.

 

Arkadaşlar Çokgende Alan ile ilgili örnek sorularımız burada bitti 🙂 Çokgenler konusu ile ilgili daha çok soru çözmek için aşağıdaki linklere göz atabilirsiniz. 

Eşkenar Dörtgen ve Yamuğun Alanı Çözümlü Sorular

Dörtgenler Çözümlü Sorular

Çokgenler Çözümlü Sorular

Konu anlatımı tekrarı için ise aşağıdaki linklere tıklayabilirsiniz 🙂

Çokgenler Konu Anlatımı

Dörtgenler Konu Anlatımı

Eşkenar Dörtgenin Alanı Konu Anlatımı

Yamuğun Alanı Konu Anlatımı