Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlikler ile ilgili konu anlatımı, çözümlü sorular ve problemlerin olacağı bu yazımızda genellikle 9. sınıf matematik dersine hitap eden paylaşımı yapacağız sevgili öğrenciler.
İlk önce kısa bir konu anlatımı ile derimize başlayalım. Daha sonradan ise çözümlü örnek sorulara geçeceğiz.
a ≠ 0, b ≠ 0 ve a, b, c ! R ; x ile y değişkenler olmak üzere ax+by = c şeklindeki
denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler adı verilir.
Bu denklemi sağlayan (doğrulayan) x ve y gerçek sayıları ise (x, y) sıralı ikilisi olarak yazılır ve bu sıralı ikiliye denklemin çözüm kümesinin bir elemanı denir.
ax+by = c birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafikleri doğru belirtir.
ax + by = m
cx + dy = n şeklinde verilen aynı değişkenden oluşan ve birden fazla denklem
bulunduran ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi adı
verilir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulmak için yok etme, yerine koyma ve grafik çizimi gibi yöntemler kullanılır.
Yok Etme Yöntemi
Denklem sisteminde bilinmeyenlerden herhangi birinin katsayısı diğer denklemdeki aynı bilinmeyenin katsayısıyla mutlak değerce eşit, işaret bakımından ters olacak şekilde düzenlenir. Taraf tarafa toplama yoluyla seçilen değişken yok edilir.
Yerine Koyma Yöntemi
Denklem sistemindeki denklemlerin herhangi birinden herhangi bir değişken
eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve diğer denklemde yerine yazılır.
Grafik Yorumu
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemin çözüm kümesini oluşturan sıralı ikililer analitik düzlemde bir doğru belirtir.
Denklem sistemini oluşturan denklemlerin belirttiği doğruların kesim noktası ya da noktaları bu denklem sisteminin çözüm kümesini oluşturur.
a, b, c birer gerçek sayı , a ve b sıfırdan farklı olmak üzere
ax + by ≤ c
ax + by < c
ax + by ≥ c
ax + by > c
şeklindeki ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler denir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerde olduğu gibi bu eşitsizliğin çözüm kümesi de (x, y) şeklindeki sıralı ikililerden oluşur. Eşitsizliği doğru yapan
sonsuz sayıda sıralı ikili bulunacağından çözüm kümesi analitik düzlemde boyalı bölgeler çizilerek gösterilir.
Şimdide bu konularla ilgili Çözümlü Sorulara geçelim arkadaşlar.
Soru: Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.
a) -5x + 3y = 22
2x – 3y = -16
b) 7a – 3b = 10
2a + 5b = -3
c) x/2 + y/3 = -1
2x/3 – y/2 = 10
ç) 1/(x+1) – 2y = -11
x/(x+1) + 4y = 22
Cevap:Tüm şıkları sırasıla aşağıdaki gibi çözümleyelim arkadaşlar.
a) y değerini yok ederek bu durumda x değerinin bulabiliriz.
-5x + 3y = 22
2x – 3y = -16
Bu iki denklemi alt alta toplarsak y değeri yok olacaktır.
-3x = 22-16 = 6
x = -2 olur.
x yerine -2 sayısını yazdığımızda y değerini buluruz.
10 + 3y = 22
3y = 12
y = 4 olur.
b) İki denklemi genişletmemiz gerekecek bu soruda. İlk denklemi 5 ile ikinci denklemi de 3 ile genişletirsek bilinmeyen bir değeri yok etmiş oluruz.
35a – 15b = 50
6a + 15b = -9
İki denklemi toplayalım.
41a = 41
a = 1 buluruz.
İlk denklemde a yerine 1 yazıp b değerini bulalım.
7 – 3b = 10
– 3b = 3
b = -1 olur.
c) Her iki denklemi de tek bir paydada yazarak başlayalım işlemi yapmaya.
(3x + 2y)/6 = -1 yani;
3x + 2y = -6
(4x – 3y)/6 = 10 yani;
4x – 3y = 60
Yeni denklemlerimizi alt alta yazalım ve uygun sayılarla genişletelim. Yeni sayılarımızı toplayıp bilinmeyen değerlerimizi tespit edelim.
3x + 2y = -6
4x – 3y = 60
İlk denklem 3 ile ikinci denklem 2 ile genişletilir.
9x + 6y = -18
8x – 6y = 120
17x = 102
x = 6
Oluşturduğumuz denklemlerin birinde x yerine 6 yazalım ve y değerini bulalım.
18 + 2y = -6
2y = -24
y = -12
ç) İlk denklemimizin sonucu -11 ve ikinci denklemin sonucu 22’dir. İlk denklemi -2 ile çarparsak ikinci denklem ile eşit olur. Sonra da her iki denklemi birbiri ile eşitleriz.
-2 / (x + 1) +4y = x / (x+1) + 4y
Bu iki denklemde 4y değerleri birbirini götürür. x de karşı denklemde bulunan -2 sayısı ile eşittir. Bize soruda verilen denklemlerde x yerine -2 yazalım ve y değerini bulalım.
1 / (-2 + 1) – 2y = -11
-1 -2y = -11
-2y = -10
y = 5 olarak buluruz.
Soru: 3x + 4y = 78 denkleminin çözüm kümesinin elemanlarından biri (a-1 , a+1) ise a değerini bulunuz.
Cevap: Denklemin çözüm kümesi elemanları bize soruda verilmiş. x yerine a-1 ve y yerine a+1 yazarak işlemimizi yapalım.
3 (a – 1) + 4 (a + 1) = 78
3a – 3 + 4a + 4 = 78
7a +1 = 78
7a = 77
a = 11 olarak buluruz.
Soru: Toplamları en çok 6, farkları en az -2 olan gerçek sayı ikililerini analitik düzlemde gösteriniz.
Cevap: İki sayımızdan biri ” x ” diğeri ise ” y ”olsun arkadaşlar. Verilenleri denklem kurarak çözelim. Toplamları en çok 6 belirtilmiş. x+y = 6 olur. Farkları en az x-y = -2 olur. Taraf tarafa toplama yaparsakta;
x+y= 6
x-y= -2
———–
2x = 4
x= 2 olur. Bulduğumuz değerini yerine yazalım :
2+y = 6
y= 4 olarak buluruz.
Soru: -5x + y > 10, x ≤ -2 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
Cevap: Soruda bize iki tane eşitsizlik sistemi verilmiş. İkinci eşitsizlik sayesinde x’in alabileceği değerleri bulabiliriz.
İlk eşitsizlikte x yerine alabileceği en büyük değeri yazarak başlayalım.
x = -2 için
10+y>10
y>0
Bir sonraki en büyük tam sayıyı yazalım. Böylece eşitsizliği hangi y değeri sağlar bunu öğrenmiş olacağız.
x = -3
15+y>10
y>-5
Bu iki x değeri sayesinde anlarız ki x’in en büyük olduğu noktada y, 0’dan büyük bir sayıdır. x sayısı küçüldükçe y sayısı da küçülecektir. x sayısının sonsuza kadar küçüldüğünü de eşitsizlikte bize bir uç değer vermediğinden anlayabiliriz. Bu demektir ki x sayısı sonsuza kadar küçülüyorsa, bu sayıya karşılık gelen y sayısı da sonsuza kadar küçülür.
Sonuçta, Eşitsizlikte bize verilen x sayısı sonsuzdan gelip -2’de maksimum değeri alır. x sayısına karşılık gelen y değeri de sonsuzdan gelir 0’dan büyük bir değer alır.
Soru: |x + y| < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz. (a ∈ R+ , | x | < a ise -a < x < a olduğunu hatırlayınız. )
Cevap: Doğruların denklemi yazdığında x+y nin her zaman -3 ten büyük 3 den küçük olduğu görülecektir.
x/3+y/3=1
-x/3+-y/3=1
Birinci denklemde 0,0 noktası sağlar çünkü 3 den küçük oluyor ondan aşağıyı taradım. İkincide 0,0 yine sağladı ondan yukarı taradım.
