12.Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları 2020 2021

12.sınıf matematik ders kitabı cevapları 2020 2021 eğitim yılı için  MEB Yayınları ve Tutku Yayınlarına ait kitaplar derslerde işlenmektedir. Ders kitaplarına ait soruların cevaplarına aşağıdaki bağlantı adreslerinden erişebilirsiniz.

12. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Meb Yayınları

12. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Tutku Yayınları

Yukarıda paylaştığımız bağlantı adreslerinde kitaptaki soruların cevapları sıralı olarak yayınlanmıştır. Ayrıca sitemizde sayfa sayfa cevaplarda bulunmaktadır. Eksik gördüğünüz bir soru olursa yorum kısmından soruyu paylaşabilirseniz öğretmenlerimiz kısa süre içerisinde sorunuzu detaylıca cevaplandıracaklardır.

Aşağıda, kitaptaki soruların çözümlerinin yer aldığı örnek sorular paylaşılmıştır.

Soru: f(x) = log5 ((3x – 5)/(x+1)) fonksiyonu veriliyor. f-1 (1) değerini bulunuz.

Cevap: f(a) = b  den  f-1 (b) = a olur.

Buna durumda

f-1 ((3x – 5)/(x+1)) = x

51 = (3x-5)/(x+1) olur.

5x+5 = 3x-5

2x = -10

x=-5 çıkar

f-1 (1) = -5 olarak buluruz.

 

Soru:  log 2 = m ve log 3 = n olduğuna göre log 75 i m ve n türünden yazınız.

Cevap: log 75 = log 3.25

= log 3 + log 25

= log 3 + log 100/4

= log 3 + log 100 – log 4

= log 3 + 2 + 2.log 2

= n + 2  -2m olarak sonucu buluruz.

 

Soru: log12 4 = x olduğuna göre log16 108 i x türünden yazınız.

Cevap: Aşağıdaki şekilde çözümü ağlayabiliriz arkadaşlar.

 

Soru: Aşağıdaki ifadelerden bir dizinin genel terimi olabileceklerin başına “✓” sembolü, olmayanların başına “x” sembolü koyunuz.

Cevap: Aşağıdaki çözümleriyle beraber görebilirsiniz arkadaşlar.

 

Soru: Bir (an) dizisinde, ∀ n ∈ Z+ için a n + 1 = an + 2 + ve a5 = 9 olduğuna göre a20 kaçtır?

Cevap: Çözümü aşağıdaki biçimde yapabiliriz arkadaşlar.

(19 – 5) + 1 = 15 tane 2 vardır.

 

Soru: Bir (an) dizisinde, ∀ n ∈ Z+ için a n  = an – 1 +2n + ve a3 = 6 olduğuna göre a20 kaçtır?

Cevap: Çözümü aşağıdaki biçimde yapabiliriz arkadaşlar.

a20 = 6 + 2.(210 – 6)

a20 = 6 + 2.204

a20 = 6 + 408

a20 = 414 olarak buluruz.

 

Soru: Genel terimi a n  = (4n-1)/(bn+5)  olan dizi, b nin hangi değeri için sabit dizidir?

Cevap: 4/b = -1/5

-b = 20 den

b= -20 olarak buluruz.

12. Sınıf Çemberin Analitik İncelenmesi Çözümlü Sorular

12. Sınıf Matematik Analitik Geometri Çemberin Analitik İncelenmesi Çözümlü Soruların, Problemlerin olacağı bu yazımızda çözümlü örneklerle birlikte konuyu özetledik arkadaşlar. Sorulara geçmeden önce 12. Sınıf Çemberin Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı yazımızıda inceleyebilirsiniz.

Soru 1: Merkezi M(-3 , 2) ve yarıçapı r = 5 birim olan bir çember veriliyor. Buna göre;
a) Çemberin standart denklemini bulunuz.
b) P(2 , k) noktası çember üzerinde ise k değerini bulunuz.

Cevap: a) Çemberin standart denklemi

(2+3)² + (k-2)² =25  (x+3)² + (y-2)²  = 25 olur.

b) P(2 , k) noktası çember üzerinde olduğundan çember denklemini sağlar. Denklemde x yerine 2 ve y yerine k yazılırsa;

(2+3)² + (k-2)² =25
25 + (k-2)² =25
(k-2)² =0
k = 2 olarak buluruz.

 

Soru 2: Merkezi M(2 , – 5) olan ve P(1, – 2) noktasından geçen çemberin standart denklemini bulunuz.

Cevap: Çemberin merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklık, çemberin yarıçapını verir.

\( r=|MP|=\sqrt[]{(2-1)^2 +(-5-(-2))^2} = \sqrt[]{1+9} = \sqrt[]{10} \)​ birim bulunur. Böylece merkezi M(2,-5) ve yarıçapı r = ​\( \sqrt[]{10} \)​ birim olan çemberin standart denklemi;

(x-2)² + (y-(-5))² = ​\( (\sqrt[]{10})^2 \)​ ⇒ (x-2)² + (y+5)² = 10 buluruz.

 

Soru 3: Merkezi M(2 , 3) ve yarıçapı r = 4 birim olan çemberin standart denklemini bulunuz.

Cevap: Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r birim olan çemberin standart denklemi (x – a)² + (y-b)²  = r² olduğundan merkezi M(2 , 3) ve yarıçap uzunluğu r = 4 birim olan çemberin standart denklemi

(x-2)² + (y-3)²  = 4²  ⇒    (x-2)² + (y-3)²  = 16 olarak bulunur.

 

Soru 4: Merkezi M(-3 , 2) olan çember A noktasında x eksenine teğettir. Bu çemberin standart denklemini bulunuz.

Cevap: |MA| = r olup r = 2 birim bulunur.

Merkezi M(-3 , 2) ve yarıçapı r = 2 birim olan çemberin standart denklemi

(x-(-3))² + (y-2)² = 2² ⇒ (x+3)² + (y-2)² = 4 olarak buluruz.

 

Soru 5: x² + y² -x +2y + 5 = 0 denkleminin bir çember belirtip belirtmediğini bulunuz.

Cevap: x² + y² -x +2y + 5 = 0 denkleminde D =-1, E = 2 ve F = 5 olduğundan

D² + E² -4.F = (-1)² + 2² -4.5
= 1 + 4 -20
= -15 olur.

D² + E² -4.F ifadesi negatif olduğundan verilen denklem bir çember belirtmez.

 

Soru 6: 4x + 3y + 14 = 0 dogrusu ile x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 çemberinin birbirine göre durumlarını belirleyiniz.

Cevap: x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 çemberinin

merkezi ​\( M(-\displaystyle\frac{4}{2},-\frac{(-6)}{2})=M(-2,3) \)

yarıçapı  ​\( r=\displaystyle\frac{1}{2}.\sqrt[]{16+36-4.4} = 3 \ birim \ olur. \)

M(-2 , 3) noktasının 4x+3y+14 = 0 doğrusuna olan uzaklığı d birim olsun.

\( d = \displaystyle\frac{|4.(-2)+3.3+14|}{\sqrt[]{4^2 +3^2}} = \frac{|15|}{5} = 3 \ birim \ bulunur. \)

d = r olduğundan doğru çembere teğettir.

 

Soru 7:  4x + 3y + 24 = 0 dogrusu ile x² + y² + 4x – 6y + 9 = 0 çemberinin birbirine göre durumlarını belirleyiniz.

Cevap: x² + y² + 4x – 6y + 9 = 0 çemberinin

merkezi ​\( M(-\displaystyle\frac{4}{2},-\frac{(-6)}{2})=M(-2,3) \)

yarıçapı  ​\( r=\displaystyle\frac{1}{2}.\sqrt[]{16+36-4.9} = 2 \ birim \ olur. \)

M(-2 , 3) noktasının 4x+3y+24 = 0 doğrusuna olan uzaklığı d birim olsun.

\( d = \displaystyle\frac{|4.(-2)+3.3+24|}{\sqrt[]{4^2 +3^2}} = \frac{|25|}{5} = 5 \ birim \ bulunur. \)

5 > 2 ⇒ d > r olduğundan doğru çemberi kesmez.

 

Soru 8: Denklemi y = x-1 olan doğru ile x² + y² + 4x + 6y – 5 = 0 çemberinin varsa kesim noktalarını bulunuz.

Cevap:  x² + y² + 4x + 6y – 5 = 0 çember denkleminde y yerine x-1 yazılırsa

x² + (x-1)² + 4x + 6(x-1) – 5 = 0
x² + x² -2x +1 + 4x + 6x – 6 – 5 = 0
2x² + 8x – 10 = 0
x² + 4x – 5 = 0 denklemi elde edilir.

a = 1, b = 4 ve c =-5 olur. Δ = b² – 4ac = 16 – 4.1.(-5) = 36 > 0 olduğundan doğru çemberi iki noktada kesmektedir.

x² + 4x – 5 = 0 ⇒ (x+5).(x-1) = 0
⇒ x = 1 veya x = -5 bulunur.

Bu değerler kesim noktalarının apsisleri olup ordinatları ise;

x = -5 ise y = -5 – 1 = -6 olur.
x = 1 ise y = 1 – 1 = 0 olur.

O hâlde çember ile doğrunun kesim noktaları (-5 ,-6) ve (1, 0) olur.

12. Sınıf Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri

12. Sınıf Matematik Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ile ilgili konu anlatımı ve çözümlü soruları paylaşacağımız yazımıza hoş geldiniz sevgili arkadaşlar.

Logaritmanın Genel olarak kuralları aşağıdaki gibidir arkadaşlar;

  • logax logaritma a tabanında x şeklinde okunur.
  • Logaritma, üstel fonksiyonun tersidir. Yani y = logax ⇔ x = ay olur.
  • Logaritmanın tabanı ve üssü her zaman 1 den büyük ve pozitif olmalıdır.
  • Logaritmanın tabanı 1 olamaz. Yani a ≠ 1 dir.

Şİmdi de logaritmanın genel formüllerinden bahsedelim.

  • loga(x.y) = logax + logay şeklinde açılımı olur.
  • loga(x/y) = logax – logay şeklinde açılımı olur.
  • logaa = 1 olur her zaman.

 

  • loga1 = 0 olur her zaman.
  • alogbc = clogba      (Burada dikkat edereniz a ile c yer değiştiriyor.)
  • alogax = xlogaa = 1 olur.
  • logab = 1 / logba (Burada dikkat edereniz a ile b yer değiştiriyor.)

Soru: Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz

a) log2 128            b) log3 81           c) log1/3 27         ç) log5 625

Cevap: Tüm şıkları sırasıyla yapacak olursak arkadaşlar.

a) log2 128  = x = 7 olur.

2x = 128 den

x=7 olarak buluruz.

b) log3 81 = x = 4 olur.

3x = 81 den

x=4 olarak buluruz.

c) log1/3 27 = x = -3 olur

(1/3)x = 27

3-x = 33

x = -3 olarak buluruz.

ç) log5 625 = x = -4 olur

5x = 1/625 = 1/54

5x = 5-4

x = -4 olarak buluruz.

 

Soru: f : (-1, ∞) → R, f(x) = log3 (x + 1) fonksiyonunun tersini bulunuz.

Cevap: y = log3 (x + 1)

x + 1 = 3y

x = 3y -1

f-1 (x) = 3x -1 olarak fonksiyonun tersini bulmuş oluruz.

 

Soru:

  fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

Cevap: Aşağıdaki biçimde çözümleyebiliriz arkadaşlar.

Buradan da Çözüm kümemiz Ç = (2,4) olur.

 

Soru: f(x) = log(x+1) (25 – x)2 fonksiyonunu tanımlı yapan x tamsayılarının toplamını bulunuz.

Cevap: Aşağıdaki biçimde çözümleyebiliriz arkadaşlar.

Tanımlı yapan x tam sayıları { 1,2,3, …. 23, 24, 26, …. } dır.

Toplam değerde bulunamaz arkadaşlar.

 

Soru: f(x) = log5 ((3x – 5)/(x+1)) fonksiyonu veriliyor. f-1 (1) değerini bulunuz.

Cevap: f(a) = b  den  f-1 (b) = a olur.

Buna durumda

f-1 ((3x – 5)/(x+1)) = x

51 = (3x-5)/(x+1) olur.

5x+5 = 3x-5

2x = -10

x=-5 çıkar

f-1 (1) = -5 olarak buluruz.

 

Soru:  log 2 = m ve log 3 = n olduğuna göre log 75 i m ve n türünden yazınız.

Cevap: log 75 = log 3.25

= log 3 + log 25

= log 3 + log 100/4

= log 3 + log 100 – log 4

= log 3 + 2 + 2.log 2

= n + 2  -2m olarak sonucu buluruz.

12. Sınıf Belirsiz ve Belirli İntegral Çözümlü Soruları

12. Sınıf Matematik Belirsiz ve Belirli İntegral Çözümlü Soruların, problemlerin ve testlerin olacağı bu yazımızda integral ile ilgili çözümlü örnekler paylaşacağız. Sorulara geçmeden önce 12. Sınıf Belirsiz  İntegral Konu Anlatımı ve 12. Sınıf Belirli İntegral Konu Anlatımı yazılarımızı inceleyebilirsiniz.

 

Soru 1:\( \int\mathrm (f(x)+3x^2+x)dx=x.f(x) \)​olduğuna göre f'(2) değerini bulunuz.

Cevap: Verilen eşitliğe göre f(x) + 3x² + x ifadesinin integrali x.f(x) olduğundan x.f(x) ifadesinin türevi f(x) + 3x² + x olur.

(x.f(x))’ = f(x) + 3x² + x ⇒ 1.f(x) + x.f'(x) = f(x) + 3x² + x
f(x) + x.f'(x) = f(x) + 3x² + x
x.f'(x) = x(3x + 1)
f'(x) = 3x + 1
⇒ f'(2) = 7 olarak buluruz.

 

Soru 2: ​​\( f(x)=\int\mathrm (2x^2-8x+3)dx \)​ ​olduğuna göre f(x) fonksiyonunun ekstremum noktalarının apsisleri toplamını bulunuz.

Cevap: ​\( f(x)=\int\mathrm (2x^2-8x+3)dx \)​ ⇒ f'(x) = 2x² -8x + 3 olur.

f'(x) = 0 ⇒ 2x² -8x + 3 denkleminin diskriminantı Δ = b² -4ac
= (-8)² – 4.2.3
= 40 olur.

Denklemin diskriminantı pozitif olduğundan bu denklemin x1 ve x2 gibi iki farklı gerçek kökü vardır. f'(x) in işaret tablosu incelenirse x1 ve x2 köklerinin yerel ekstremum noktalarının apsisleri olduğu görülür.

Buna göre f(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamı 2x² -8x + 3 = 0 denkleminin kökler toplamıdır. Bu toplam;

x1 + x2 = ​\( -\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4 \ buluruz. \)

 

Soru 3: ​\( \int\mathrm x^5dx \)​ integrallerin eşitlerini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm x^5dx=\frac{x^{5+1}}{5+1}+c=\frac{x^6}{6}+c \ buluruz. \)

 

Soru 4: ​\( \displaystyle\int\mathrm x\sqrt[]{x}dx \)​integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm x\sqrt[]{x}dx = \int\mathrm x.x^{\frac{1}{2}}dx=\int\mathrm x^{\frac{3}{2}}dx \)

\( \displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+c \)​ ⇒ ​\( \displaystyle\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+c \)

\( \displaystyle\frac{2\sqrt[]{x^5}}{5}+c \)​⇒ ​\( \displaystyle\frac{2x^2\sqrt[]{x}}{5}+c \ buluruz. \)

 

Soru 5: ​\( \displaystyle\int\mathrm 3.x^4dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm 3.x^4dx= 3.\int\mathrm x^4dx \)

\( \displaystyle3.\frac{x^{5}}{5}+c \)​ ⇒ ​\( \displaystyle\frac{3x^{5}}{5}+c \ buluruz. \)

 

Soru 6: ​\( \displaystyle\int\mathrm (4x^3-3x^2)dx \)​integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\mathrm (4x^3-3x^2)dx= \int\mathrm 4x^3dx-\int\mathrm 3x^2dx \)

\( \displaystyle4.\int\mathrm x^3dx-3.\int\mathrm x^2dx \)

\( \displaystyle4.\frac{x^4}{4}+c_1-3.\frac{x^3}{3}+c_2 \)

\( x^4-x^3+c_1+c_2 \)​ ⇒ ​\( x^4-x^3+c \ olur. \)

 

Soru 7: f(x) = x² – x fonksiyonunun diferansiyelini bulunuz.

Cevap: d(f(x)) = f'(x).dx ⇒ d(f(x)) = (2x – 1).dx bulunur.

 

Soru 8:\( \displaystyle\int\mathrm (x-1)^5dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: x – 1 = u             ( x – 1 = u dönüşümü yapılır.)
dx = du                             (Her iki tarafın diferansiyeli alınır.)

\( \displaystyle\int\mathrm (x-1)^5dx= \int\mathrm u^5du \)​ (Dönüşüm ve diferansiyel verilen integralde yerine yazılır.)

\( =\displaystyle\frac{u^6}{6}+c \)​ (İntegral alınır.)

\( =\displaystyle\frac{(x-1)^6}{6}+c \)​  (u yerine eşiti olan x – 1 yazılır.)

 

Soru 9: ​\( \displaystyle\int\limits_2^2\mathrm x^2(x^2+1)^5dx \)​integralinin değerini bulunuz.

Cevap: Belirli integralde alt ve üst sınır birbirine eşit olduğundan integralin değeri 0 olarak bulunur.

\( \displaystyle\int\limits_2^2\mathrm x^2(x^2+1)^5dx=0 \ olur. \)

 

Soru 10: \( \displaystyle\int\limits_1^2\mathrm (x-1)dx \)​ integralinin sınırlarının yerlerini değiştirerek elde edilecek olan integrali yazınız.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_1^2\mathrm (x-1)dx=-\int\limits_2^1\mathrm (x-1)dx \)​ olur.

 

Soru 11: \( \displaystyle\int\limits_1^4\mathrm (x^2-1)dx \)​ integralini iki

integralin toplamı olarak ifade ediniz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_1^4\mathrm (x^2-1)dx =\int\limits_1^2\mathrm (x^2-1)dx +\int\limits_2^4\mathrm (x^2-1)dx =\int\limits_1^3\mathrm (x^2-1)dx +\int\limits_3^4\mathrm (x^2-1)dx \)​ vb.  biçimde ifade edilebilir.

 

Soru 12: ​\( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (5x^2-5)dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (5x^2-5)dx=5.\int\limits_2^3\mathrm (x^2-1)dx \)​ olur.

 

Soru 13: \( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (x^3+x^2-x)dx \)​ integralinin eşitini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_2^3\mathrm (x^3+x^2-x)dx=\int\limits_2^3\mathrm x^3dx+\int\limits_2^3\mathrm x^2dx-\int\limits_2^3\mathrm xdx \)​ olur.

 

Soru 14: Aşağıdaki biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonu veriliyor. Buna göre ​\( \displaystyle\int\limits_{-2}^1\mathrm f(x)dx \)

\( f(x) = \begin{cases} 3x^2-x & \quad \text{x<-1 } \text{ise }\\ 2x+3 & \quad \text{x≥-1 } \text{ise} \end{cases} \)​ integralinin değerini bulunuz.

Cevap: ​\( \displaystyle\int\limits_{-2}^1\mathrm f(x)dx=\int\limits_{-2}^{-1}\mathrm (3x^2-x)dx+\int\limits_{-1}^1\mathrm (2x+3)dx \)

\( \displaystyle\left.(x^3-\frac{x^2}{2})\right|_{-2}^{-1}+\left.(x^2+3x)\right|_{-1}^{1} \)

=[​\( \displaystyle((-1)^3-\frac{(-1)^2}{2})-((-2)^3-\frac{(-2)^2}{2}) \)​]+[​\( (1^2+3.1)-((-1)^2+3.(-1)) \)​]

=​\( [\displaystyle(-1-\frac{1}{2})-(-8-2)]+[4-(1-3)] \)

=​\( \displaystyle(-\frac{3}{2}+10)+(4+2) \)

\( \displaystyle\frac{17}{2}+6 = \frac{29}{2} \ buluruz. \)

12. Sınıf Çemberin Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı

12. Sınıf Matematik Analitik Geometri Çemberin Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımızda çözümlü örneklerle birlikte konuyu özetledik arkadaşlar. Konuyu pekiştirmek için 12. Sınıf Çemberin Analitik İncelenmesi Çözümlü Sorular yazımızıda inceleyebilirsiniz.

Merkezi ve Yarıçapı Verilen Çemberin Denklemi

Analitik düzlemde M(a ,b) merkezli ve r yarıçaplı çember üzerinde bir P(x , y) noktası alınırsa M(a ,b) ile P(x , y) noktaları arasındaki uzaklık;

​\( |MP|=\sqrt[]{(x-a)^2 +(y-b)^2} \)​ olur. |MP|=r olduğundan;

​\( r=\sqrt[]{(x-a)^2 +(y-b)^2} \)​ bulunur.

Bu ifadenin her iki tarafının karesi alınarak;
(x-a)² + (y-b)² = r² denklemi elde edilir.

(x-a)² + (y-b)²  = r² denklemine merkezi M(a ,b) ve yarıçapı r birim olan çemberin standart denklemi denir. Çember üzerindeki bir P(x , y) noktası çemberin denklemini sağlar.

 

Örnek: Merkezi M(2 , 3) ve yarıçapı r = 4 birim olan çemberin standart denklemini bulunuz.

Cevap: Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r birim olan çemberin standart denklemi (x – a)² + (y-b)²  = r² olduğundan merkezi M(2 , 3) ve yarıçap uzunluğu r = 4 birim olan çemberin standart denklemi

(x-2)² + (y-3)²  = 4²  ⇒    (x-2)² + (y-3)²  = 16 olarak bulunur.

 

Merkezi Orijinde Olan Çemberin Denklemi

Merkezi orijinde ve yarıçapı r birim olan çemberin standart denklemi

(x-a)² + (y-b)² = r² ⇒ (x-0)² + (y-0)² = r² ⇒ x² + y² = r² olur.

Merkezi x Ekseni Üzerinde Olan Çemberin Denklemi

Merkezi x ekseni üzerinde bulunan bir çemberde merkezin koordinatları M(a , 0) olacaktır. Çemberin yarıçapı r birim ise bu çemberin standart denklemi

(x-a)² + y² = r² olur.

Merkezi y Ekseni Üzerinde Olan Çemberin Denklemi

Merkezi y ekseni üzerinde bulunan bir çemberde merkezin koordinatları M(0,b) olacaktır. Çemberin yarıçapı r birim ise bu çemberin standart denklemi;

x² + (y-b)² = r² olur.

y Eksenine Teğet Olan Çemberin Denklemi

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r birim olan bir çember, y eksenine teğet ise r = |a| olur. Bu durumda çemberin standart denklemi

(x-a)² + (y-b)² = a² olur.

x Eksenine Teğet Olan Çemberin Denklemi

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r birim olan bir çember, x eksenine teğet ise r = |b| olur. Bu durumda çemberin standart denklemi

(x-a)² + (y-b)² = b² olur.

 

Örnek: Merkezi M(-3 , 2) olan çember A noktasında x eksenine teğettir. Bu çemberin standart denklemini bulunuz.

Cevap: |MA| = r olup r = 2 birim bulunur.

Merkezi M(-3 , 2) ve yarıçapı r = 2 birim olan çemberin standart denklemi

(x-(-3))² + (y-2)² = 2² ⇒ (x+3)² + (y-2)² = 4 olarak buluruz.

 

Çemberin Genel Denklemi

Merkezi M(a ,b) ve yarıçapı r birim olan çemberin standart denklemi
(x-a)² + (y-b)² = r² şeklindedir. Bu denklem düzenlenerek
x² + y² -2ax – 2by + a² + b² – r² = 0 olur.
-2a = D, -2b = E ve a² + b² – r² = F alınırsa
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 bulunur. Bu ifadeye çemberin genel denklemi denir.

çemberin merkezi​\( M(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}) \)

Yarıçap: ​\( r=\frac{1}{2}.\sqrt[]{D^2 + E^2 -4.F} \ olur. \)

 

Örnek: x² + y² -x +2y + 5 = 0 denkleminin bir çember belirtip belirtmediğini bulunuz.

Cevap: x² + y² -x +2y + 5 = 0 denkleminde D =-1, E = 2 ve F = 5 olduğundan

D² + E² -4.F = (-1)² + 2² -4.5
= 1 + 4 -20
= -15 olur.

D² + E² -4.F ifadesi negatif olduğundan verilen denklem bir çember belirtmez.

 

Bilgi Bulutu: A(x1 , y1) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı

\( d = \displaystyle\frac{|a.x_1+b.y_1+c|}{\sqrt[]{a^2 +b^2}} \ olur \)

Denklemleri Verilen Doğru ile Çemberin Birbirine Göre Durumları

Doğru ile çemberin birbirine göre durumları, çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığına göre değerlendirilir. Herhangi bir d doğrusu ile merkezi M ve yarıçapı r olan çemberin birbirine göre üç durumu vardır.

|MH| > r ise doğru çemberi kesmez.

 

|MH| = r ise doğru çembere teğettir.

 

|MH| < r se doğru çemberi iki noktada keser.

 

Genel denklemi x² + y² + Dx + Ey + F = 0 olan çember ile y = mx+n doğrusunun ortak çözümü yapılarak doğru ile çemberin birbirine göre durumları incelenir.
Çember denkleminde y yerine mx+n yazılarak ax² + bx + c = 0 biçiminde ikinci
dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin diskriminantı Δ = b² – 4ac olmak üzere;

Δ = b² – 4ac < 0 ise doğru çemberi kesmez.
Δ = b² – 4ac = 0 ise ise doğru çembere teğettir.
Δ = b² – 4ac > 0 ise doğru çemberi iki noktada keser.

 

Örnek: 4x + 3y + 14 = 0 dogrusu ile x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 çemberinin birbirine göre durumlarını belirleyiniz.

Cevap: x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 çemberinin

merkezi ​\( M(-\displaystyle\frac{4}{2},-\frac{(-6)}{2})=M(-2,3) \)

yarıçapı  ​\( r=\displaystyle\frac{1}{2}.\sqrt[]{16+36-4.4} = 3 \ birim \ olur. \)

M(-2 , 3) noktasının 4x+3y+14 = 0 doğrusuna olan uzaklığı d birim olsun.

\( d = \displaystyle\frac{|4.(-2)+3.3+14|}{\sqrt[]{4^2 +3^2}} = \frac{|15|}{5} = 3 \ birim \ bulunur. \)

d = r olduğundan doğru çembere teğettir.

 

Konu anlatımı dersimizin burada sonuna geldik arkadaşlar. Konuyu pekiştirmek için 12. Sınıf Çemberin Analitik İncelenmesi Çözümlü Sorular yazımızı inceleyebilirsiniz.