İkinci Dereceden Fonksiyonun Daima Pozitif Ya da Negatif Olması

11. Sınıf Matematik İkinci Dereceden Fonksiyonun Daima Pozitif Ya da Negatif Olması ile ilgili konu anlatımı ve çözümlü soruların olacağı yazımıza hoş geldiniz sevgili arkadaşlar.

Soru: Yanda f: [–5,6] ” [–3,4] ile tanımlı y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

a. Grafi ğin x eksenini kestiği noktaları belirleyiniz.
b. Fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu aralıkları belirleyiniz.
c. Fonksiyonun maksimum ve minimum olduğu noktaları bulunuz.
c. Fonksiyonun [2, 4] ve [–2, –1] aralıklarında ortalama değişim hızını bulup bu aralıklarda fonksiyonun artan ve azalanlığını belirleyiniz.

Cevap:  Her bir şıkkın cevabı aşağıdaki gibidir arkadaşlar.

a) x ekseninin kestiği noktalar -5, -1 ve 3 tür arkadaşlar.

b) (-5, -1) ve (3,6) aralığında pozitif

(-1, 3) aralığında negatiftir.

c) (-3, 4) aralığından maximum noktası 4 tür.

(1,5, -3) aralığıda minimumdur.

ç) [2,4]  ten  (f(4) – f(2))/(4-2)  dir.

 

Soru: Bir taksinin taksimetresi açılışta 5 TL, sonraki her 1 km için 2 TL yazmaktadır. Bununla ilgili tablo aşağıda verilmiştir. Verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Yolculuğun mesafesi x olmak üzere yolcunun ödeyeceği ücreti x e bağlı olarak bulunuz.
b) 120 km lik yolculuk için yolcunun ödeyeceği ücreti bulunuz.

Cevap: a) Ödenecek ücret yolun bir fonksiyonudur. Bu fonksiyon f(x) olsun.
Yolcu her 1 km için 2 TL, x ε ℕ için 2x TL ödeyeceğinden ve taksimetre açılış ücreti 5 TL olduğundan f(x) = 5 + 2x TL olur.

b) f(x) = 5 + 2x ⇒ f(120) = 5 + 2.120 = 245 TL olur.

 

Soru: Yandaki doğrusal grafik bir ürünün alış ve satış fiyatı arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Bu üründen satın alan bir kişi, satış fişini incelediğinde kendisinden 80 TL yerine yanlışlıkla 60 TL alındığını fark ediyor. Bunun üzerine mağazaya dönen kişi 20 TL daha ödüyor. Kişinin 20 TL yi ödemesi veya ödememesi durumları için mağazanın elde edeceği kâr oranlarını bulunuz.

Cevap: Orijinden geçen doğruların genel denklemi, m eğim olmak üzere y = mx biçimindedir.

 

Fonksiyon Grafiğinin Eksenleri Kestiği Noktalar

Polinom fonksiyonlarının grafiği x veya y eksenini en az bir noktada keser.
Analitik düzlemde bir fonksiyon grafiğinin eksenleri kestiği noktalar aşağıdaki gibi bulunur. Koordinat sisteminde x ekseni üzerindeki noktaların ordinatları sıfır olduğundan bir fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda y yerine sıfır yazılır ve x değeri veya değerleri bulunur. Benzer şekilde y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri sıfır olduğundan fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x yerine sıfır yazılır ve y değeri bulunur.

Soru: Analitik düzlemde her x ∈ ℝ için aşağıdaki fonksiyonların grafiklerinin eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

a) y = -2x + 3                   b) y = x2 + 3x – 4

Cevap:

a) y = -2x + 3 fonksiyonunun grafiği
x = 0 için y = 3 olur. O hâlde fonksiyonun grafiği y eksenini (0 , 3) noktasında keser.

y = 0 için 0 = -2x + 3 ⇒ x = 3/2 olur.
O hâlde fonksiyonun grafiği x ekseni (3/2, 0) noktasında keser.
Bu fonksiyonun grafiğinin x ve y eksenlerini kestiği noktalar yandaki grafikte görülmektedir.

b) y = x2 + 3x – 4 fonksiyonunun grafiği
x = 0 için y = -4 olur.

O hâlde fonksiyonun grafiği y eksenini (0, -4) noktasında keser.
y = 0 için x2 + 3x – 4 = 0 ⇒ (x – 1).(x + 4) = 0
⇒ x = 1 ve x = -4 olur.
O hâlde fonksiyonun grafiği x eksenini (1, 0) ve (-4, 0) noktalarında keser.

 

Soru: f: ℝ →ℝ, f(x) = -2x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Cevap:

(x, f(x)) noktalarının analitik düzlemde birleştirilmesi ile yandaki parabol elde edilir. Fonksiyon en büyük değerini x = 0 noktasında alır.
Bu değer 0 dır. Böylece O(0, 0) noktası parabolün maksimum noktası olur.
x = 0 doğrusu parabolün simetri eksenidir.

İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Varlığı ve İşareti

11. Sınıf Matematik İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Varlığı ve İşareti Konu Anlatımı, Formülleri, Problemleri ve Çözümlü Sorualrın olacağı yazımıza hoş geldiniz sevgili arladaşlar.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde Köklerin Varlığı

a ≠ 0 için ax² + bx + c = 0 denkleminde Δ = b² – 4ac olmak üzere;

  • Δ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır. Bu kökler;

dir.

 

  • Δ =0 ise denklemin eşit iki gerçek kökü ( çakışık iki kökü veya iki katlı kökü ) vardır. Bu kökler; x1 = x2 = -b/2a dır.

 

  • Δ< 0 ise denklemin gerçek kökü yoktur. Başka bir deyişle, bu denklemin gerçek sayılarda çözüm kümesi boş kümedir.

 

Örnek: Aşağıda verilen denklemlerin köklerinin varlığını inceleyelim.

a. x² + 6 x + 11 = 0      b. x² – 13x – 3 = 0      c. 4 x² + 12 x + 9 = 0

a) x² + 6 x + 11 = 0  denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;

Δ = 6² – 4.1.11

Δ = – 8  çıkan sonuç 0 dan küçük olduğu için kök yoktur.

b) x² – 13x – 3 = 0  denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;

Δ = (-13)² – 4.1.-3

Δ =169 + 12 = 181 yapar.

formülünde değerleri yerine koyarsak;

x1,2 = (-(-13) ± √181)/2.1

x1,2 = (13 ± 9√2)/2 olarak buluruz.

c) 4 x² + 12 x + 9 = 0 denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;

Δ = 12² – 4.4.9

Δ = 144 – 144 = 0 olur. Bu durumda kökler eşittir. -b/2a formülünden;

x1 = x2 = -12/8 = -3/2 olarak buluruz.

 

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki İlişkiler

a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Bu köklerin toplamı ve çarpımı ile denklemin katsayıları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır.

Örnek: x² + 3x – 6 = 0 denkleminde kökler toplamını ve çarpımını bulalım.

x² + 3x – 6 = 0 denkleminde katsayılar a = 1 , b = 3 , c = -6 dır.

Denklemin kökleri x1 ve x2 ise ,

x1 + x2 = – b/a = 3/1 = 3 olur.

x1 . x2 = c/a = – 6/1 = – 6 olur.

 

Örnek: x2 + 3x + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Cevap: Soruda verilen denklem çarpanlarına ayrılamıyor. Bu nedenle de denklemin köklerini delta formülü ile bulmamız gerekiyor.

Denklemde a = 1, b = 3 ve c = 7 dir arkadaşlar. Verilenlere göre denklemin diskriminantına bakacak olursak;

∆ = b2 – 4ac → ∆ = 32 – 4.1.7 → ∆ = -19 olur.

∆ sıfırdan küçük olduğu için bu denklemin kökleri yoktur arkadaşlar.

Ç.K = { }

 

Örnek: x²+5x+3=0 denkleminin köklerini bulunuz?

Cevap: Denklem çarpanlarına ayrılmıyor. O halde kökleri Diskriminant yardımıyla bulacağız.

Delta=∆=b²-4ac olduğundan

∆=25-4.3.1=13

∆>0 olduğundan iki tane kök vardır. O halde aşağıdaki formülümüze göre;

Denkemin kökleri aşağıdaki gibi olur.

 

Soru: x² – 2 x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olarak veriliyor. R e ( x1 + x2 ) değerini bulunuz.

Cevap: Hatırlayacağınız üzere kökler toplamını -b/a formülünden buluyorduk.

O halde x1 + x2 = -(-2)/1 den 2 olarak buluruz.

 

Soru: x² – 3 x + 2 m – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Köklerden biri diğerinin 2 katından 1 fazla olduğuna göre m kaçtır?

Cevap: x1 = 2x2 + 1 olur. x1 + x2 toplamında x1 yeni bu eşitliği yazarsak;

x1 + x2 = 2x2 + 1 + x2 = 3 olur.

3x2 + 1 = 3 olur ve  x2 = 2/3 olur.

x1 = 2x2 + 1 demiştik. x1 = 2.2/3 + 1 = 4/3 + 1 = 7/3 olur.

Kökler çarpımı formülü = c/a idi. Yani (2m – 1) /1 den 2m – 1 dir.

x1 . x2 = 2/3 . 7/3 = 14/9 yapar ve bu değerde 14/9 = 2m – 1 dir.

14 = 18m – 9

m = 23/28 olarak buluruz.

 

11. Sınıf Matematik Uzay Geometrisi Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Uzay Geometrisi (Katı Cisimler) Konu Anlatımı Pdf dersimize hoşgeldiniz sevgili öğrenciler. Konu anlatımı dersimizden sonra dilerseniz. 11. Sınıf Matematik Uzay Geometrisi Çözümlü Sorular yazımızıda inceleyebilirsiniz.

Katı Cisimler

Dik Dairesel Silindir, Dik Dairesel Koni, Kürenin Alan ve Hacim Bağıntıları

Silindir

Uzaydaki bir düzlemde bir k kapalı eğrisi ile bu düzleme paralel olmayan bir d doğrusu verilmiş olsun. k eğrisini kesen ve d doğrusuna paralel olan doğruların kümesine silindirik yüzey denir. k eğrisine silindirik yüzeyin dayanak eğrisi, d doğrusuna paralel olan doğruların her birine silindirik yüzeyin ana doğrusu denir.

 

Silindirik yüzey ile bu yüzeyi kesen paralel iki düzlemin sınırladığı cisme silindir denir. Düzlem ile oluşan kesitlerin her birine silindirin tabanı denir.
Ana doğrunun tabanı kestiği noktada, tabandan geçen bütün doğrulara dik olan silindire dik silindir, tabanları daire olan dik silindire dik dairesel silindir denir. Bu kitapta dik dairesel silindir yerine silindir ifadesi kullanılacaktır.

Silindirin tabanlarının merkezinden geçen doğruya silindirin ekseni denir.
Silindirin tabanları arasındaki uzaklığa silindirin yüksekliği denir.
Silindirin yüksekliği aynı zamanda ana doğru parçasının uzunluğudur.

 

Dikdörtgensel bölgenin 360° döndürülmesi ile dönel silindir elde edilir.
Dik dairesel silindire dönel silindir de denir.Silindir ile silindirin tabanlarına dik bir düzlemin kesişimi dikdörtgendir.
Silindir ile silindirin tabanlarına paralel bir düzlemin kesişimi dairedir.

 

Örnek: O1 ve O2 taban merkezleri olmak üzere yanda verilen silindirin yüksekliği 10 birim, taban yarıçapı 5 birimdir. K, taban dairesinin çevresi üzerinde bir nokta olduğuna göre O1K uzunluğunun kaç birim olduğunu bulunuz.

Cevap: O1, O2 ve K noktaları birleştirildiğinde O1KO2 dik üçgeni oluşur.

Bu dik üçgende Pisagor teoremi uygulandığında;

|O1K|² =|O1O2|²+|KO2|² = 10² + 5² = 125 olur. Buradan
|O1K| = 5√5 birim olur.

 

Silindirin Yüzey Alanı

Aşağıda taban yarıçapı r, yüksekliği h olan silindirin açınımı görülmektedir.

Açınımda görüldüğü gibi silindirin yan yüzeyi bir dikdörtgen; tabanları, birbirine eş dairelerdir. Silindirin yüzey alanı, oluşan dikdörtgenin alanı ve iki taban dairesinin alanları toplamıdır.

Dikdörtgenin bir kenar uzunluğu silindirin yüksekliğine, bu kenara dik olan kenar uzunluğu dairenin çevre uzunluğuna eşittir.
Aşağıda bazı ifadelerin sembolleri verilmiştir.

Yanal yüzey alanı = YA
Taban alanı = TA
Tüm silindirin yüzey alanı = SA
Taban dairesinin yarıçapı = r
Buradan
Yanal yüzey alanı = Taban çevresi . Yükseklik ⇒ YA = 2πr.h,
TA = π.r² birimkare ⇒ Taban alanları toplamı 2.TA = 2π.r² olur.
Tüm silindirin yüzey alanı = Yanal yüzey alanı + 2 . Taban alanı olduğundan
SA = YA + 2.TA
SA = 2πr.h + 2π.r² olur.

 

Örnek: Bir silindirin taban alanı 20π birimkare, yanal alanı 120π birimkare olduğuna göre bu silindirin yüksekliğinin kaç birim olduğunu bulunuz.

Cevap: Taban alanı π.r² = 20π olduğundan r = 2√5 birim olur.
YA= 2πr.h = 120π olduğundan 2π. 2√5.h = 120π olur. Buradan

silindirin yüksekliği ​\( h=\displaystyle\frac{30}{√5} =6√5 \ birim \ olur. \)

 

Silindirin Hacmi

Prizmanın hacmi, prizmanın taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı olduğundan silindirin hacmi de silindirin taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı olur.
Taban dairesinin yarıçapı r, yüksekliği h olan bir silindirin taban alanı πr² olduğundan hacmi πr².h olur. O hâlde silindirin hacmi V = πr².h olur.

Örnek: Yanal yüzey alanı 120π birimkare olan silindirin taban yarıçapı 8 birimdir. Buna göre silindirin hacminin kaç birimküp olduğunu bulunuz.

Cevap: YA= 2πr.h = 120π ⇒ 2π.8.h = 120π
h = 15/2 birim olur. Buradan;

silindirin hacmi V = π.r².h = π.8². ​\( \displaystyle\frac{15}{2} \)​ = 480π birimküp olarak bulunur.

 

Koni

Konisel yüzey bir düzlemle kesildiğinde tepe noktası ile kesit arasında kalan cisme koni denir.
Düzlemsel kesite koninin tabanı, tepenin tabana olan uzaklığına koninin yüksekliği denir.
Tepeden tabana indirilen dikme, tabanın ağırlık merkezinden geçiyorsa bu tür konilere dik koni, tabanı daire olan dik koniye dik dairesel koni denir.

 

Aşağıdaki koni, [AB] tabanın bir çapı olmak üzere (T, AB) biçiminde
gösterilir.
Koninin tepe noktasından ve tabanın ağırlık merkezinden geçen
doğruya koninin ekseni denir.
Koninin ana doğru parçalarının uzunlukları eşittir.
(|TA| = |TB| = |TC|)

 

Örnek: Bir koninin taban yarıçapının uzunluğu koninin yüksekliğinin yarısına eşittir. Koninin ana doğru parçasının uzunluğu 20 birim olduğuna göre koninin yüksekliğini bulunuz.

Cevap: Şekildeki TOA dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında

4r² + r² = 20²
5r² = 20² ⇒ 5r² = 400
⇒ r² = 80 ⇒ r = 4√5 birim olur. Buradan
koninin yüksekliği |TO| = 2r = 2.4√5 = 8√5 birim olur.

 

Koninin Yüzey Alanı

Koni yüzeyi, yanal yüzey ve taban yüzeyi olmak üzere iki bölümden oluşur.
Taban yarıçapı r, ana doğru parçasının uzunluğu l olan bir koninin açınımı aşağıda verilmiştir.

YA = π.r.l
TA = π.r²
Koninin tüm yüzey alanı A = YA+ TA = π.r.l + π.r² olur.

Örnek: Bir koninin yüzeyi AB yayından tepe noktasına kadar şekildeki gibi boyanmıştır. Koninin ana doğru parçasının uzunluğu 12 cm ve AB yayının uzunluğu 4π cm olduğuna göre boyalı yüzeyin alanının kaç santimetrekare olduğunu bulunuz.

Cevap: TAB yüzeyinin açınımı bir daire dilimi olur.

O hâlde boyalı yüzeyin alanı
\( \displaystyle\frac{4π.12}{2} = 24π \)​ cm² olarak bulunur.

 

Koninin Hacmi

Koninin hacmi = ​\( \displaystyle\frac{πr^2h}{3} \ dir. \)

Örnek: Aşağıdaki daire diliminin merkez açısının ölçüsü 135° ve |AB|=|AC|= 8 birim olarak verilmiştir. Bu daire diliminin AB ile AC kenarları bir koni olacak şekilde çakıştırılıyor. Buna göre oluşan koninin hacmini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\frac{r}{l}=\frac{α}{360°} ⇒ \frac{r}{8}=\frac{135°}{360°} ⇒ r = 3 \ birim \ olur. \)

AOB dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında
h² + 9 = 64 ⇒ h = √55 birim olur. Buradan

oluşan koninin hacmi ​\( V = \displaystyle\frac{πr^2.h}{3} = \frac{π3^2.√55}{3}=3√55π \ birimkp\ olur. \)

 

Küre

Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların kümesine küre yüzeyi, küre yüzeyi ile sınırlı cisme küre denir.
Sabit noktaya kürenin merkezi, kürenin üzerindeki herhangi bir noktanın merkeze uzaklığına kürenin yarıçapı denir.

Kürenin Yüzey Alanı

Bir kürenin yüzey alanı, kürenin en büyük dairesinin alanının 4 katıdır.
O hâlde kürenin en büyük dairesinin alanı πr2 olduğundan kürenin yüzey alanı A = 4πr² olur.

Örnek: Yarıçapı 2 birim olan kürenin yüzey alanını ve en büyük dairesinin alanını bulunuz.

Cevap: Kürenin yarıçapı r = 2 olduğundan
kürenin en büyük dairesinin alanı π.r² = π.2² = 4π birimkare,
kürenin yüzey alanı 4π.r² = 4π.2² = 16π birimkare olur.

 

Kürenin Hacmi

Kürenin hacmi; ​\( V = \displaystyle\frac{4πr^3}{3} \ tür. \)

 

Örnek: Yarıçapı 3 birim olan bir kürenin hacmini bulunuz.

Cevap: Kürenin hacmi ​\( V = \displaystyle\frac{4π.3^3}{3} = \frac{4π.27}{3} = 36π \ birimküp \ olur. \)