Birebir Ve Örten Fonksiyon Nedir?
Bire Bir, Örten ve İçine Fonksiyon
Yukarıdaki durum sağlanıyorsa f fonksiyonu bire bir ( 1 – 1 ) fonksiyondur.
• f : A → B fonksiyonunda her y ∈ B için f ( x ) = y olacak biçimde en az bir x ∈ A varsa f fonksiyonu örten fonksiyondur, yani f ( A ) = B ise f fonksiyonu örtendir.
• f : A → B fonksiyonu için f ( A ) ≠ B ise yani değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalıyorsa f fonksiyonu içine fonksiyondur.
Grafiği verilen bir fonksiyonun bire bir, örten ya da içine olduğunu yatay doğru testi ile belirleyebiliriz. Yatay doğru testinde, grafiği verilen fonksiyonun değer kümesindeki elemanlardan x eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun grafiğini;
• Daima keserse fonksiyon örtendir.
• Bazen keser, bazen kesmezse fonksiyon içinedir.
• En fazla bir noktada keserse fonksiyon bire birdir, birden
fazla noktada keserse bire bir değildir.
Örnek: f : R → R , f ( x ) = x + 2 fonksiyonunun bire bir ve örtenlik durumlarını
inceleyelim.
Cevap: 
Örnek: f : R → R , f ( x ) = x 2 + 1 fonksiyonunun bire bir ve örtenlik durumlarını
inceleyelim.
Cevap:
Soru: A = { – 1, 0, 1 } ve B = { 1, 2, 3 } kümeleri için A dan B ye tanımlı aşağıdaki
ilişkilerden hangileri bir fonksiyondur?
a. f = { ( – 1, 0 ), ( 0, 1) , ( 1, 2 ) }
b. k = { ( – 1, 3 ), ( 0, 3) , ( 1, 3 ) }
c. h = { ( – 1, 1 ), ( 1, 2) , ( 0, 2 ) }
d. p = { ( 0, 1 ), ( 1, 3) , ( – 1, 1 ) , ( 0, 2 ) }
e. g = { ( 0, 2 ), ( 1, 3) }
Cevap: b ve c seçenekleri birer fonksiyondur arkadaşlar. Detaylıca çözümü aşağıda görebilirsiniz.
Örnek: R de tanımlı bire bir ve örten f ( x ) = x + 4 ve g ( x ) = 1 – x fonksiyonları
verilmiş olsun. Bu iki fonksiyonun bileşkelerinin bire bir ve örten olup
olmayacağını inceleyelim.
Cevap: Bu fonksiyonların bire bir ve örten olduğunu fonksiyon çizim aracında
çizeceğimiz grafiklerle gösterelim. “ 76. Şekil ” den de görüldüğü üzere çizilen her bir yatay doğru f ve g fonksiyonlarının grafiklerini sadece birer noktada kesmektedir. O hâlde f ve g fonksiyonları bire birdir.
Çizilecek her yatay doğrunun fonksiyon grafiğini kestiği noktanın apsisi de gerçek sayı olacağından fonksiyonlar aynı zamanda örtendir. Şimdi f ve g nin bileşkeleri olan fog ve gof fonksiyonlarının kurallarını bulalım.
( fog ) ( x ) = f [ g ( x ) ] = f ( 1 – x ) = ( 1 – x ) + 4 = – x + 5 tir.
( gof ) ( x ) = g [ f ( x ) ] = g ( x – 4 ) = 1 – ( x + 4 ) = – x – 3 tür.
Bileşke işlemlerinden sonra ortaya çıkan doğrusal fonksiyonların grafiklerini
fonksiyon çizim aracında çizip grafikleri yatay doğrularla keselim. “ 77. Şekil ” de gösterilen fog ve gof fonksiyonlarının grafikleri çizilen her bir yatay doğru tarafından tek noktada kesilmektedir. O hâlde fog ve gof fonksiyonları bire birdir.
Çizilecek her yatay doğrunun fonksiyon grafiğini kestiği noktanın apsisi de gerçek sayı olacağından fog ve gof fonksiyonları aynı zamanda örtendir.
