Benim 63 tane cevizim vardı. Annem bana 7 tane daha ceviz daha verdi.

Soru: Benim 63 tane cevizim vardı. Annem bana 7 tane daha ceviz daha verdi. Ben de tüm cevizlerimi 5 arkadaşımla eşit olarak paylaşmak istedim. Her birimize kaçar ceviz düşer?

Cevap:Annemin verdiği cevizle beraber toplam ceviz miktarım 63+7=70 tane olur. Sonra, tüm cevizlerimi 5 arkadaşımla eşit olarak paylaşırsam;

70÷5=14 ceviz olur. Yani;

Her birimize 14 tane ceviz düşer

Orijin Etrafında Döndürme Formülleri

Orijin Etrafında Döndürme Formülleri ve İspatları ile ilgili tüm formülleri paylaşacağımız yazımıza hoş geldiniz sevgili arkadaşlar.

90, 180, 270 ve 360 dereceler için tüm pozitif ve negatif orjin yönlerin yeni koordinat bilgileri aşağıdaki gibidir arkadaşlar.

Koordinat Derece Yön Yeni Koordinat
(x,y) 90 Saat Yönünde (y,-x)
(x,y) 180 Saat Yönünde (-x,-y)
(x,y) 270 Saat Yönünde (-y,x)
(x,y) 360 Saat Yönünde (x,y)
(x,y) 90 Saat Yönünün Tersi (-y,x)
(x,y) 180 Saat Yönünün Tersi (-x,-y)
(x,y) 270 Saat Yönünün Tersi (y,-x)
(x,y) 360 Saat Yönünün Tersi (x,y)

 

Örnekler;

(-4,-6) saat yönü 90 derece (-6,4) x ve y’ yi yer değiştir ve yeni y nin işaretini değitir.

(-4,-6) saat yönü 180 derece (4,6) sadece x ve y nin işaretlerini değiştir.

(-4,-6) saat yönü 270 derece (6,-4) x ve y’ yi yer değiştir ve yeni x in işaretini değiştir

Yamuk Alan Formülü – İkizkenar ve Dik Yamuk Özellikleri

Yamuk Nedir?, Yamuğun alan ve çevre formülü nasıl hesaplanır? İkizkenar ve Dik Yamuk özellikleri nedir? gibi soruların yanıtlarını paylaşacğımız yazımıza hoş geldiniz arkadaşlar.

Yamuk Nedir? Özellikleri Nelerdir?

En az iki kenarı parelel olan dörtgen yamuk olarak adlandırılır.

  • Yamukta tabanlar birbirine paraleldir. ABCD yamuğunda [ AB ] // [ CD ] dir.
  • Bir yamukta tabanlardan birine ait bir noktadan, diğer tabana inilen dikme yamuğun yüksekliğidir. [DH] ABCD yamuğunun yüksekliğidir.
  • Bir yamukta bir yan kenar ile tabanların oluşturduğu iç açıların toplamı 180° dir.

Aşağıdaki şekildeki ABCD yamuğunda, m(A)+m(D)=180°  ve m(B)+m(C)=180°  dir.

 

Örnek: Aşağıdaki şekilde ABCD yamuk, [ CD ] // [ AB ] dir. Verilenlere göre x ve y nin kaç derece olduğunu bulalım.

Cevap:  m(A)+m(D)=180°  olduğundan,
2 x – 20° + 3 x + 50° = 180° ⇒ 5 x + 30° = 180°
⇒ 5 x = 150°
⇒ x = 30° olur.

m(B)+m(C)=180°  olduğundan,
x + 2y + x = 180° ⇒ 2x + 2y = 180°
⇒ 2 . 30° + 2y = 180°
⇒ 2y = 120°
⇒ y = 60° bulunur.

Orta Taban

Bir yamukta paralel olmayan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.

 

Yamukta Orta Taban Uzunluğu

Bir ABCD yamuğunda orta taban uzunluğu alt ve üst tabanların uzunlukları toplamının yarısıdır.

\( |EF| = \displaystyle\frac{|AB| + |DC|}{2} \)

İkizkenar Yamuk

Paralel olmayan kenarlarının uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

Dik Yamuk

Paralel olmayan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

 

Yamuğun Alanı

Bir yamuğun alanı, taban uzunluklarının toplamı ile tabanlara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(a + c).h}{2} \)

 

Örnek: Yandaki ABCD yamuğunda |AB| = 32 cm, |DC| = 14 cm ve |DH| = 9 cm olduğuna göre bu yamuğun alanını bulunuz.

Cevap: ​\( A= \displaystyle\frac{(a+c).h}{2} \ formülünden \)

\( A=\frac{(32+14).9}{2} \ olur. \)

\( A= \frac{46.9}{2} \ den \ 207 \ cm^2 \ olur. \)

Öklid Teoremi Formülü

Öklid Formülü, Öklid Kuralları, Öklid Algoritması, Öklid Bağıntıı Formülü, Öklit Formülleri, Öklid Teoremi nedir? gibi soruların tüm yanıtlarını bu yazımızda çözümlü örnek sorular ile birlikte paylaşacğaız sevgili arkadaşlar.

Bir dik üçgende dik açının olduğu köşeden karşı kenara indirilen dikme için

1) h² = p ∙ k
2) c² = p ∙ a
3) b² = k ∙ a
Bu eşitliklere Öklid teoremi denir.

Şİmdi de Öklid Teoremi ile ilgili bir kaç örnek soru yapalım.

Örnek:

Yukarıdaki ABC dik üçgeni için m(BAC) = 90° ve |AH| ⊥  |BC| dır.
|AH|= 2√6 birim ve |BH| = 4 birim ise |HC| ve |AC| uzunluklarını bulunuz.

Cevap: Sorunun detaylı çözümünü aşağıda bulabilrisiniz arkadaşlar.

Trigonometrik Yarım Açı Formülleri

Trigonometride “Dönüşüm Formülleri, Ters Dönüşüm Formülleri, İki Yayın Toplamının ve Farkının Oranları, Yarım Açı Formülleri” gibi bazı özel formüller vardır. Bu yazımızda bunlar “Yarım Açı Formülleri”ni bulacaksınız.

YARIM AÇI FORMÜLLERİ

 

Yarım açı formüllerini anlamak için öncelikle trigonometrik oranları bilmek gerekir.

 

 

Yarım açı formülleri trigonometrik toplam – fark formüllerinden türetilir. Bu formüller için buradan yazımıza bakabilirsiniz.

Yarım Açı Formülleri;

1.   sin 2x = 2 sinx. cosx

2.  cos 2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1  = 1 – 2sin2

3.  ​\( tan 2x = \displaystyle\frac{2 tan x}{(1 – tan² x)} = \displaystyle\frac{ 2}{(cot x – tan x)} \)

4.  ​\( cot 2x = \displaystyle\frac{(cot^2 x – 1) }{2 cot x} = \frac{(cot x – tan x )} {2} \)

5. \( cos^2 x = \displaystyle\frac{1 }{2. (1 + cos 2x)} \)

6.  ​\( sin^2 x = \displaystyle\frac{1 }{ 2. (1 – cos 2x)} \)

7.  ​\( tan^2 x = \displaystyle\frac{(1 – cos 2x )}{(1 + cos 2x)} \)

8.  ​\( cot^2 x = \displaystyle\frac{(1 + cos 2x)}{(1 – cos 2x)} \)

9.  ​\( sin (\displaystyle\frac{1}{2}) x = ± \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2.(1 – cos x)}} \)

10. \( cos (\displaystyle\frac{1}{2}) x = ± \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2. (1 + cos x)}} \)

11. \( tan (\displaystyle\frac{1}{2}) x = ± \sqrt{\left(\frac{1 – cos x}{ 1 + cos x }\right)} = \frac{sin x }{ (1 + cos x)} = \frac{(1 – cos x) }{ sin x} \)

 

Örnek; 

 (sin35. cos35)/cos20 işleminin sonucu kaçtır ? 

Çözüm; 

Sorumuzu çözmek için soruda verilen eşitliği sin2x = 2sinx.cosx eşitliğine benzetebiliriz.

(sin35.  cos35)/ cos20 = 2. (sin35. cos35)/ 2.cos20 

= sin(2. 35)/2. sin70

= sin70/ 2. Sin70

= 1/2

 

Örnek; 

(1 + cos2x)/sin2x  ifadesinin en sade biçimi nedir ?

Çözüm; 

cos2x = 2cos²x  – 1  ve sin2x = 2.sinx.cosx olduğuna göre;

(1 + 2cos²x  – 1 )/ 2.sinx.cosx  olur.

2cos²x /2.sinx.cosx  = cos²x/ sinx. cosx = cosx/sinx = cotx

 

Bazı Yarım Açı Formüllerinin Açılımı; 

 

1. sin2x = 2sinx.cosx

sin(x + y) = sinx. cosy + cosx. siny,  eşitliğinde y yerine x yazarsak,

sin(x + x) = sinx. cosx + cosx. sinx

sin2x = 2sinx. cosx olur.

 

2. cos2x = cos2x – sin2x 

I. eşitlik :

cos(x + y) = cosx. cosy – sinx. siny,  eşitliğinde y yerine x yazarsak,

cos(x + x) = cosx.cosx – sinx.sinx

cos2x = cos2x – sin2x

II. eşitlik : 

sin2x = 1 – cos2x olduğundan,

cos2x = cos2x – (1 – cos2x)

cos2x = cos2x – 1 + cos2x =  2cos2x – 1

III. eşitlik : 

cos2x = 1 – sin2x olduğundan,

cos2x = cos2x – sin2x = (1 – sin2x) – sin2x

cos2x = 1 – 2sin2x

 

3. tan 2x = 2 tan x / 1 – tan² x = 2 / cot x – tan x

tan 2x = tan(x + x)

= (tan x + tan x)/(1 – tan x. tan x)

= 2tan x / (1 – tan²x) olur.

 

Yazımız sona erdi arkadaşlar 🙂 Formülleri pekiştireceğiniz sorular çözmek veya konu tekrar yapmak için lütfen aşağıdaki linklere tıklayın.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

YGS Modüler Aritmetik Konu Anlatımı – 9. Sınıf

modüler aritmetik
modüler aritmetik

Bu dersimizde kalan sınıflarını (denklik sınıfları) ve bunların oluşturduğu kümeyi (kalan sınıfları kümesi) öğreneceğiz.

Modüler aritmetiğin özellikleri, Z/m kümesinde toplama ve çarpma işlemi tanımlayarak bu işlemlerin özelliklerini inceleyeceğiz.

.
.

* Kalan Sınıfı

* Denklik Sınıfı

* Modüler Aritmetik

* Z / m

Bankacılık gibi güvenliğin önemli olduğu pek çok alanda, şifre kullanmayı gerektiren diğer sektörlerde sayıların bir sayıya bölümünden elde edilen kalan kullanılır.

Ayrıca gündelik yaşamımızın vazgeçilmezlerinden olan saatlerde de sayıların bir bölümden elde edilen kalanları kullanılır.

Güvenliğin öneli olduğu durumlarda mesajlar anlaşılmamaları için değiştirilir. Bu işleme kriptoloji denir. Bu işlem mesajların uygun olmayan kişilerce okunmasını engeller. Şimdi örnek bir şifreleme yapalım;

kriptoloji
kriptoloji

Yukarıdaki tablodaki gibi her harf bir sayı ile eşlendikten sonra bu sayılara örneğin 19 ekleyelim. Elde ettiğimiz sayının 33 e bölümünden elde edilen kalanı bulalım.

A harfine karşılık olarak 19 elde edilir. Aynı yöntemle T harfine karşılık olarak 09 elde edilir.

şifreleme
şifreleme

İşlem sonunda her harfe karşılık gelen bir sayı bulunur. Böylece başkaları tarafından öğrenilmesi istenmeyen bilgi şifrelenebilir.

.
.

Şifrelenmiş bilgilerin nasıl çözüleceğinin araştırılması işini de sizlere bırakıyoruz.

 

Aynı kalanı veren sayılar aynı renklerle eşlenerek işlemler yapıldığında çok güzel görüntüler ortaya çıkmaktadır. Bu şekilde renklerle yapılan tablolardan bir örnek sunuyoruz sizlere.

.
.

Bir m pozitif tam sayısına bölündüğünde aynı kalanı veren sayıların kümesine kalan sınıfı adı verilir. Örneğin 5 ile bölme yapıldığında sıfır kalan veren sayıların kümesi yani sıfır kalan sınıfını görelim.

kalan sınıfı
kalan sınıfı

Örnek 2: Bir kalanını veren sayılar kümesi yani 1 kalan sınıfı;

kalan sınıfı
kalan sınıfı

Yukarıdaki bu kümelere kalan sınıfı denir.

Z / 5 tam sayıların 5 e bölündüğünde elde edilen kalan sınıflarının kümesini gösterir.

.
.

 

474 sayısı 33 sayısına bölme işlemine göre hangi kalan sınıfının elemanıdır.

– Bölme işlemini yaptığımızda kalanın 12 olduğunu göreceğiz. 474 sayısı 33 e bölme işlemine göre 12 kalan sınıfına aittir.

.
.

 

Sayılar m ye bölündüğünde 1 er kalan verdiğine göre sayıların toplamı da m ye bölündüğünde kalanlarının toplamını kalan olarak verir.

.
.

Yani sayıların toplamı da m modunda denk oldukları sayınların toplamına denk olur.

.
.

Sayılar m ye bölündüğünde bir kalan verir. Sayıların çarpımı da m ye bölündüğünde sayıların kalanlarının çarpımını kalan olarak verir. Yani sayıların çarpımı da m modunda denk oldukları sayıların çarpımına denk olur.

Sayıların toplamıyla kalanların toplamı aynı sonuç verdiğinden kalan sınıfları ile toplamayı ve çarpmayı yapabiliriz. Bu işlemlere modüler aritmetik denir.

Örneğin 3 kalan sınıfı ve 4 kalan sınıfı işlemi… 3 kalan sınıfıyla 4 kalan sınıfının toplanmasını gösterir ve işlemin sonucu 2 kalan sınıfı olur.

modüler aritmetik
modüler aritmetik