11. Sınıf Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri Çözümlü Sorular

11. Sınıf Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri Çözümlü Soruların ve Problemelrin olacağı bu yazımızda cevaplanmış örnek test sorularını paylaaşcağız sevgili arkadaşlar.

Çözümlü Soru konularımız; İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri, İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümeleri, İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri, İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri ve İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Çözüm Kümelerinden oluşacaktır.

Örnek: Aşağıdaki ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.

x2 – 3y2 = -21

x2 + y2 = 43

Cevap: Verilen denklem sisteminde ikinci denklemi (–1) ile çarpıp denklemleri taraf tarafa toplayalım.

Bulduğumuz değerleri denklem sistemindeki herhangi bir denklemde yerine yazarsak

Buradan verilen denklem sisteminin çözüm kümesi;

 

Örnek: Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini R² de bulalım.

y = 4x² – x – 6
y = 2x² + x – 2

Cevap: Verilen denklem sistemindeki ilk denklemin y değerini ikinci denklemde yerine yazıp bilinmeyen sayısını bire indirerek önce x değerini bulalım.

y = 4x² – x – 6 ve y = 2x² + x – 2 ise

4x² – x – 6 = 2x² + x – 2
2x² – 2x – 4 = 0
2(x – 2) . (x + 1) = 0
x = 2 veya x = –1 bulunur.

x = 2 için y = 4 . 2² – 2 – 6 olur; y = 8 ve
x = –1 için y = 4 . (–1)² – (–1) – 6 olur; y = –1 olur.
O hâlde bu denklem sisteminin çözümü, (–1, –1) ve (2, 8) noktalarıdır.
Çözüm kümesi,

Ç = {(–1, –1), (2, 8)} olur.

 

Örnek: “Karesi 6 fazlasından küçük ya da 6 fazlasına eşit olan gerçek sayılar” kümesini cebir yardımıyla bulalım.

Çözüm: Herhangi bir gerçek sayıyı x temsil ederse
x² ≤ x + 6 ⇒ x² – x – 6 ≤ 0 eşitsizliği elde edilir.

x² – x – 6 = 0 denkleminde Δ = (–1)² – 4 . 1 . (–6) = 25 > 0 dır.
Bu denklemin köklerini çarpanlara ayırmayı kullanarak bulalım.
x² – x – 6 = 0 ⇒ (x – 3) . (x + 2) = 0 ⇒ x = 3 veya x = –2 olur.
Şimdi eşitsizliğe ait işaret tablosunu oluşturalım.

Yukarıdaki işaret tablosu incelendiğinde x² – x – 6 ifadesinin
x in (–2, 3) aralığındaki değerleri için negatif,
x in 3 ten büyük olan ve –2 den küçük olan değerleri için pozitif,
x = –2 ve x = 3 değerleri için ise 0 olduğu görülür.

O hâlde karesi 6 fazlasından küçük ya da 6 fazlasına eşit olan gerçek sayılar, [–2, 3] nda bulunan gerçek sayılardır.

 

Örnek: –15x² ≥ 7 – 8x eşitsizliğinin çözüm kümesini R de bulalım.

Çözüm:  İstenen çözüm kümesini cebir yardımıyla bulalım. Bunun için f(x) = –15x² + 8x – 7 fonksiyonuna ait işaret tablosunu yapalım.  Önce –15x² + 8x –7 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

İşaret tablosunda da görüldüğü gibi tüm gerçek sayılar için –15x² + 8x – 7 ifadesi, daima negatiftir.
Yani –15x² + 8x – 7 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = ∅ dir.

 

Örnek: Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini R de bulalım.

x – 3 < 0
x² – 5x -6 > 0

Çözüm: Verilen eşitsizlik sistemindeki eşitsizliklerin çözümlerini ayrı ayrı bulalım.
x – 3 < 0 için x – 3 = 0 ⇒ x = 3
x² – 5x – 6 > 0 için x² – 5x – 6 = 0 ⇒ x = –1 veya x = 6 dır.
Bulunan kökleri işaret tablosunda küçükten büyüğe yazıp işaret tablosunu dolduralım.

Yapılan işaret tablosundan x – 3 ifadesinin negatif ve x² – 5x – 6 ifadesinin pozitif olduğu ortak çözüm (∞, –1) olduğu görülür.

O hâlde verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi Ç = {x| x < –1, x ∈ R} elde edilir.

 

Örnek: –15 < x² – 8x < 9 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini Z de bulalım.

11. Sınıf Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri Konu Anlatımı

²11. Sınıf Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri Konu Anlatımı Pdf dersimizde işleyeceğimiz konular; İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri, İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümeleri, İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri, İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri ve İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Çözüm Kümeleri dir.

*** Ikinci Dereceden Iki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Ikinci Dereceden Iki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümeleri;

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem adı verilir.

İkinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan sisteme de ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Buradaki a, b, c, d, e ve f denklemin katsayılarıdır. Bu denklem;

Denklemlerden en az bir tanesi ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem olmak üzere iki denklemden oluşan sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Denklem sistemini çözmek demek, verilen her iki denklemi de sağlayan (x, y) sıralı ikililerini bulmak demektir.
Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikililerinin kümesine de verilen sistemin çözüm kümesi denir.

Genelde denklem sistemlerinin çözümünde kullanılan yöntem, denklemlerin birinden bir bilinmeyeni çekip, diğer denklemlerde yerine yazarak bilinmeyen sayısını düşürmektir. Bilinmeyen sayısı 1 e düşürülen denklemde kalan bilinmeyen bulunarak, bu değer denklem sistemindeki herhangi bir denklemde yerine yazılarak diğer bilinmeyenin bulunması sağlanır. Bu yöntemi verilen denklem sisteminde uygulamak zor oluyorsa verilen denklem sistemindeki denklemler kullanılarak bir bilinmeyenli yeni bir denklem elde etmek, çözüm için kullanabilecek diğer bir yöntemdir.

Şimdi bu açıklamalar ile ilgili bir örnek soru yaparak konuyu iyice anlamaya çalışalım arkadaşlar.

Örnek: Aşağıdaki ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.

x2 – 3y2 = -21

x2 + y2 = 43

Cevap: Verilen denklem sisteminde ikinci denklemi (–1) ile çarpıp denklemleri taraf tarafa toplayalım.

Bulduğumuz değerleri denklem sistemindeki herhangi bir denklemde yerine yazarsak

Buradan verilen denklem sisteminin çözüm kümesi;

 

Örnek: Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini R² de bulalım.

y = 4x² – x – 6
y = 2x² + x – 2

Cevap: Verilen denklem sistemindeki ilk denklemin y değerini ikinci denklemde yerine yazıp bilinmeyen sayısını bire indirerek önce x değerini bulalım.

y = 4x² – x – 6 ve y = 2x² + x – 2 ise

4x² – x – 6 = 2x² + x – 2
2x² – 2x – 4 = 0
2(x – 2) . (x + 1) = 0
x = 2 veya x = –1 bulunur.

x = 2 için y = 4 . 2² – 2 – 6 olur; y = 8 ve
x = –1 için y = 4 . (–1)² – (–1) – 6 olur; y = –1 olur.
O hâlde bu denklem sisteminin çözümü, (–1, –1) ve (2, 8) noktalarıdır.
Çözüm kümesi,

Ç = {(–1, –1), (2, 8)} olur.

 

*** Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Esitsizlikler ve Esitsizlik Sistemleri

Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Esitsizliklerin Çözüm Kümeleri

a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere

ax² + bx + c > 0,    ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c < 0,
ax² + bx + c ≤ 0 biçiminde yazılan eşitsizliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Bu tür eşitsizliklerin çözüm kümesi yukarıda bahsedildiği gibi işaret tablosu oluşturulup bulunur.

Örnek: –15x² ≥ 7 – 8x eşitsizliğinin çözüm kümesini R de bulalım.

Çözüm:  İstenen çözüm kümesini cebir yardımıyla bulalım. Bunun için f(x) = –15x² + 8x – 7 fonksiyonuna ait işaret tablosunu yapalım.  Önce –15x² + 8x –7 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

İşaret tablosunda da görüldüğü gibi tüm gerçek sayılar için –15x² + 8x – 7 ifadesi, daima negatiftir.
Yani –15x² + 8x – 7 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = ∅ dir.

 

Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Esitsizlik Sistemlerinin Çözüm Kümeleri

İçinde en az biri ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik olan birden fazla eşitsizliğe ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemi adı verilir. Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan noktalar kümesinden oluşur. Bunun için eşitsizlik sistemindeki her bir eşitsizliğin çözüm kümeleri bulunur. Bu çözüm kümelerinin kesişimi, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. Bu çözümleri cebir veya grafik yardımıyla yapabiliriz.

Örnek: Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini R de bulalım.

x – 3 < 0
x² – 5x -6 > 0

Çözüm: Verilen eşitsizlik sistemindeki eşitsizliklerin çözümlerini ayrı ayrı bulalım.
x – 3 < 0 için x – 3 = 0 ⇒ x = 3
x² – 5x – 6 > 0 için x² – 5x – 6 = 0 ⇒ x = –1 veya x = 6 dır.
Bulunan kökleri işaret tablosunda küçükten büyüğe yazıp işaret tablosunu dolduralım.

Yapılan işaret tablosundan x – 3 ifadesinin negatif ve x² – 5x – 6 ifadesinin pozitif olduğu ortak çözüm (∞, –1) olduğu görülür.

O hâlde verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi Ç = {x| x < –1, x ∈ R} elde edilir.

 

Örnek: –15 < x² – 8x < 9 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini Z de bulalım.

11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Top Yayınları Sayfa 136

11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Top Yayınları Sayfa 136 için 2019 – 2020 yeni öğretim yılında çıkmış olan soruları bu yazımızda bulabilirsiniz arkadaşlar.

Soru: Yanda f: [–5,6] ” [–3,4] ile tanımlı y = f(x) fonksiyonunun grafi ği verilmiştir.

a. Grafi ğin x eksenini kestiği noktaları belirleyiniz.
b. Fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu aralıkları belirleyiniz.
c. Fonksiyonun maksimum ve minimum olduğu noktaları bulunuz.
c. Fonksiyonun [2, 4] ve [–2, –1] aralıklarında ortalama değişim hızını bulup bu aralıklarda fonksiyonun artan ve azalanlığını belirleyiniz.

 

Soru: Ali, bayramlarda ilk olarak ailesine giderek anne ve babasının elini öpmekte ve onları ihmal etmemektedir. Kıyıya en yakın nokta olan A noktasına 50 m uzaklıktaki kayıkta bulunan Ali, A noktasından 100 m uzaklıktaki B noktasında olan ailesine ulaşmak istemektedir. A ile B noktaları arasındaki P noktasına ulaşıp oradan da eve yürümeyi planlamaktadır. Saatte 30 km kürek çektiğini ve 40 km/sa. hız ile yürüdüğünü düşünerek Ali’nin eve varış süresi olan t yi, x in bir fonksiyonu biçiminde yazınız. Buna göre Ali’nin 5 dakika ile 10 dakika arasında gittiği yolun ortalama değişim hızını bulunuz.

 

Soru: Bir arabanın dakikada gittiği yol yandaki tabloda verilmiştir. Verilenlere göre;

a. Arabanın gittiği yol ile zaman ilişkisini kullanarak aldığı yolun zamana bağlı değişimini modelleyiniz.
b. Arabanın [2,5] dakikalar aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz.

 

Soru: Yandaki y = g(x) fonksiyonunun grafi ğidir.

a. Grafi ğin eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını,
b. Fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu aralıkları,
c. Fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyiniz.

 

Soru: Belli bir zaman aralığında ortalama değişim hızı 68 km/sa olan hareketli 340 km yol aldığında aradan kaç saat geçmiştir?