7. Sınıf Matematik Örüntüler ve İlişkiler Konu Anlatımı

Merhabalar arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik dersinin 3. ünitesinde yer alan Örüntüler ve İlişkiler konusunu anlatacağız. Bu yazımızla birlikte aşağıdaki konuları daha iyi anlayacağınızı umuyoruz.

  • Örüntüler ve İlişkiler

ÖRÜNTÜLER ve İLİŞKİLER

 

Örüntü, sayı ve şekiller gibi bir dizi matematiksel nesnelerin belli bir kural eşliğinde yapılandırılmasıdır. Bir yılın ayları, mevsimleri veya haftanın günleri örüntülere verilebilecek en güzel örneklerdendir. Bunların yanında doğadaki örümcek ağlarının, bal peteklerinin ve birçok bitki türünün örüntülerden oluştuğu görülmektedir. Bu örüntüler sayesinde estetik görüntüler ortaya çıkmaktadır.

Bir örüntüdeki adım sayısı ile örüntünün terimleri arasındaki ilişkiyi veren cebirsel ifadeye “örüntünün genel terimi” denir. Bu terim “n” harfi ile gösterilir ve değişkendir. Buradaki “n” değişkenine temsilci sayı veya genel sayı da denir.

Örüntüde ardışık iki terim arasındaki fark sabit ise bu sabit sayı, örüntü kuralındaki değişkenin katsayısıdır.

 

Ardışık iki terim arasındaki farkı sabit olan örüntülerde örüntünün genel terimini yani “n” değişkenini bulmak için;

1) Sabit olan fark, örüntünün temsilci sayısı olan n’nin katsayısına yazılır ve n’li bir terim elde edilir.

2) n yerine 1 yazılarak elde edilen değer ile örüntünün ilk terimi karşılaştırılır. Arada fark varsa ilk terimi elde etmek için gereken sayı kadar ekleme ya da çıkarma yapılır.

3) Eklenen veya çıkarılan sayı, n’li terimin yanına yazılır.

 

Örnek;

Yukarıdaki şekil örüntüsünde 5. adımda kullanılan çizgi sayısını bulalım. Örüntünün adım sayısı ile kullanılan çizgi sayısı arasındaki ilişkiyi cebirsel ifade olarak yazalım.

Çözüm;

Örüntünün adım sayısı ile kullanılan çizgi arasındaki ilişkiyi cebirsel ifade olarak yazalım. Bunun için öncelikle adım sayısı ile adımdaki çizgi sayısı arasındaki ilişkiyi gösteren bir tablo oluşturalım.

Kullanılan çizgi sayısını sayı örüntüsü olarak yazalım.

3, 5, 7, 9, 11, …

11-9 = 9-7 = 7-5 = 5-3 = 2

Görüldüğü gibi ardışık terimler arasındaki fark sabit olup bu sabit sayının değeri 2’dir. Yani bu sabit sayı artış miktarıdır.

 

Örnek;

4, 10, 16, 22, … şeklinde devam eden sayı örüntüsünün genel terimini bulalım.

Çözüm; 

Verilen örüntüyü bir tabloya yerleştirelim. Terimler arasındaki artışı belirleyelim. Bu artışı örüntünün genel kuralındaki temsilci sayının katsayısı olarak yazalım. 1. terimi elde etmek için yapmamız gereken işlemi belirleyip örüntünün genel kuralını oluşturalım.

Örüntünün adımları arasında sabit bir fark olup bu fark 6’dır.
Artış miktarı: 6
O hâlde örüntünün genel kuralındaki temsilci sayının (n) katsayısı 6’dır.
Örüntünün 1. terimi olan 4’ü elde etmek için 6’dan 2 çıkarmalıyız.
Buradan örüntünün genel kuralı 6n – 2 olur.

 

Örnek;

 

Oya, kumbarasında para biriktirmeye başladı. Oya, kumbarasına birinci hafta 10 TL attı. Sonraki her hafta kumbarasına 5 TL ekledi. Para miktarının hafta sayısı ile ilişkisini inceleyelim. Oya’nın 10. haftada kumbarasında kaç Türk lirası biriktiğini bulalım.

Çözüm;

Öncelikle arkadaşlar Oya’nın haftalara göre biriktirdiği para miktarlarını yazarak örüntümüzü çıkaralım.

1. hafta : 10 TL
2. hafta : 10 + 5 = 15 TL
3. hafta : 15 + 5 = 20 TL
4. hafta : 20 + 5 = 25 TL
˙˙

Oya’nın kumbarasındaki para miktarı her hafta 5 TL artmıştır. Buna göre sayı örüntümüzü oluşturalım.

25 – 20 = 20 – 15 = 15 – 10 = 5

Sayı örüntüsünde ardışık iki terim arasındaki fark 5’dir. “n” harfini değişken olarak alalım. n harfinin katsayısı 5 olur. Örüntü kuralı 5n + 5 olur. Buna göre;

1. hafta, n = 1 için 5 · 1 + 5 = 10
10. haftada kumbaradaki para miktarı, n = 10 için 5 · 10 + 5 = 50 + 5 = 55 TL olarak bulunur.

 

Örnek;

Kuralı 4n – 2 olan sayı örüntüsünün 3, 21 ve 100. adımlarındaki sayıları bulalım.

Çözüm;

Arkadaşlar yukardaki soruda örüntünün kuralı 4n – 2’tir. Örüntünün;

3. adımındaki sayı, n = 3 için 4 · 3 – 2 = 12 – 2 = 10,
21. adımındaki sayı, n = 21 için 4 · 21 – 2 = 84 – 2 = 82,
100. adımındaki sayı, n = 100 için 4 · 100 – 2 = 400 – 2 = 398 olarak bulunur.

 

Arkadaşlar Örüntüler ve İlişkiler konumuz burada bitti. 🙂 Teşekkür ederiz.

7. Sınıf Matematik Cebirsel İfadeler Konu Anlatımı

Merhabalar arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik dersinin 3. ünitesinde yer alan Cebirsel İfadeler konusunu anlatacağız. Bu yazımızla birlikte aşağıdaki sorulara daha iyi cevap verebileceğinizi umuyoruz.

  • Cebirsel İfade Nedir ?
  • Cebirsel İfadede Matematiksel İşlemler Nasıl Yapılır ? 

CEBİRSEL İFADELER

İçerisinde en az bir bilinmeyen bulunan ve işlem içeren ifadelere “cebirsel
ifadeler” denir.

3x – 2y, 5y², 6 – 4z, u³ – 1 ifadeleri birer cebirsel ifadedir.

Bir cebirsel ifadede (+) veya (-) ile ayrılan her bir ifadeye “terim” denir. Bu ifadelerde herhangi bir bilinmeyene bağlı olmayan sayılara “sabit terim“, bilinmeyenleri ve bu bilinmeyenlerin kuvvetleri aynı olan terimlere
benzer terim” denir. Bilinmeyen ifadelere “değişken“, bu ifadelerin başındaki çarpım durumundaki sayılara ise “katsayı” denir.

 

Örnek; 

  • 7x cebirsel ifadesinde 7x “terim”, x “değişken” veya “bilinmeyen” dir. 7 ise “katsayı”dır.
  • 3y – 4 cebirsel ifadesinde 3y ile – 4 “terim”, y “değişken”, 3 ” katsayı” ve -4 ” sabit terim”dir.
  • 9ab + 3 ifadesinde 9ab ile +3 “terim”, a ile b “değişken”, 9 “katsayı” ve +3 “sabit terim”dir.
  • 14x – 5x cebirsel ifadesinde 14x ile -5x terimlerinin değişkenleri x’tir. Değişkenleri ve değişkenlerinin üstleri aynı olan terimler “benzer terimler”dir.

 

Örnek;

2x + 4y – 3x – 2y +1 cebirsel ifadesindeki benzer terimleri bulalım.

Çözüm;

Değişkeni x olan terimlerden 2x ve -3x benzer terimlerdir. Değişkeni y olan terimlerden ise 4y ve – 2y benzer terimlerdir.

CEBİRSEL İFADELER İLE MATEMATİKSEL İŞLEMLER

Cebirsel İfadeler ile Toplama İşlemi

Cebirsel ifadelerde toplama işlemi yapılırken benzer terimlerin katsayıları toplanır ve bu toplam değişkene katsayı olarak yazılır. Sabit terimlerin toplamı da sabit terim olarak yazılır.

(ax + b) + (cx + d) = (a + c)x +(b + d)
(a, b, c ve d tam sayı)

Örnek;

2x + 3 + x + 2 cebirsel ifadesini en sade şekilde yazalım.

Çözüm; 

I. Yol ; Toplama işlemini modelleyerek yapalım.

II. Yol; Benzer terimlerin katsayılarını ve sabit terimleri toplayarak yapalım. Benzer terimleri kırmızı renk ile yazalım.

2x + 3 + x + 2 = 2x + x + 3 + 2 = 3x + 5 bulunur.

Cebirsel İfadeler ile Çıkarma İşlemi

Cebirsel ifadelerle çıkarma işlemi yaparken önce çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür. Sonra toplama işlemi yapılır.

Örnek;

(3x – 2) – (2x – 4) işlemini modelleyerek yapalım.

Çözüm;

(3x – 2) – (2x – 4) = (3x – 2) + (-2x + 4) olur.

I. Yol;

II. Yol;

Benzer terimlerin katsayılarını kendi aralarında ve sabit terimleri kendi aralarında toplama veya çıkarma işlemi yaparak bulalım.

(3x – 2) – (2x – 4) = (3x – 2) + [(-2x) + 4]
= 3x – 2x – 2 + 4
= x + 2 bulunur.

 

Örnek;

3x – 2 ve 2x + 6 cebirsel ifadesini, cebir karoları ile modelleyerek toplayalım.

Çözüm; 

Değişkene ve sabit terimlere karşılık gelen cebir karolarını ayrı ayrı gruplayarak bir araya getirelim:

(3x – 2) + (2x + 6) = 3x – 2 + 2x + 6
= (3x + 2x) + (-2  + 6)
= 5x + 4 olur.

Cebirsel İfadeler ile Çarpma İşlemi

Bir doğal sayı ile cebirsel ifade çarpılırken tam sayılarda olduğu gibi çarpmanın toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanılır. Doğal sayı ile cebirsel ifadenin tüm terimleri ayrı ayrı çarpılır.

a.(bx + c) = (a.b)x + (a.c)

Örnek;

Bir kenar uzunluğu (a + 1) br olan karenin çevresini bulalım.

Çözüm;

Bir kenar uzunluğu (a + 1) br olan karenin çevresini,
Çevre = Ç = (a + 1) + (a + 1) + (a + 1) + (a + 1) şeklinde bulabileceğimiz gibi
= Ç = 4. (a + 1) işlemi ile de bulabiliriz.

Bu ifadelerin her ikisini karenin çevresini verdiği için;
4. (a + 1) = (a + 1) + (a + 1) + (a + 1) + (a + 1)  olacaktır.

Eşitliğin sağ tarafındaki cebirsel ifadeleri topladığımızda 4. (a + 1) = 4a + 4 olduğunu görürüz.

Bu eşitlik, tam sayılarda çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğidir.

Örnek;

 olmak üzere aşağıda modellenen işleme ait matematik cümlesini yazalım.

Çözüm;

Modellenen ifade,

2. (2x + 1) = 2. 2x + 2. 1
= 4x + 2 olur.

 

Arkadaşlar Cebirsel İfadeler konumuz burada bitti. 🙂 Beğenilerinizi bekliyoruz.

Pi Sayısı Nedir ?

Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen irrasyonel  bir matematik sabitidir. Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.

Değeri yaklaşık olarak 3.14.. şeklinde ifade edilir.

\( \displaystyle\frac{4 ~inch}{1.27~inch} = 3.14 \)

Fakat aynı zamanda Pi sayısı bir irrasyonel sayı olduğundan, hiçbir zaman sonlu bir tamsayı düzeninde ifade edilemez ve virgülden sonra sonsuz sayıda tekrarsız rakam içerir.

Bu güne kadar sonsuz düzenli bu sayının sadece 2.699.999.990.000 basamağı hesaplanabilmiştir. Bu çalışma 2010 yılında Fabrice Bellard tarafından yapılmıştır.

Sembolü olan “π“, Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen “perimetier” kelimesinin de ilk harfidir.

Pi sayısının tam olarak nasıl ve kim tarafından bulduğu kesin olarak bilinmemektedir. Bunun sebebi pi sayısının farklı devirlerde farklı milletler tarafından bir çok alanda kullanılması ve çember gibi çok sık karşımıza çıkabilecek geometrik cisimlerin hesaplamalarında sıklıkla tercih edilmesidir. Bu yüzden Pi sayısı, kültürel açıdan matematiksel sabitler içerisinde en çok etki yaratanıdır.

Pi sayısı anısına Albert Einstein’de doğum günü olan 14 Mart günü dünya “Pi günü” olarak kabul edilmiştir.

14 Mart Dünya “Pi Günü”

Hatta bir şarkısı bile vardır 🙂

Pi sayısı, bunların yanı sıra bazı gizemli özelliklerde içerir. Sonsuza kadar giden bu sayı için harflerle sayıları birbirine dönüştüren bir kod üretildiğinde içinde isminizin, doğum tarihinizin, ölüm tarihinizin, anne ve babanızın adının, telefon numaranızın hatta evleneceğiniz insanın isminin bile yan yana yer aldığı söylenmektedir. Hatta bazı bilim insanları pi sayısı için evrenin sırrı gözüyle bakmaktadır.

İçeriğimizi nasıl buldunuz ? 🙂