2. Sınıf Veri Toplama Ve Değerlendirme Konu Anlatımı

2. Sınıf Matematik Veri Toplama Ve Değerlendirme Soruları, Testleri, Etkinlikleri ve Slaytlarının olacağı bu yazımızda sıklık tablosu, çetele tablosu, ağaç şeması, nesne grafiği, şekil grafiği ile ilgili çözümlü örnekler olacaktır.

Araştırılan bir konu ile ilgili toplanan bilgiye “veri” denir. Verileri tablo ile göstermek, sonuçları daha iyi anlamamızı sağlar.

Bilgi Bulutu: Araştırma sonucunda ulaştığımız sayısal bilgilerin beşerli çizgi grupları halinde gösterilmesiyle çetele tablosu oluşur.

 

Bilgi Bulutu: Çetele tablosundaki çizgilerin toplamının sayılarla gösterilmesiyle
sıklık tablosu oluşur.

 

Bilgi Bulutu: Araştırma sonucunda ulaştığımız bilgileri sınıflandırmak ve bilgiler arasındaki ilişkiyi belirtmek için ağaç şemasından yararlanabiliriz.

 

Bilgi Bulutu: Araştırma sonucunda elde edilen bilgilerin nesnelerle ifade edildiği grafik nesne grafiğidir.

 

Bilgi Bulutu: Nesne grafiğinin farklı şekillerle gösterildiği grafik, şekil grafiğidir.

Konu anlatımı drsimiz burada sona erdi arkadaşlar. 2. Sınıf Veri Toplama Ve Değerlendirme Soruları ve Testleri yazımızı inceleyip konuyu daha da pekiştirebilirsiniz.

7. Sınıf Matematik Dörtgenler Çözümlü Sorular

7. Sınıf Matematik Dörtgenler Çözümlü Soruları, Problemleri ve pdf testlerinin olacağı bu yazımızda dörtgenler, dörtgenlerde alan ile ilgili cevaplı örnek sorular paylaşacağız. Sorular ageçmeden önce dilerseniz 7. Sınıf Matematik Dörtgenler Konu Anlatımı yazımızı inceleyebilirsin.

Soru 1: Aşağıdaki ABCD paralelkenarında m(A) = x ve m(D) = 4x olduğuna göre bu paralelkenarın iç açılarının ölçülerini bulunuz.

Cevap: Paralelkenarda herhangi bir kenarın iki ucundaki açılar bütünler olduğundan,

m(A) + m(D) = x + 4x = 180°
5x = 180°
x = 180° ÷ 5
x = 36°dir.
x = m(A) = 36° olur.

m(D) = 4x
= 4 . 36°
= 144°dir.

Paralelkenarda karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan,
m(A) = m(C) = 36° ve m(D) = m(B) = 144°dir.

 

Soru 2: Aşağıdaki ABCD yamuğunda m(TAB) = 30° ve m(BTC) = 85° olduğuna göre x ve y açılarının ölçülerini bulunuz.

Cevap: m(TAB) = y = 30°dir. (İç ters açılar)
BTC ile DTC bütünler olduğundan,
m(DTC) = m(BTD) – m(BTC)
= 180° – 85°
= 95°dir.

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° olduğundan,
x + y + m(DTC) = 180°
x + 30° + 95° = 180°
x = 180° – 125°
x = 55°dir.

 

Soru 3: Aşağıdaki ABCD paralelkenarında m(ECB) = 110° olduğuna göre bu paralelkenarın iç açılarının ölçülerini bulunuz.

Cevap: m(ECB) = m(ADC) = 110° (Yöndeş açılar)
m(A) + m(D) = 180° (Bütünler açılar)
m(A) + 110° = 180°
m(A) = 70°dir.

Paralelkenarda karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan,
m(A) = m(C) = 70° ve m(D) = m(B) = 110°dir.

 

Soru 4: Aşağıdaki ABCD dikdörtgeninde m(EDC) = 34° olduğuna göre
AEB nın ölçüsünü bulunuz.

Cevap: m(EDC) = m(EBA) = 34°dir (İç ters açılar).
Bir dikdörtgende köşegenler birbirini ortaladığından AEB bir ikizkenar üçgendir. Öyleyse m(EBA) = m(BAE) = 34°dir.

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° olduğundan,
m(EBA) + m(BAE) + m(AEB) = 180°
34° + 34° + m(AEB) = 180°

m(AEB) = 180° – 68°
m(AEB) = 112°dir.

 

Soru 5: Aşağıdaki ABCD eşkenar dörtgeninde m(KAB) = 70° olduğuna göre bu eşkenar dörtgenin iç açılarının ölçülerini bulalım:

Cevap: Bir eşkenar dörtgende köşegenler geçtiği köşenin açıortayı olduğundan,
m(A) = 2 . (KAB)
= 2 . 70°
= 140°dir.

Eşkenar dörtgende herhangi bir kenarın iki ucundaki açılar bütünler olduğundan,
m(A) + m(D) = 180°
140° + m(D) = 180°
m(D) = 180° – 140°
= 40°dir.

Eşkenar dörtgende karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan,
m(C) = m(A) = 140° ve m(B) = m(D) = 40°dir.

 

Soru 6: Aşağıdaki ABCD yamuğunda [DC] // [AB]’dır. Şekilde verilen açı ölçülerinden yararlanarak bu yamuğun iç açılarının ölçülerini bulunuz.

Cevap: Bir yamukta köşeleri bir yan kenarın uç noktaları olan açılar bütünler olduğundan,
3x + 6x = 180° ve 3n + n = 180°dir. Öyleyse,

3x + 6x = 180°
9x = 180°
x = 20°dir. Buradan,
m(A) = 3x
= 3 . 20°
= 60° ve
m(D) = 6x
= 6 . 20°
= 120° bulunur.

3n + n = 180°
4n = 180°
n = 45°dir. Buradan,
m(B) = n
= 45° ve
m(C) = 3n
= 3 . 45°
= 135° bulunur.

 

Soru 7: Aşağıdaki ABCD ikizkenar yamuğunda [AB] // [CD] ve m(B W ) = 52° olduğuna göre bu yamuğun iç açılarının ölçülerini bulalım:

Cevap: İkizkenar yamukta taban açılarının ölçüleri birbirine eşit olduğundan,
m(B) = m(A) = 52°dir.

Bir yamukta köşeleri bir yan kenarın uç noktaları olan açılar bütünler olduğundan,
m(A) + m(D) = 180°
52° + m(D) = 180°
m(D) = 180° – 52°
m(D) = 128°dir.

Öyleyse, m(C) = 128°dir (İkizkenar yamukta taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir.).

 

Soru 8: Aşağıdaki ABCD dik yamuğunda [AB] // [CD], m(CBE) = 116°
olduğuna göre DCB ve ABC açılarının ölçülerini bulunuz.

Cevap: m(CBE) = m(DCB) = 116°dir. (İç ters açılar)
m(ABC) = 180° – m(EBC) (Bütünler açılar)

m(ABC) = 180° – 116°
m(ABC) = 64°dir.

 

Soru 9: Aşağıdaki ABCD paralelkenarında [AF], A nın açıortayı ve m(C) = 48° olduğuna göre DFA nın ölçüsünü bulalım:

Cevap: Paralelkenarda karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan,
m(C) = m(A) = 48°dir.
m(FAB) = m(A) ÷ 2
= 48° ÷ 2
= 24°dir.

m(FAB) = m(DFA) = 24°dir (İç ters açılar).

 

Soru 10: Aşağıdaki ABCD karesinde [AC] köşegen ve m(CEB) = 64° olduğuna
göre EBA nın ölçüsünü bulunuz.

Cevap: Bir karede köşegenler birer açıortay olduğundan,
m(EAB) = 90° ÷ 2
= 45°dir.
m(CEB) + m(BEA) = 180° (Bütünler açılar)
64° + m(BEA) = 180°
m(BEA) = 180° – 64°
= 116°dir.

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° olduğundan,
m(BEA) + m(EAB) + m(EBA) = 180°
116° + 45° + m(EBA) = 180°
m(EBA) = 180° – 161°
= 19°dir.

 

Soru 11: ABCD yamuğunda [AB] // [CD], [AC] ⊥ [BC], |AD| = |DC| ve m(ADC) = 130° olduğuna göre m(ABC) = x’in kaç derece olduğunu bulalım.

Cevap: |AD| = |DC| olduğundan ADC ikizkenar üçgendir.

m(DAC) = m(DCA) = y diyelim.

ADC üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir.
m(DAC) +m(DCA) +m(ADC) = 180°

y + y + 130° = 180°
2y = 180° – 130°
2y = 50°
y = 25° olur.

[AB] // [CD] olduğundan m(DCA) =m(CAB) = 25°dir (iç ters açılar).
ABC dik üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir.

 

Soru 12: ABCD yamuk ve KBCD paralelkenardır. m(DCB) = 120° ve m(DAK) = 60° ise m(ADK) = x’in değeri kaçtır?

Cevap: KBCD paralelkenar olduğundan karşılıklı köşelerdeki açıların ölçüleri eşittir.

m(DCB) =m(BKD) = 120° dir.

AKD açısı ile BKD açısı bütünler olduğundan
m(AKD) +m(BKD) = 180°
m(AKD) + 120° = 180°
m(AKD) = 180° – 120°
m(AKD) = 60° olur.

AKD üçgeninde
m(ADK) +m(AKD) +m(DAK) = 180°
x + 60° + 60° = 180°
x + 120° = 180°
x = 60° dir.
m(ADK) = x = 60° bulunur. Yani AKD üçgeni bir eşkenar üçgendir.

 

Soru 13: ABCD dikdörtgeninde [AC] ve [BD] köşegenler olmak üzere |AO| = (3x + 1) br, |OB| = (x + 7) br ise x değeri kaçtır ?

Cevap: Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir ve köşegenler birbirini ortalar.

|AO| = |BO|
3x + 1 = x + 7
3x – x = 7 – 1
2x = 6
x = 3 bulunur.

 

Soru 14: ABCD bir eşkenar dörtgen, [AC] köşegen, [CE] açıortay, m(BCE) = 16° olduğuna göre m(BEC) = x kaç derecedir?

Cevap: m(BCE) = 16° ise m(ECA) = 16° olur.

Buradan m(BCA) = 2 · 16 = 32° dir.
Eşkenar dörgende köşegen açıortay olduğundan m(BCD) = 2 · 32° = 64° olur.
Eşkenar dörtgende ardışık iki iç açının ölçüsü toplamı 180° olduğundan;
m(ABC) +m(BCD) = 180°
m(ABC) + 64° = 180°
m(ABC) = 180° – 64°
m(ABC) = 116° olur.

EBC üçgeninde
m(BEC) +m(EBC) +m(BCE) = 180°
x + 16° + 116° = 180°
x + 132° = 180°
x = 180° – 132°
x = 48° bulunur.

 

Soru 15: Şekilde ABCD kare, BEC bir eşkenar üçgen, [BD] köşegen olduğuna göre m(BDE) = a kaç derecedir?

Cevap: Karede köşegen aynı zamanda açıortaydır. Bu nedenle;

m(CDB) =m (CBD) = 45° olur.

BEC bir eşkenar üçgendir. Bu nedenle BEC üçgeninin kenarları eş ve bütün açılarının ölçüleri 60° dir. Buna göre |BE| = |EC| = |CD| olur.

Bu durumda CDE ikizkenar üçgendir.

Buradan m(ECD) = 150°, m(CED) = m(EDC) = 15° olur. Bu durumda m(CDB) = 45°olduğundan;

m(CDB) = m(BDE) +m(EDC)
45° = α + 15
45° – 15° = α
α = 30° bulunur.

7. Sınıf Matematik Yamuğun Alanı Konu Anlatımı

Merhabalar arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik dersinin 5. ünitesinde yer alan Yamuğun Alanı konusunu anlatacağız. Bu yazıyla beraber aşağıdaki kavramları daha iyi anlayacağınızı umuyoruz.

  • Yamuğun alanı

YAMUĞUN ALANI

 

•   Yamukta [AB] ⊥ [CH], |AB| = a br, |CD| = c br ve |CH| = h br ise yamuğun alanı;

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(|AB| + |CD|).|CH|}{2} \)

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(a + c).h}{2} \)

olur.

 

Örnek;

ABCD yamuğunda [DH] ⊥ [AB], |AB| = a = 18 cm, |CD| = c = 10 cm ve |DH| = h = 12 cm olduğuna göre A(ABCD)’nın kaç cm²’dir ?

Çözüm;

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(|AB| + |CD|).|DH|}{2} = \displaystyle\frac{(a + c).h}{2} \)

\( = \displaystyle\frac{(18 + 10).12}{2} = \displaystyle\frac{28.12}{2} = 14.12 = 168 ~ cm^2 \)​  olur.

 

Örnek;

ABCD yamuğunda [DH] ⊥ [AB] ve [DH] ⊥ [DC], |DC| = 3 cm, |AB| = 7 cm ve A(ABCD) = 30 cm² ise |DH| = h kaç cm’dir ?

Çözüm;

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(|AB| + |CD|).|DH|}{2} = \displaystyle\frac{(a + c).h}{2} \)​ olduğuna göre;

\( = \displaystyle\frac{(7 + 3).h}{2} = \displaystyle\frac{10.h}{2} = 5.h = 30 ~ cm^2 \)​  olur.

Bu durumda yükseklik h = ​\( \displaystyle\frac{30}{5} = 6 \)​cm bulunur.

 

  Yamuğun alanı, köşelerin birinden geçen bir köşegenle iki farklı üçgensel bölgeye ayrıldığında yamuğu oluşturan üçgenlerin alanlarının toplamına da eşittir.

ABCD yamuğunda [AB] ⊥ [CH], |AB| = a, |CD| = c ve |CH| = h ise;

\( A(ABCD)=A(\displaystyle\stackrel{△}{ABC})+A(\displaystyle\stackrel{△}{CDA}) \)

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{a.h}{2} + \displaystyle\frac{c.h}{2} \)

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(a + c).h}{2} \)

olur.

 

Örnek;

ABCD yamuğunda |AB| = 8 cm, |DC| = 14 cm ve A(ABD) = 24 cm² olduğuna göre A(ABCD)’nın kaç cm²’dir ?

Çözüm;

D noktasından [AB] ⊥ [DH] olacak şekilde [DH]’nı çizelim. ABD üçgeni geniş açılı üçgen olduğundan [AB] kenarına ait yükseklik [DH] olur. [DH], aynı zamanda ABCD yamuğunun da yüksekliğidir.

\( A(ABD) = \displaystyle\frac{|AB|.|DH|}{2} = \displaystyle\frac{8.|DH|}{2} = 24~cm^2 \)

\( \displaystyle{8.|DH|} = \displaystyle{24.2} \)

\( \displaystyle{|DH|} = \displaystyle\frac{24.2}{8} = 6~cm \)​ olur.

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(|AB| + |CD|).|DH|}{2} = \displaystyle\frac{(8 + 14).6}{2} \)

\( = 22.3 = 66~cm^2 \)​ olur.

 

Arkadaşlar dörtgenler konumuz burada bitti 🙂 Ünitenin devamına aşağıdaki linklerden ulaşabilirsiniz.

Çokgenler Konu Anlatımı

Dörtgenler Konu Anlatımı

Eşkenar Dörtgende Alan Konu Anlatımı

Konuyu daha iyi kavrayabilmeniz için aşağıdaki linkten çözümlü sorulara göz atabilirsiniz.

Yamuğun Alanı Çözümlü Sorular

7. Sınıf Matematik Eşkenar Dörtgende Alan Konu Anlatımı

Merhabalar arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik dersinin 5. ünitesinde yer alan Eşkenar Dörtgende Alan konusunu anlatacağız. Bu yazıyla beraber aşağıdaki kavramları daha iyi anlayacağınızı umuyoruz.

  • Eşkenar Dörtgenin Alanı

 

EŞKENAR DÖRTGENİN ALANI

 

Eşkenar dörtgeni paralelkenar gibi düşündüğümüzden alanını paralelkenarın alanı gibi de hesaplayabiliriz.

Eşkenar dörtgenin alanı, taban kenarının uzunluğu ile yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir.

 

\( A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ADC}) = \displaystyle\frac{|DC|.|AH|}{2} = \frac{a.h}{2} \)

\( A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ABC}) = \displaystyle\frac{|AB|.|AH|}{2} = \frac{a.h}{2} \)

\( A(ABCD) = A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ADC}) + A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ABC}) \)

\( = \displaystyle\frac{a.h}{2} + \displaystyle\frac{a.h}{2} = \displaystyle{a.h} \)

\( \displaystyle{A(ABCD) = a.h} \)​ bulunur.

 

 

Örnek;

ABCD eşkenar dörtgeninde [DH] ⊥ [AB], |DH| = 8 cm, |DC| = 10 cm olduğuna göre ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaçtır ?

Çözüm;

ABCD dörtgeni bir eşkenar dörtgen olduğundan
|DC| = |AB| = 10 cm olur.
A(ABCD) = |AB| · |DH| = 10 · 8
A(ABCD) = 80 cm² bulunur.

 

Örnek;

ABCD eşkenar dörtgeninde [EB] ⊥ [AD], |EB| = 5 cm, |BC| = 6 cm olduğuna göre DBC üçgeninin alanı nedir ?

Çözüm;

Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının uzunluğu birbirine eşittir. Bu durumda;

|AD| = |DC| = |CB| = |AB| = 6 cm olduğuna göre eşkenar dörtgenin alanı;

\( A(ABCD) = \displaystyle{|AD|.|BE|} =\displaystyle{6. 5} = \displaystyle{30} \)​ olur.

DB doğrusu ADBC eşkenar dörtgenin alanını 2 eş parçaya böler. Yani DBC üçgeninin alanı eşkenar dörtgenin alanının yarısına eşit olur. Buna göre;

A(DBC) = 30/2 = 15 cm² olarak bulunur.

 

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerin uzunluklarının çarpımının yarısına da eşittir.

|AC| = e,  |BO| = ​\( \displaystyle\frac{f}{2} \)​,  |OD| = ​\( \displaystyle\frac{f}{2} \)​ ise,

\( A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ABC}) = \displaystyle\frac{|AC|.|BO|}{2} = \frac{e.\displaystyle\frac{f}{2}}{2} =\displaystyle\frac{e.f}{4} \)

\( A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ADC}) = \displaystyle\frac{|AC|.|DO|}{2} = \frac{e.\displaystyle\frac{f}{2}}{2} =\displaystyle\frac{e.f}{4} \)

\( A(ABCD) = A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ADC}) + A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ABC}) \)

\( = \displaystyle\frac{e.f}{4} + \displaystyle\frac{e.f}{4} = \displaystyle\frac{e.f}{2} \)

\( A(ABDC) = \displaystyle\frac{e.f}{2} \)​  bulunur.

 

Örnek;

ABCD eşkenar dörtgeninde |BD| = 28 cm ve |AC| = 32 cm olduğuna göre ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaçtır ?

Çözüm;

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{|AC|.|BD|}{2} = \frac{32.28}{2} = 448~ cm^2 \)​ bulunur.

 

Örnek;

ABCD eşkenar dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen, |AE| = 10 cm ve |BE| = 9 cm ise A(ABCD)’nın kaç cm²’dir ?

Çözüm;

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir. Köşegenler birbirini ortaladığından |AE| = |CE| ve |BE| = |DE| olur.

Bu durumda |AC| = |AE| + |CE| = 10 + 10
|AC| = 20 cm olur.

|BD| = |BE| + |DE| = 9 + 9
|BD| = 18 cm olur.

Sonuç olarak;

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{|AC|.|BD|}{2} = \frac{20.18}{2} = 180~cm^2 \)​  bulunur.

 

Arkadaşlar dörtgenler konumuz burada bitti 🙂 Ünitenin devamına aşağıdaki linklerden ulaşabilirsiniz.

Çokgenler Konu Anlatımı

Dörtgenler Konu Anlatımı

Yamuğun Alanı Konu Anlatımı

Konuyu daha iyi kavrayabilmeniz için aşağıdaki linkten çözümlü sorulara göz atabilirsiniz.

Eşkenar Dörtgende Alan Çözümlü Sorular

7. Sınıf Matematik Dörtgenler Konu Anlatımı

Merhabalar arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik dersinin 5. ünitesinde yer alan Dörtgenler konusunu anlatacağız. Bu yazıyla beraber aşağıdaki kavramları daha iyi anlayacağınızı umuyoruz.

  • Kare
  • Yamuk
  • Eşkenar Dörtgen
  • Paralel Kenar
  • Dikdörtgen

DÖRTGENLER

Yamuk

En az bir kenar çifti birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir. Yandaki ABCD dörtgeninde [AB] // [CD] olup bu dörtgen bir yamuktur. Birbirine paralel olan bu kenarlardan [AB]’na yamuğun alt tabanı, [CD]’na yamuğun üst tabanı, [AC] ve [BD]’na ABCD yamuğunun köşegenleri, [AD] ve [BC]’na ise yamuğun yan kenarları denir.

Paralel olmayan yan kenarlarının uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk, paralel olmayan yan kenarlarından biri, alt ve üst taban kenarlarına dik olan yamuğa dik yamuk denir.

Yamuğun Özellikleri

•  Yamuğun alt tabanı üst tabanına paraleldir. [AB] // [CD]
  Bir yamukta bir yan kenarla tabanların oluşturduğu iç açı ölçülerinin toplamı 180º’dir.

m(A) + m(D) = 180º
x + t = 180º

m(B) + m(C) = 180º
y + z = 180º

 

Örnek;

ABCD yamuğunda [AB] // [CD], [AC] ⊥ [BC], |AD| = |DC| ve m(ADC) = 130° olduğuna göre m(ABC) = x’in kaç derece olduğunu bulalım.

Çözüm;

|AD| = |DC| olduğundan ADC ikizkenar üçgendir.
m(DAC) = m(DCA) = y diyelim.

ADC üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir.
m(DAC) +m(DCA) +m(ADC) = 180°

y + y + 130° = 180°
2y = 180° – 130°
2y = 50°
y = 25° olur.

[AB] // [CD] olduğundan m(DCA) =m(CAB) = 25°dir (iç ters açılar).
ABC dik üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir.

Paralelkenar

Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eş olan dörtgenlere paralelkenar denir.

Bir yamuk, karşılıklı kenarları paralel olacak şekilde oluşturulduğunda bir paralelkenar elde edilir. Paralelkenarın da yamuk gibi kenar çiftlerinden en az biri paraleldir. O hâlde paralelkenar özel bir yamuktur.

Paralelkenarın özellikleri

•  Paralelkenarın karşılıklı kenarları paraleldir.
[AB] // [DC] ve [AD] // [BC]

•  Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşittir.
|AB| = |DC| ve |AD| = |BC|

•  Paralelkenarın karşılıklı iç açılarının ölçüleri eşittir.
m(A) = m(C) ve m(B) = m(D)

•  Paralelkenarda ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180° dir.

m(A) + m(B) = 180º
m(B) + m(C) = 180º
m(C) + m(D) = 180º
m(D) + m(A) = 180º

•  Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
|OA| = |OC| = f/2
|OB| = |OD| = e/2

 

Örnek;

ABCD yamuk ve KBCD paralelkenardır. m(DCB) = 120° ve m(DAK) = 60°
ise m(ADK) = x’in değeri kaçtır?

Çözüm;

KBCD paralelkenar olduğundan karşılıklı köşelerdeki açıların ölçüleri eşittir.
m(DCB) =m(BKD) = 120° dir.

AKD açısı ile BKD açısı bütünler olduğundan
m(AKD) +m(BKD) = 180°
m(AKD) + 120° = 180°
m(AKD) = 180° – 120°
m(AKD) = 60° olur.

AKD üçgeninde
m(ADK) +m(AKD) +m(DAK) = 180°
x + 60° + 60° = 180°
x + 120° = 180°
x = 60° dir.
m(ADK) = x = 60° bulunur. Yani AKD üçgeni bir eşkenar üçgendir.

 

Dikdörtgen

İç açılarının her birinin ölçüsü 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir.

Paralelkenar, bütün iç açıları dik açı olacak şekilde oluşturulduğunda bir dikdörtgen elde edilir. Dikdörtgenin de paralelkenar gibi karşılıklı kenarları paralel ve karşılıklı iç açıları eştir. Aynı zamanda köşegenleri de birbirini ortalar.
O hâlde dikdörtgen özel bir paralelkenardır.

Her paralelkenar bir yamuk olduğundan dikdörtgen, aynı zamanda özel bir yamuktur.

Dikdörtgenin özellikleri

•  Dikdörtgenin iç açılarının her birinin ölçüsü 90° dir.
m(A) =m(B) =m(C) =m(D) = 90°

•  Dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
[AB] // [CD] ve [BC] // [AD]

  Dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
|AB| = |CD| = a ve |BC| = |AD| = b

  Dikdörtgenin köşegen uzunlukları eşittir.
|AC| = |BD|

  Dikdörtgenin köşegenleri birbirini ortalar.
|OA| = |OB| = |OC| = |OD|

 

Örnek;

ABCD dikdörtgeninde [AC] ve [BD] köşegenler olmak üzere |AO| = (3x + 1) br, |OB| = (x + 7) br ise x değeri kaçtır ?

Çözüm;

Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir ve köşegenler birbirini ortalar.
|AO| = |BO|
3x + 1 = x + 7
3x – x = 7 – 1
2x = 6
x = 3 bulunur.

Eşkenar Dörtgen

Kenar uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a’dır.

Bir paralelkenar, bütün kenar uzunlukları eşit olacak şekilde oluşturulduğunda bir eşkenar dörtgen elde edilir. Eşkenar dörtgenin de paralelkenar gibi karşılıklı kenarları birbirine paraleldir ve karşılıklı iç açılarının ölçüleri eşittir. Ayrıca eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar.

O hâlde eşkenar dörtgen özel bir paralelkenardır. Her paralelkenar gibi eşkenar dörtgen de özel bir yamuktur.

 

Eşkenar Dörtgenin özellikleri

  Eşkenar dörtgen, paralelkenarın bütün özelliklerini taşır.

  Eşkenar dörtgende karşılıklı kenarlar paraleldir.
[AB] // [CD] ve [BC] // [DA]

  Eşkenar dörtgenin bütün kenar uzunlukları eşittir.
|AB| = |CD| = |BC| = |DA|

•  Eşkenar dörtgenin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
m(A) = m(C) ve m(B) = m(D)

•  Paralelkenarda olduğu gibi eşkenar dörtgende de ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180° dir.

m(A) + m(B) = 180º
m(B) + m(C) = 180º
m(C) + m(D) = 180º
m(D) + m(A) = 180º

•  Eşkenar dörtgenin köşegenleri O noktasında dik kesişir ve birbirlerini iki eşit parçaya ayırır. Bu köşegenler aynı zamanda açıortaydır.

 

[AC] ⊥ [BD]
|OA| = |OC|
|OB| = |OD|

 

 

Örnek;

ABCD bir eşkenar dörtgen, [AC] köşegen, [CE] açıortay, m(BCE) = 16° olduğuna göre m(BEC) = x kaç derecedir?

Çözüm;

m(BCE) = 16° ise m(ECA) = 16° olur.
Buradan m(BCA) = 2 · 16 = 32° dir.
Eşkenar dörgende köşegen açıortay olduğundan m(BCD) = 2 · 32° = 64° olur.
Eşkenar dörtgende ardışık iki iç açının ölçüsü toplamı 180° olduğundan;
m(ABC) +m(BCD) = 180°
m(ABC) + 64° = 180°
m(ABC) = 180° – 64°
m(ABC) = 116° olur.

EBC üçgeninde
m(BEC) +m(EBC) +m(BCE) = 180°
x + 16° + 116° = 180°
x + 132° = 180°
x = 180° – 132°
x = 48° bulunur.

 

Kare

Kenar uzunlukları eşit ve her bir iç açısı 90° olan dikdörtgene kare denir.

Dikdörtgen, bütün kenar uzunlukları eşit olacak şekilde oluşturulduğunda bir kare elde edilir. Karenin de dikdörtgen gibi karşılıklı kenarları paraleldir ve her bir açısı dik açıdır. O hâlde kare özel bir dikdörtgendir. Karenin de eşkenar dörtgen gibi her bir kenarının uzunluğu birbirine eşittir. Köşegenleri dik kesişir ve bu köşegenler birbirini ortalar. O hâlde kare aynı zamanda özel bir eşkenar dörtgendir.

Karenin özellikleri;

•  Karşılıklı kenarları paraleldir.
[AB] // [CD] ve [BC] // [DA]

•  Karenin bütün kenar uzunlukları birbirine eşittir.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a

•  Köşegenler birbirini dik keser ve birbirini ortalar. Ayrıca köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir.
[AC] ⊥ [BD] ve |AK| = |KC| = |KD| = |KB|

•  Köşegenler aynı zamanda açıortaydır.

•  Karenin her bir açısının ölçüsü 90° dir.
m(A) =m(B) =m(C) =m(D) = 90°

 

Örnek;

Şekilde ABCD kare, BEC bir eşkenar üçgen, [BD] köşegen olduğuna göre m(BDE) = a kaç derecedir?

Çözüm;

Karede köşegen aynı zamanda açıortaydır. Bu nedenle;
m(CDB) =m (CBD) = 45° olur.

BEC bir eşkenar üçgendir. Bu nedenle BEC üçgeninin kenarları eş ve bütün açılarının ölçüleri 60° dir. Buna göre |BE| = |EC| = |CD| olur.

Bu durumda CDE ikizkenar üçgendir.

Buradan m(ECD) = 150°, m(CED) = m(EDC) = 15° olur. Bu durumda m(CDB) = 45°olduğundan;

m(CDB) = m(BDE) +m(EDC)
45° = α + 15
45° – 15° = α
α = 30° bulunur.

 

Arkadaşlar dörtgenler konumuz burada bitti 🙂 Ünitenin devamına aşağıdaki linklerden ulaşabilirsiniz.

Çokgenler Konu Anlatımı

Eşkenar Dörtgenin Alanı Konu Anlatımı

Yamuğun Alanı Konu Anlatımı

Konuyu daha iyi kavrayabilmeniz için aşağıdaki linkten çözümlü sorulara göz atabilirsiniz.

Dörtgenler Çözümlü Sorular

4 Sınıf Matematik Veri Toplama Ve Değerlendirme Soruları ve Testi

4 Sınıf Matematik Veri Toplama Ve Değerlendirme Soruları ve Testinin olacağı bu yazımızda, Sütun Grafiğini İnceleme, Sütun Grafiği Oluşturma ve Elde Ettiği Veriyi Sunma ile ilgili problemler ve örnek çözümlü sorular paylaşacağız.

Örnek: Şermin Hanım’ın beş aylık giderleri ile aşağıdaki sütun grafiği oluşturulmuştur. Sütun grafiğini yorumlayalım. Şermin Hanım’ın ağustos ayındaki giderini tahmin edelim.

Cevap: Şermin Hanım’ın giderleri, mart ayında 600 TL, nisan ayında 500 TL, mayıs ayında 400 TL, haziran ayında 700 TL, temmuz ayında 600 TL’dir. Şermin Hanım’ın giderleri 400 TL ile 700 TL arasında değişmektedir.

Şermin Hanım’ın en az gideri mayıs ayında, en çok gideri haziran ayında olmuştur. Şermin Hanım’ın, mart ve temmuz aylarındaki giderleri eşittir. Şermin Hanım’ın ağustos ayındaki gideri, 400 TL ile 700 TL arasında tahmin edilebilir. 600 TL, iyi bir tahmin olur.

 

Örnek: 4/A sınıfındaki öğrenciler, sınıf temsilciliği seçimi yaptılar. Seçim sonuçları ile aşağdıaki sütun grafiğini oluşturdular. Sütun grafiğini yorumlayalım.

Cevap: Sütun grafiğine göre Yeliz, Yunus, Deniz ve Sümeyra olmak üzere dört öğrenci, sınıf temsilciliği seçiminde oy almıştır. Sınıf temsilciliği seçiminde Yeliz 5 oy, Yunus 7 oy, Deniz 10 oy ve Sümeyra 7 oy almıştır. En az oyu Yeliz, en fazla oyu Deniz almıştır. Yunus ile Sümeyra, eşit sayıda oy almışlardır. Alınan oy sayılarını toplayalım.

Sınıf temsilciliği seçiminde toplam 29 oy kullanılmıştır. Sınıf temsilciliği seçimine göre Deniz, diğer adaylardan daha fazla oy alarak sınıf temsilcisi olmuştur.

 

Örnek: Bir gruptaki çocuklara en sevdikleri oyuncak hayvanlar soruldu. Verilen cevaplarla aşağıdaki çetele tablosu oluşturuldu. Çetele tablosuna göre bir nesne grafiği oluşturalım.

Cevap: Çetele tablosuna göre 9 çocuk oyuncaklarından atı, 8 çocuk koyunu, 7 çocuk zürafayı sevmektedir. Çetele tablosundaki verilerle bir nesne grafiği oluşturalım.

Önce nesne grafiğinin başlığını ve eksenlerini oluşturalım. Sonra hayvan adlarını ve çocuk sayılarını yazalım. Son olarak çocuk sayısı kadar hayvan resimlerini uygun kutucuklara yerleştirelim.

 

Örnek: Bir sınıfta, geziye gidilecek yerin belirlenmesi için oylama yapılıyor. Oylama sonuçları yandaki sıklık tablosunda verilmiştir. Tablodaki verileri kullanarak bir şekil grafiği oluşturalım.

Cevap: Sınıftaki 8 öğrenci Safranbolu’ya, 4 öğrenci İstanbul’a, 10 öğrenci Mardin’e gitmek istemektedir. Sıklık tablosundaki verilerle bir şekil grafiği oluşturalım. Önce, grafiğin başlığını ve eksenlerini oluşturalım.

Sonra, yer adlarını ve öğrenci sayılarını yazalım. Son olarak, öğrenci sayıları kadar gülen yüz resimlerini uygun kutucuklara yerleştirelim.

 

Örnek: Gülten’in CD çantasında 4 film, 3 müzik, 5 oyun ve 2 program CD’si vardır. Gülten’in CD çantasındaki CD türleri ve sayılarıyla bir sütun grafiği oluşturalım.

Cevap: Önce, grafiğin başlığını ve eksenlerini oluşturalım. Eksenlerin birer ucuna ok çizelim. Sonra, CD türlerini ve sayılarını yazalım. Son olarak, CD türlerini belirten sayılara uygun biçimde, kareli kâğıttaki grafiğe renkli birim kareleri yerleştirelim.

 

Örnek: Bir oyuncakçıda satılan oyuncak türleri ve sayıları ile yandaki sıklık tablosu oluşturulmuştur. Tablodaki verileri kullanarak bir sütun grafiği oluşturalım.

Cevap: Sıklık tablosuna göre oyuncakçıda 14 oyuncak araba, 8 oyuncak bebek, 10 oyuncak tren ve 6 oyuncak uçak satılmıştır. Öyleyse sütun grafiğinde oyuncak arabayı belirten çubuk 14’ü, bebeği belirten çubuk 8’i, treni belirten çubuk 10’u, uçağı belirten çubuk 6’yı göstermelidir.

Üçgende Benzerlik Çözümlü Soruları

Üçgenlerde Benzerlik Çözümlü Soruları, Problemleri, Örnek Testleri ile ilgili Pdf formatındaki sorularımız genellikle 7. sınıf, 8. sınıf, 9. sınıf, 10. sınıf, 11. sınıf ile tyt, lgs, kpss sınavlarında çokca çıkan bir konudur. Sorulara geçmeden önce dilerseniz üçgende benzerlik konu analatımı dersimizi de inceleyebilirsiniz.

Soru: Aşağıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
AB ⊥ BC
m(CAB) = m(DCB)
|CB| = 6 cm, |DB| = 3 cm, |AD| = x

Cevap: Eşit olarak verilen açılara α diyelim arkadaşlar.

\( tan\ α =\frac{|DB|}{|BC|} = \frac{3}{6} \)

\( tan\ α =\frac{|CB|}{|BA|} = \frac{6}{x+3} \)

Buradan da ​\( \frac{3}{6} = \frac{6}{x+3} ⇒ x=9 \)​ olur.

 

Soru: Aşağıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
AB ⊥ AC
DE ⊥ BC
DE ⊥ DF
|DE| = 6 cm, |BE| = 3 cm, |DF| = 9 cm, |EC| = x

Çözüm: Soruda verilen üçgen üzerindeki aşağıdaki gibi çizimler yapıp alanları tarayalım. Taralı üçgenler için benzerlik kuralını uygularsak;

\( tan\ α =\frac{3}{6} = \frac{6}{x-9}⇒x=21 \ cm \ olur. \)

 

Soru: Aşağıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
AE ⊥ BC
CD ⊥ AB
|DB| = 6 cm,  |BE| = 5 cm,  |EC| = 7 cm, |AD| = x

Çözüm: A ve C açıları birbirine eşit olur arkadaşlar. Bunlara α deyip benzerlik kuralını aşağıdaki gibi yazarsak;

\( sin\ α =\frac{|DB|}{|BC|} = \frac{6}{12} \)

\( sin\ α =\frac{|BE|}{|AB|} = \frac{5}{6+x} \)

\( \frac{6}{12} = \frac{5}{6+x} ⇒ x=4 \ cm \ olarak \ buluruz. \)

 

Soru: Aşağıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
ABCD bir kare
AE ⊥ EF
|EC| = 3 cm, |CF| = 2 cm, |FB| = x

Çözüm: Aşağıdaki taralı alanlardan ve α açılarından yola çıkarak benzerlik kuralını oluşturalım ve soruyu çözümleyelim arkadaşlar.

\( tan\ α = \frac{2}{3} \)

|DE| = 2k, |DA| = 3k

|DA| = |DC| ⇒ 3k = 2k + 3 ⇒ k = 3 cm olur.

x = 3k – 2 = 9 – 2 = 7 cm olarak buluruz.

 

Soru: Aşağıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
m(AED) = m(ABC)
|AD| = 4 cm, |AE| = 6 cm, |EC| = 2 cm, |DB| = x

Çözüm: (AED)  ve (ABC) üçgenlerinin ikişer açıları eşit olduğundan dolayı bu iki üçgen (A.A.) kuralından dolayı benzerdir.

(AED)  ∼ (ABC) benzer üçgenler olduğuna göre;

\( \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AC|} ⇒ \frac{6}{4+x} = \frac{4}{8} \ olur. \)

Buradan da x = 8 cm olarak buluruz.

 

Soru: Aşağıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
ABC bir eşkenar üçgen
m(DAE) = 120°
|DB| = 8 cm, |CE| = 2 cm, |BC| = x

Çözüm: m(D) = α ve m(DAB) = θ dersek α + θ = 60° olur.

m(CAE) = 60° – θ = α,  m(AEC) = 60° – α = θ

ADB ∼ EAC üçgenleri benzerdir. O halde;

\( \frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|DB|}{|AC|} ⇒ \frac{x}{2} = \frac{8}{x} \ olur. \)

Buradan da x = 4 cm olarak buluruz.

 

Soru: Aşağıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
ABC ve ADE birer eşkenar üçgen
|AB| = 9 cm, |AD| = 8 cm, |AF| = x

Çözüm: m(BAD) = α dersek m(DAF) = 60° – α  ve

m(FAE) = 60° – (60° – α) = α olur.

ABD ∼ AEF üçgenleri benzerdir. O halde;

\( \frac{|AE|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|AF|} ⇒ \frac{9}{8} = \frac{8}{x} \ olur. \)

Buradan da x = 64/9 cm olarak buluruz.

 

Soru: Aşağıdaki şekillerde, ABC ∼ DEF olduğuna göre, x kaç cm dir?

Çözüm:  ABC ∼ DEF üçgenleri benzerdir. O halde;

\( \frac{|AH|}{|DH|} = \frac{|BC|}{|EF|} ⇒ \frac{4}{12} = \frac{2}{x} \ olur. \)

Buradan da x = 6 cm olarak buluruz.

 

Soru: GD // AB
|GD| = 8 cm, |AB| = x
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G noktasıdır.

Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?

Çözüm: Aşağıdaki gibi kenarortay çizelim ve G noktasından dolayı benzerlik kuralını uygulayalım.

\( \frac{|GD|}{|EB|} = \frac{|CG|}{|CE|} ⇒ \frac{8}{x/2} = \frac{2}{3} \ olur. \)

Buradan da x = 24 cm olarak buluruz.

 

Soru: Aşağıdaki şekilde m(AB†C) = m(AC†D), |AB| = 3 cm, |BC| = 2 cm, |AC| = 4 cm, |CD| = 6 cm ve |AD| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.

 

Soru: Aşağıdaki şekilde |AB| = 2|EF|, |BC| = 2|DF|, |AC| = 2|DE|, m(C) = 3a – 15° ve m(D) = 2a olduğuna göre a nın kaç derece olduğunu bulalım.

Cevap: Verilenlere göre üçgenlerin karşılıklı tüm kenarları orantılıdır.
Dolayısıyla ABC ∼ EFD olur (K.K.K. benzerlik kuralı). Benzer üçgenlerde orantılı kenarları gören açılar eş olacağından                                                                                  m(A) = m(E)
m(B) = m(F)
m(C) = m(D) olur.

Buradan m(C) = m(D)
3a – 15° = 2a
3a – 2a = 15°
a = 15° bulunur.

 

Soru: Aşağıdaki şekilde B, C ve D ile D, E ve F noktaları doğrusal, [DF] ⊥ [AB], [AC] ⊥[BD], |AE| = 6 cm, |EC| = 4 cm, |BC| = 5 cm ve |CD| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sayfa 103-104-105-106

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları ve Çözümleri Aydın Yayınları Sayfa 103-104-105-106 için 2018 -2019 – 2020 yeni öğretim yılında çıkmış olan soruları bu yazımızda bulabilirsiniz arkadaşlar.

Soru: A = { 1, 2, 3 } , B = { –1, 0, 1 } ve C = { 6, 7, 8 } kümeleri veriliyor. f : A → B ve g : B → C olmak üzere “ 95.Şekil ” de gösterilen f ve g fonksiyonları doğrusaldır. Buna göre,

a. f ve g fonksiyonlarının kurallarını bulunuz.
b. g o f fonksiyonunun kuralını bulunuz.
c. ( g o f ) ( 2 ) ve ( g o f ) ( 3 ) değerleri kaçtır?
d. ( g o f ) ( a ) = 6 ise a kaçtır?

Cevap: Şıkları sırasıyla cevaplaaycak olursak

a. f ve g fonksiyonlarının kurallarını bulunuz.

f(x) = x-2      g(x) = x+7 olur.

b. g o f fonksiyonunun kuralını bulunuz.

(gof)(x)= x-2+7 = x + 5 olur.

c. ( g o f ) ( 2 ) ve ( g o f ) ( 3 ) değerleri kaçtır?

g(f(2)) = g(0) = 7          (gof)(3) = g(f(3)) = g(1) = 8 olur.

d. ( g o f ) ( a ) = 6 ise a kaçtır?

g(f(a)) = 6         f(a) = -1 den a = 1 olur.

 

Soru: Gerçek sayılarda tanımlanan f ( x ) = 2 x – 3 , g ( x ) = 1 – x ve h ( x ) = 3x + 1 fonksiyonlarını kullanarak aşağıdaki fonksiyonların kurallarını bulunuz.

a. ( f o g ) ( x )            b. ( g o f ) ( x )
c. ( g o h ) ( x )           d. ( h o g ) ( x )
e. ( f o h ) ( x )            f. ( h o f ) ( x )

Cevap:  a. ( f o g ) ( x ) için

2.(1-x) -3 olur ve buradan da -2x -1 olarak buluruz

b. ( g o f ) ( x ) için

1-(2x-3) bu da 1-2x +3 = 4 -2x olur.

c. ( g o h ) ( x ) için

1- (3x +1) = -3x olur.

d. ( h o g ) ( x ) için;

3.(1-x) + 1  = -3x + 4 olur.

e. ( f o h ) ( x ) için

2.(3x + 1) -3 = 6x -1 olur.

f. ( h o f ) ( x ) için

3.(2x-3) +1 = 6x-8 olur.

 

Soru: Gerçek sayılar kümesinde tanımlı  f ve g fonksiyonları için  f ( x ) = 3x – 1 ve (gof) ( x ) = 2 x + 5 olduğuna göre g(x) i bulunuz.

Cevap:  g(f(x)) = 2x + 5

g(3x-1) = 2x + 5

g(x) = 2.(x+1)/3  + 5

g(x) = (2x+2)/3 + 5

g(x) = (2x+17)/3 olur.

 

Soru: Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ( x ) = 5 – 2 x ve g ( x ) = 3 x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre,

a. ( f o g ) ( 2 ) kaçtır?            b. ( g o f ) ( 2 ) kaçtır?

Cevap: a. ( f o g ) ( 2 ) için

( f o g ) ( 2 ) = f(g(2))    buradan g(2) = 3.2 + 1 = 7 olur

=f(7)

=5 – 2.7

=5-14

= -9 olur.

b. ( g o f ) ( 2 ) için

= g(f(2))     buradan f(2) = 5-2.2 olur ve f(2)=1 olur.

= g(1)

=3.1 + 1

= 4 olarak buluruz.

 

Soru: Gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonu için f ( x ) = 3 – 2 x ve ( f o f ) ( a ) = 8 olduğuna göre a kaçtır?

Cevap: f(f(x)) = 3 – 2.(3-2x)

(fof)(x) = 3 -6 + 4x = 4x-3

(fof)(a) = 4a-3=8

4a = 11

a= 11/4 olarak buluruz.