Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Çözümlü Sorular

10. Sınıf Matematik Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Çözümlü Soruların, Problemlerin ve testlerin olacağı bu yazımızda konu ile ilgili seçilmiş güzel örnek soruları paylaşıyoruz sevgili öğrenciler. Sorulara geçmeden önce Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konu Anlatımı yazımızı da inceleyebilirsiniz.

Örnek 1: (2x – 3y)3 ifadesinin açılımında 13 terim bulunduğuna göre k değerini bulalım.

Cevap: (2x – 3y)3 açılımında k + 1 terim bulunur. O hâlde,
k + 1 = 13 ⇒ k = 12 dir.

 

Örnek 2: (2x – 3)3 ifadesinin açılımını yaparak katsayılar toplamını ve sabit terimini bulalım.

Cevap: İlk önce ifadenin açılımını yapalım arkadaşlar.

Katsayılar toplamı,
16 + ( –96 ) + 216 + ( –216 ) + 81 = 1 dir.
Sabit terim değişken içermeyen terim olan 81 dir.

 

Örnek 3: (x + y)2 ve (x – y)3 ifadelerinin özdeşini binom açılımı yardımıyla bulunuz.

Cevap: Her iki ifadeninde sırasıyla açılımlarını yapalım arkadaşlar.

 

Örnek 4: (3x-4)5 açılımının
a) Kaç terimi olduğunu bulunuz.
b) Katsayılarının toplamını bulunuz.
c) Sabit terimini bulunuz.

Cevap: a) Kuvvet 5 olduğundan açılımın terim sayısı 5 + 1 = 6 olur.
b) Katsayılar toplamı, x yerine 1 yazılırsa (3.1-4)5 =(-1)5 = -1 olarak bulunur.
c) Sabit terim, x yerine 0 yazılırsa (3.0-4)5 =(-4)5 = -1024 olarak bulunur.

 

Örnek 5: (x-3y)9 açılımındaki terimlerden birisi a ∈ R – {0}, olmak üzere a.x2n-1 . y4+n olduğuna göre n değerini bulunuz.

Cevap:  (x-3y)9 ifadesinin açılımında x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı 9 dur.

2n – 1 + 4 + n = 9
3n + 3 = 9 ve n = 2 olur.

 

Örnek 6: (3x-y)8 ifadesinin açılımındaki terimler x in azalan kuvvetlerine göre sıralandığında baştan 7 nci terimi bulunuz.

Cevap: (3x-y)8 ifadesinin açılımındaki baştan r+1 inci terim

r + 1 = 7 ⇒ r = 6 olup baştan 7 nci terim;

 

Örnek 7: (5x + 2x³)8 ifadesinin 5x in azalan kuvvetlerine göre açılımında sondan 3. terimi bulunuz.

Cevap: Verilen ifadede n = 8 olduğundan açılımdaki terim sayısı 9 olur. Bu durumda ifadenin açılımında sondan 3. terim, baştan 7. terimdir. O hâlde sondan 3. terim

 

Örnek 8: (x + 2y)4 ifadesinin açılımını bulunuz.

Cevap: (x + 2y)4 ifadesinin açılımı;

 

Örnek 9: (2x – 3)3 ifadesinin açılımını bulunuz.

Cevap: (2x – 3)3 ifadesinin açılımı;

 

Örnek 10: (3x – 2y)12 ifadesinin açılımındaki terim sayısını bulunuz.

Cevap: (3x – 2y)12 ifadesinin açılımında n = 12 olduğundan terim sayısı

n + 1 = 12 + 1 = 13 bulunur.

 

Örnek 11: (-2x + 5y + 4)7 ifadesinin açılımındaki
a) Katsayılar toplamını
b) Sabit terimi bulunuz.

Cevap: a) x = y = 1 alınırsa (-2x + 5y + 4)7 açılımındaki katsayılar toplamı
(-2.1 + 5.1 + 4)7 = (-2 + 5 + 4)7 = 77 bulunur.

b) x = y = 0 alınırsa (-2x + 5y + 4)7 açılımındaki sabit terim
(-2.0 + 5.0 + 4)7 = (0 + 0 + 4)7 = 47 bulunur.

Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konu Anlatımı

10. Sınıf Matematik Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımızda çözümlü örneklerle birlikte konuyu en iyi şekilde anlatmaya çalıştık. Konu anlatımı sonrası Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Çözümlü Sorular yazımızı da inceleyebilirsiniz.

Pascal Üçgeni

x,y ∈ R – {0}, olmak üzere n ∈ N olmak üzere x + y ifadesinin kuvvetleri alınırsa

açılımları elde edilir. Bu açılımlardaki terimlerin katsayıları ortalanarak yazılırsa

şeklindeki sayılardan oluşan yukarıdaki üçgen elde edilir. Bu üçgene Pascal üçgeni adı verilir. Aşağıdaki görselde de detaylı açılımını görebilirsiniz.

 

Pascal üçgeninin her bir satırındaki sayıların toplamı, eleman sayısı satır numarasının 1 eksiği olan kümenin alt küme sayısını verir.

1. satır A = {  } , kümesi için s(A) = 0 ve alt küme sayısı: 20 = 1
2. satır A = {a}, kümesi için s(A) = 1 ve alt küme sayısı: 21 = 2
3. satır A = {a,b}, kümesi için s(A) = 2 ve alt küme sayısı: 22 = 4 olur.

Pascal üçgeninin (n + 1). satırındaki sayıların her biri eleman sayısı n olan kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı, …, n elemanlı alt küme sayısını verir.

Örneğin;
4. satır A = {a,b, c}, kümesi için s(A) = 3 olur.

Pascal özdeşliği

Pascal üçgeninin herhangi bir n. satırının r. sırasındaki sayı ile (r + 1). sırasındaki sayı toplanırsa Pascal üçgeninin (n + 1). satırının (r + 1). sırasındaki sayı elde edilir. Başka bir ifadeyle Pascal üçgeninin herhangi bir satırındaki ardışık iki sayının toplamı, takip eden satırda bu iki sayının ortasındaki sayıya eşittir.

Örnek: 4 elemanlı bir kümenin alt küme sayılarını veren Pascal üçgeninin ilgili satırını yazarak satırda bulunan sayıların neyi ifade ettiğini belirtiniz.

Çözüm: n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı bilgileri Pascal üçgeninin (n + 1). satırında bulunur. Bu durumda 4 elemanlı kümenin alt küme bilgileri Pascal üçgeninin 5. satırındadır.

 

Binom Açılımı

Binom Teoremi: x, y ∈ R;n,r ∈ N;r ≤ n olmak üzere;

Binom Teoreminn 6 Özelliği

Arkadaşlar şimdide bi kaç tane çözümlü örnek soru yaparak konuyu daha net anlamaya çalışlaım.

Örnek: (x + 2y)4 ifadesinin açılımını bulunuz.

Çözüm: (x + 2y)4 ifadesinin açılımı;

 

Örnek: (2x – 3)3 ifadesinin açılımını bulunuz.

Çözüm: (2x – 3)3 ifadesinin açılımı;

 

Örnek: (3x – 2y)12 ifadesinin açılımındaki terim sayısını bulunuz.

Çözüm: (3x – 2y)12 ifadesinin açılımında n = 12 olduğundan terim sayısı

n + 1 = 12 + 1 = 13 bulunur.

 

Örnek: (-2x + 5y + 4)7 ifadesinin açılımındaki
a) Katsayılar toplamını
b) Sabit terimi bulunuz.

Cevap: a) x = y = 1 alınırsa (-2x + 5y + 4)7 açılımındaki katsayılar toplamı
(-2.1 + 5.1 + 4)7 = (-2 + 5 + 4)7 = 77 bulunur.

b) x = y = 0 alınırsa (-2x + 5y + 4)7 açılımındaki sabit terim
(-2.0 + 5.0 + 4)7 = (0 + 0 + 4)7 = 47 bulunur.

10. Sınıf Yamuk İle İlgili Çözümlü Soruları

10. Sınıf Matematik Yamuk İle İlgili Çözümlü Soruların, Problemlerin ve Pdf testlerin olacağı bu yazımızda Yamuk, Yamuğun Çevre Hesabı ve Yamuğun Alanı ile ilgili çözümlü örnek sorula rpaylaştık. Sorulara geçmeden önce 10. Sınıf Yamuk Konu Anlatımı yazımızada bakabilirsiniz.

 

Yamuk İle İlgili Sorular 1

Cevap 1:

 

Yamuk İle İlgili Sorular 2

Cevap 2:

 

Yamuk İle İlgili Sorular 3

Cevap 3:

 

Yamuk İle İlgili Sorular 4

Cevap 4:

 

Yamuk İle İlgili Sorular 5

Cevap 5:

 

Yamuk İle İlgili Sorular 6

Cevap 6:

 

Yamuk İle İlgili Sorular 7

Cevap 7: