9. Sınıf Dik Üçgen ve Trigonometri Konu Anlatımı

9. Sınıf Matematik Dik Üçgen ve Trigonometri Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımızda Pisagor Teoremi, Öklid Teoremi, Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları ve Birim Çember konularını işleyeceğiz.

Pisagor Teoremi

Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor teoremi denir

Aşağıdaki ABC dik üçgeninde a² = b² + c² dir.

 

Çözümlü Örnek: Aşağıdaki ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC], |BC| = 12 cm, |AC| = x + 8 cm ve |AB| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.

Cevap: ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC] olduğundan
|AC|² = |AB|² + |BC|² olur arkadaşlar.

(x + 8)² = x² + 12²
x² + 16x + 64 = x² + 144 olur.

16x = 80
x = 5 cm bulunur.

 

Öklid Teoremi

Bir dik üçgende, bir dik kenarın karesi, hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan kendi tarafında olan parçanın uzunluğu ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.

b² = k.a
c² = p.a dır. Bu eşitlikler Öklid’in dik kenar bağıntılarıdır.

 

Çözümlü Örnek: Aşağıdaki ABC dik üçgeni için m(BAC) = 90° ve |AH| ⊥  |BC| dır. |AH|= 2√6 birim ve |BH| = 4 birim ise |HC| ve |AC| uzunluklarını bulunuz.

Cevap: Sorunun detaylı çözümünü aşağıda bulabilrisiniz arkadaşlar.

 

Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları

Bir dik üçgende bir dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının sinüsü denir.

Bir dik üçgende bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının kosinüsü denir.

Bir dik üçgende bir dar açının karşısında bulunan dik kenarın uzunluğunun, komşu dik kenar uzunluğuna oranına o açının tanjantı denir.

Bir dik üçgende bir dar açının komşu dik kenarının uzunluğunun karşısında bulunan dik kenarın uzunluğuna oranına o açının kotanjantı denir.

Formülleri ise aşağıdaki gibidir arkadaşlar;

 

Çözümlü Örnek: Aşağıdaki ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], |AB| = 12 cm, |AC| = 5 cm ve m(ABC) = a olmak üzere a nın trigonometrik oranlarını bulalım.

Cevap: [AB] ⊥ [AC], |AB| = 12 cm, |AC| = 5 cm olduğundan
|BC| = 13 cm olur (5 – 12 – 13 özel dik üçgeni). Buradan da;

\( sinα=\displaystyle\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{5}{13} \)

\( cosα=\displaystyle\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{12}{13} \)

\( tanα=\displaystyle\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{5}{12} \)

\( cotα=\displaystyle\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{12}{5} \ olur. \)

 

30° ve 60° nin Trigonometrik Oranları

30° ve 60° nin trigonometrik oranları aşağıdaki gibi olur.

30 – 60 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 30, cos 30, tan 30, cot 30, sec 30, cosec 30, sin 60, cos 60, tan 60, cot 60, sec 60 ve cosec 60 olacaktır.

 

45 – 45- 90 Üçgeninin Trigonometrik Oranları

45°, 45° ve 90° nin trigonometrik oranları aşağıdaki gibi olur.

45 – 45 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 45, cos 45, tan 45, cot 45, sec 45 ve cosec 45 olacaktır.

 

Birim Çember

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir.

Aşağdıaki birim çemberde P(x, y) noktasını orijine birleştiren [OP] nın x ekseniyle yaptığı açı a, |OP| = 1 olduğunda;

P noktasının apsisi cosa, ordinatı sina dır.
x eksenine kosinüs ekseni, y eksenine sinüs ekseni denir.

Birim çemberden görüldüğü gibi;
–1≤ cosa ≤ 1,
–1≤ sina ≤ 1 dir.

 

Çözümlü Örnek: Aşağıdaki birim çemberde m(AOP) = 45° olduğuna göre P noktasının koordinatlarını bulalım.

Cevap: [PH⊥OH] olacak şekilde [PH] nı çizelim.
O merkezli çember, birim çember olduğundan |OP| = 1 br, |OH| = a br, |PH| = b br olur.

P(a, b) noktası I. bölgede bulunduğundan ve m(AOP) = 45° olduğundan P(a, b) = P(cos45°, sin45°) tir.

cos45° = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​  sin45° = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​ olduğundan

a = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​; b = ​\( \displaystyle\frac{√2}{2} \)​ olur.

12. Sınıf Belirsiz ve Belirli İntegral Çözümlü Soruları

12. Sınıf Matematik Belirsiz ve Belirli İntegral Çözümlü Soruların, problemlerin ve testlerin olacağı bu yazımızda integral ile ilgili çözümlü örnekler paylaşacağız. Sorulara geçmeden önce 12. Sınıf Belirsiz  İntegral Konu Anlatımı ve 12. Sınıf Belirli İntegral Konu Anlatımı yazılarımızı inceleyebilirsiniz.

 

Soru 1:\( \int\mathrm (f(x)+3x^2+x)dx=x.f(x) \)​olduğuna göre f'(2) değerini bulunuz.

Cevap: Verilen eşitliğe göre f(x) + 3x² + x ifadesinin integrali x.f(x) olduğundan x.f(x) ifadesinin türevi f(x) + 3x² + x olur.

(x.f(x))’ = f(x) + 3x² + x ⇒ 1.f(x) + x.f'(x) = f(x) + 3x² + x
f(x) + x.f'(x) = f(x) + 3x² + x
x.f'(x) = x(3x + 1)
f'(x) = 3x + 1
⇒ f'(2) = 7 olarak buluruz.

 

Soru 2: ​​\( f(x)=\int\mathrm (2x^2-8x+3)dx \)​ ​olduğuna göre f(x) fonksiyonunun ekstremum noktalarının apsisleri toplamını bulunuz.

Cevap: ​\( f(x)=\int\mathrm (2x^2-8x+3)dx \)​ ⇒ f'(x) = 2x² -8x + 3 olur.

f'(x) = 0 ⇒ 2x² -8x + 3 denkleminin diskriminantı Δ = b² -4ac
= (-8)² – 4.2.3
= 40 olur.

Denklemin diskriminantı pozitif olduğundan bu denklemin x1 ve x2 gibi iki farklı gerçek kökü vardır. f'(x) in işaret tablosu incelenirse x1 ve x2 köklerinin yerel ekstremum noktalarının apsisleri olduğu görülür.

Buna göre f(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamı 2x² -8x + 3 = 0 denkleminin kökler toplamıdır. Bu toplam;

x1 + x2 = ​\( -\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4 \ buluruz. \)

 

Soru 3: ​\( \int\mathrm x^5dx \)​ integrallerin eşitlerini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm x^5dx=\frac{x^{5+1}}{5+1}+c=\frac{x^6}{6}+c \ buluruz. \)

 

Soru 4: ​\( \displaystyle\int\mathrm x\sqrt[]{x}dx \)​integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm x\sqrt[]{x}dx = \int\mathrm x.x^{\frac{1}{2}}dx=\int\mathrm x^{\frac{3}{2}}dx \)

\( \displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+c \)​ ⇒ ​\( \displaystyle\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+c \)

\( \displaystyle\frac{2\sqrt[]{x^5}}{5}+c \)​⇒ ​\( \displaystyle\frac{2x^2\sqrt[]{x}}{5}+c \ buluruz. \)

 

Soru 5: ​\( \displaystyle\int\mathrm 3.x^4dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm 3.x^4dx= 3.\int\mathrm x^4dx \)

\( \displaystyle3.\frac{x^{5}}{5}+c \)​ ⇒ ​\( \displaystyle\frac{3x^{5}}{5}+c \ buluruz. \)

 

Soru 6: ​\( \displaystyle\int\mathrm (4x^3-3x^2)dx \)​integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm (4x^3-3x^2)dx= \int\mathrm 4x^3dx-\int\mathrm 3x^2dx \)

\( \displaystyle4.\int\mathrm x^3dx-3.\int\mathrm x^2dx \)

\( \displaystyle4.\frac{x^4}{4}+c_1-3.\frac{x^3}{3}+c_2 \)

\( x^4-x^3+c_1+c_2 \)​ ⇒ ​\( x^4-x^3+c \ olur. \)

 

Soru 7: f(x) = x² – x fonksiyonunun diferansiyelini bulunuz.

Cevap: d(f(x)) = f'(x).dx ⇒ d(f(x)) = (2x – 1).dx bulunur.

 

Soru 8:\( \displaystyle\int\mathrm (x-1)^5dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: x – 1 = u             ( x – 1 = u dönüşümü yapılır.)
dx = du                             (Her iki tarafın diferansiyeli alınır.)

\( \displaystyle\int\mathrm (x-1)^5dx= \int\mathrm u^5du \)​ (Dönüşüm ve diferansiyel verilen integralde yerine yazılır.)

\( =\displaystyle\frac{u^6}{6}+c \)​ (İntegral alınır.)

\( =\displaystyle\frac{(x-1)^6}{6}+c \)​  (u yerine eşiti olan x – 1 yazılır.)

 

Soru 9: ​\( \displaystyle\int\limits_2^2\mathrm x^2(x^2+1)^5dx \)​integralinin değerini bulunuz.

Cevap: Belirli integralde alt ve üst sınır birbirine eşit olduğundan integralin değeri 0 olarak bulunur.

\( \displaystyle\int\limits_2^2\mathrm x^2(x^2+1)^5dx=0 \ olur. \)

 

Soru 10: \( \displaystyle\int\limits_1^2\mathrm (x-1)dx \)​ integralinin sınırlarının yerlerini değiştirerek elde edilecek olan integrali yazınız.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_1^2\mathrm (x-1)dx=-\int\limits_2^1\mathrm (x-1)dx \)​ olur.

 

Soru 11: \( \displaystyle\int\limits_1^4\mathrm (x^2-1)dx \)​ integralini iki

integralin toplamı olarak ifade ediniz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_1^4\mathrm (x^2-1)dx =\int\limits_1^2\mathrm (x^2-1)dx +\int\limits_2^4\mathrm (x^2-1)dx =\int\limits_1^3\mathrm (x^2-1)dx +\int\limits_3^4\mathrm (x^2-1)dx \)​ vb.  biçimde ifade edilebilir.

 

Soru 12: ​\( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (5x^2-5)dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (5x^2-5)dx=5.\int\limits_2^3\mathrm (x^2-1)dx \)​ olur.

 

Soru 13: \( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (x^3+x^2-x)dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (x^3+x^2-x)dx=\int\limits_2^3\mathrm x^3dx+\int\limits_2^3\mathrm x^2dx-\int\limits_2^3\mathrm xdx \)​ olur.

 

Soru 14: Aşağıdaki biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonu veriliyor. Buna göre ​\( \displaystyle\int\limits_{-2}^1\mathrm f(x)dx \)

\( f(x) = \begin{cases} 3x^2-x & \quad \text{x<-1 } \text{ise }\\ 2x+3 & \quad \text{x≥-1 } \text{ise} \end{cases} \)​ integralinin değerini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_{-2}^1\mathrm f(x)dx=\int\limits_{-2}^{-1}\mathrm (3x^2-x)dx+\int\limits_{-1}^1\mathrm (2x+3)dx \)

\( \displaystyle\left.(x^3-\frac{x^2}{2})\right|_{-2}^{-1}+\left.(x^2+3x)\right|_{-1}^{1} \)

=[​\( \displaystyle((-1)^3-\frac{(-1)^2}{2})-((-2)^3-\frac{(-2)^2}{2}) \)​]+[​\( (1^2+3.1)-((-1)^2+3.(-1)) \)​]

=​\( [\displaystyle(-1-\frac{1}{2})-(-8-2)]+[4-(1-3)] \)

=​\( \displaystyle(-\frac{3}{2}+10)+(4+2) \)

\( \displaystyle\frac{17}{2}+6 = \frac{29}{2} \ buluruz. \)

3 Nisan Eba TV Uzaktan Eğitim Ders Programı

3 Nisan 2020 Cuma Günü için  Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) TRT Eba Tv Uzaktan Eğitim Ders Programı açıklantı arkadaşlar. İlokul, Ortaokul, Lise, AİHL, İHO, Uyum Sınıfı  düzeyinde açıklanan ders programı sayesinde derslerinize düzenli bir program çerçevesinde çalışabilirsiniz.

A.çklanan ders programı 1. Sınıf, 2. Sınıf, 3. Sınıf, 4. Sınıf, 5. Sınıf, 6. Sınıf, 7. Sınıf, 8. Sınıf, 9. Sınıf, 10. Sınıf, 11. Sınıf, 12. Sınıf ları içindir arkadaşlar.

3 Nisan İlkokul Ders Programı

 

3 Nisan Ortaokul Ders Programı

3 Nisan Lise Ders Programı