22.5-67.5-90 Üçgeni Özelliği

22.5-67.5-90 Üçgeninin özelliği ile ilgili bilgilerinin paylaşacağı bu yazımızda örnek bir görsel üzerinden anlatımları yapacağız sevgili arkadaşlar.

22.5-67.5-90 Üçgeni

 

Yukarıdaki ABC üçgeninde A açısı 67,5 derece, B açısı 90 derece ve C açısı da 22,5 derecedir.

A açısından, BC kenar uzunluğuna görseldeki sarı renkli çizgiyi indirelim. İndireceğimiz çizgi sonrasında A açısını 45 ve 22,5 dereceye bölecek şekilde indirmemiz gerek.

Sarı renkli çizgimizi indirdikten sonra iki tane üçgen oluşacaktır. Bunlar:

(22,5-22,5-135) üçgeni ve (45-45-90) üçgenidir. 45⁰’lik açının karşısına x dersek lBDl=x olur. lADl ve |DC| kenarları ise x√2 olur.

m(DAC)=m(DCA)=22,5⁰  olur. Bu durumda

22,5⁰ nin karşısı x,  67,5⁰ nin karşısı ise x+x√2 olur. Yani x(1+√2) olur.

Orijin Etrafında Döndürme Formülleri

Orijin Etrafında Döndürme Formülleri ve İspatları ile ilgili tüm formülleri paylaşacağımız yazımıza hoş geldiniz sevgili arkadaşlar.

90, 180, 270 ve 360 dereceler için tüm pozitif ve negatif orjin yönlerin yeni koordinat bilgileri aşağıdaki gibidir arkadaşlar.

Koordinat Derece Yön Yeni Koordinat
(x,y) 90 Saat Yönünde (y,-x)
(x,y) 180 Saat Yönünde (-x,-y)
(x,y) 270 Saat Yönünde (-y,x)
(x,y) 360 Saat Yönünde (x,y)
(x,y) 90 Saat Yönünün Tersi (-y,x)
(x,y) 180 Saat Yönünün Tersi (-x,-y)
(x,y) 270 Saat Yönünün Tersi (y,-x)
(x,y) 360 Saat Yönünün Tersi (x,y)

 

Örnekler;

(-4,-6) saat yönü 90 derece (-6,4) x ve y’ yi yer değiştir ve yeni y nin işaretini değitir.

(-4,-6) saat yönü 180 derece (4,6) sadece x ve y nin işaretlerini değiştir.

(-4,-6) saat yönü 270 derece (6,-4) x ve y’ yi yer değiştir ve yeni x in işaretini değiştir

9. Sınıf Dik Üçgen ve Trigonometri Konu Anlatımı

9. Sınıf Matematik Dik Üçgen ve Trigonometri Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımızda Pisagor Teoremi, Öklid Teoremi, Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları ve Birim Çember konularını işleyeceğiz.

Pisagor Teoremi

Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor teoremi denir

Aşağıdaki ABC dik üçgeninde a² = b² + c² dir.

 

Çözümlü Örnek: Aşağıdaki ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC], |BC| = 12 cm, |AC| = x + 8 cm ve |AB| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.

Cevap: ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC] olduğundan
|AC|² = |AB|² + |BC|² olur arkadaşlar.

(x + 8)² = x² + 12²
x² + 16x + 64 = x² + 144 olur.

16x = 80
x = 5 cm bulunur.

 

Öklid Teoremi

Bir dik üçgende, bir dik kenarın karesi, hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan kendi tarafında olan parçanın uzunluğu ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.

b² = k.a
c² = p.a dır. Bu eşitlikler Öklid’in dik kenar bağıntılarıdır.

 

Çözümlü Örnek: Aşağıdaki ABC dik üçgeni için m(BAC) = 90° ve |AH| ⊥  |BC| dır. |AH|= 2√6 birim ve |BH| = 4 birim ise |HC| ve |AC| uzunluklarını bulunuz.

Cevap: Sorunun detaylı çözümünü aşağıda bulabilrisiniz arkadaşlar.

 

Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları

Bir dik üçgende bir dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının sinüsü denir.

Bir dik üçgende bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının kosinüsü denir.

Bir dik üçgende bir dar açının karşısında bulunan dik kenarın uzunluğunun, komşu dik kenar uzunluğuna oranına o açının tanjantı denir.

Bir dik üçgende bir dar açının komşu dik kenarının uzunluğunun karşısında bulunan dik kenarın uzunluğuna oranına o açının kotanjantı denir.

Formülleri ise aşağıdaki gibidir arkadaşlar;

 

Çözümlü Örnek: Aşağıdaki ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], |AB| = 12 cm, |AC| = 5 cm ve m(ABC) = a olmak üzere a nın trigonometrik oranlarını bulalım.

Cevap: [AB] ⊥ [AC], |AB| = 12 cm, |AC| = 5 cm olduğundan
|BC| = 13 cm olur (5 – 12 – 13 özel dik üçgeni). Buradan da;

\( sinα=\displaystyle\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{5}{13} \)

\( cosα=\displaystyle\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{12}{13} \)

\( tanα=\displaystyle\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{5}{12} \)

\( cotα=\displaystyle\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{12}{5} \ olur. \)

 

30° ve 60° nin Trigonometrik Oranları

30° ve 60° nin trigonometrik oranları aşağıdaki gibi olur.

30 – 60 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 30, cos 30, tan 30, cot 30, sec 30, cosec 30, sin 60, cos 60, tan 60, cot 60, sec 60 ve cosec 60 olacaktır.

 

45 – 45- 90 Üçgeninin Trigonometrik Oranları

45°, 45° ve 90° nin trigonometrik oranları aşağıdaki gibi olur.

45 – 45 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 45, cos 45, tan 45, cot 45, sec 45 ve cosec 45 olacaktır.

 

Birim Çember

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir.

Aşağdıaki birim çemberde P(x, y) noktasını orijine birleştiren [OP] nın x ekseniyle yaptığı açı a, |OP| = 1 olduğunda;

P noktasının apsisi cosa, ordinatı sina dır.
x eksenine kosinüs ekseni, y eksenine sinüs ekseni denir.

Birim çemberden görüldüğü gibi;
–1≤ cosa ≤ 1,
–1≤ sina ≤ 1 dir.

 

Çözümlü Örnek: Aşağıdaki birim çemberde m(AOP) = 45° olduğuna göre P noktasının koordinatlarını bulalım.

Cevap: [PH⊥OH] olacak şekilde [PH] nı çizelim.
O merkezli çember, birim çember olduğundan |OP| = 1 br, |OH| = a br, |PH| = b br olur.

P(a, b) noktası I. bölgede bulunduğundan ve m(AOP) = 45° olduğundan P(a, b) = P(cos45°, sin45°) tir.

cos45° = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​  sin45° = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​ olduğundan

a = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​; b = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​ olur.