8. Sınıf Standar Sapma Konusu

STANDART SAPMA

Standart sapma, verilerin aritmetik ortalamaya göre nasıl bir yayılım gösterdiğini anlatır.İki veri grubunun aritmetik ortalamaları eşit veya birbirine yakınsa,gruplar hakkında net bir ifade oluşmayabilir.Bu durumda standart sapmasına bakılır.Standart sapma ne kadar küçük çıkarsa o kadar güvenilirdir,tutarlıdır,başarılıdır.

 

Aritmetik ortalama, medyan (ortanca), mod (tepe değer) merkezi eğilim ölçüleridir.

Açıklık, çeyrekler açıklığı, standart sapma merkezi yayılma ölçüleridir.

Tablolar, histogram, çizgi grafiği, sütun grafiği, daire grafiği istatistiksel temsil biçimleridir.

Merkezi eğilim ölçüleri, veri grubunun güvenirliği veya tutarlılığı hakkında net bir sonuç vermez.Bizi yanıltabilir.Ama merkezi yayılma ölçüleri, veri grubu hakkında daha tutarlı ve güvenilir sonuçlar verir.

Veri grubunda açıklığın fazla çıkması standart sapmanın büyük olmasına sebep olur. Veri grubunda açıklığın az çıkması da standart sapmanın küçük olmasına sebep olur.

Standart Sapma Nasıl Hesaplanır?
Standart sapma hesaplanırken izlenecek adımlar, maddeler:
1) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.
2) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
3) Bulunan farkların her birinin karesi alınır ve elde edilen sayılar toplanır.
4) Bu toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve bölümün karekökü bulunur.

Çözümlü Örnek Soru:

Gün 1.Koşucu 2.Koşucu
1 6 9
2 4 4
3 6 6
4 7 6
5 6 3
6 5 5
7 8 8
8 6 2
9 5 10
10 7 7

Yukarıda 2 koşucunun 10 puan üzerinden performansları verilmiştir.Burada hangi koşucunun daha başarılı olduğunu bulalım.

1.Koşucu:

Madde1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6

Madde 2: veri – aritmetik ortalama

6-6=0

4-6=-2

6-6=0

7-6=1

6-6=0

5-6=-1

8-6=2

6-6=0

5-6=-1

7-6=1

Madde 3: farkların karesi toplanır.

0+4+0+1+0+1+4+0+1+1=12

Madde 4: 12 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

12 / 10-1= 12 / 9= 1,3

1,3 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 1,14 olur.

Standart sapma 1. koşucu için yaklaşık 1,14

2.Koşucu:

Madde1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6

Madde 2: veri – aritmetik ortalama

9-6=3

4-6=-2

6-6=0

6-6=0

3-6=-3

5-6=-1

8-6=2

2-6=-4

10-6=4

7-6=1

Madde 3: farkların karesi toplanır.

9+4+0+0+9+1+4+16+16+1=60

Madde 4: 60 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

60 / 10-1= 60 / 9= 6,6

6,6 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 2,57 olur.

Standart sapma 2. koşucu için yaklaşık 2,57

Burada 1.koşucunun standart sapması daha düşük olduğu için tutarlıdır.Yani 1.koşucu daha başarılıdır.

standart_sapma

 

8. Sınıf Üçgenler Konusu

ÜÇGENLER

Bir doğru üzerinde olmayan (doğrusal olmayan) A,B,C gibi üç noktanın birleşiminden oluşan çokgene üçgen denir.

Üçgenin Çeşitleri

1.Kenarlarına Göre Üçgenler

a)Çeşit Kenar Üçgen: Üçgenin kenarlarının hepsi farklıysa bu üçgene “Çeşit Kenar Üçgen” denir.

b)İkiz Kenar Üçgen: Üçgenin kenarlarının iki tanesi eşit olan üçgene “İkiz Kenar Üçgen” denir. Bir ikizkenar üçgenin, taban açıların ölçüleri birbirine eşittir.

c)Eşkenar Üçgen: Üçgenin kenarlarının hepsi eşit olan üçgene “Eşkenar Üçgen” denir. Bir eşkenar üçgenin iç açıları 60º `dir.

2.Açılarına Göre Üçgenler

a)Dar Açılı Üçgen: Üçgenin açılarından her birinin ölçüsü 90º`den küçük olan üçgene “Dar Açılı Üçgen” denir.

b)Geniş Açılı Üçgen: Bir açısı geniş açı olan üçgene “Geniş Açılı Üçgen” denir.

c)Dik Açılı Üçgen: Açılarından birisi dik açı olan üçgene “Dik Açılı Üçgen” denir.

 

Üçgen Çizilebilmesi İçin:

Üç kenar uzunluğu,iki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü veya bir kenarının uzunluğu ile iki açının ölçüsü verilen bir üçgen cetvel, açıölçer ve pergel kullanılarak çizilir.

Bir Üçgenin Yardımcı Elemanları

1) Üçgenin Yüksekliği: Üçgenin bir köşesinden karşı tarafa indirilen, köşe ile kenar arasında kalan dik doğru parçasına “Üçgenin Yüksekliği” denir.İndiği yerde 90 derecelik açı oluşur.”h” ile gösterilir.Yükseklikler dik üçgenlerde dik açının köşesinde, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dışında kesişirler.

2.Üçgenin Kenar Ortayları: Üçgenin bir köşe ile bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına “Üçgenin Kenar Ortayı” denir.Üçgenin iç bölgesinde kalır. “V” ile gösterilir.

3.Üçgenin Açı Ortayı: Üçgenin açılarını iki eş açıya bölen doğru parçasına “Üçgenin Açı Ortayı” denir. ” n ” ile gösterilir.

Bir üçgende kenarortay, kenar orta dikme, açıortaylar ve üçgen dar açılı ise yükseklikler üçgenin içinde noktadaş yani aynı noktadan geçerler.

Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenar uzunluğundan büyük; iki kenar uzunluğunun farkı, üçüncü kenarı uzunluğunda küçüktür.Bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.

Üçgenin Kenar Uzunluklar ve Açıları Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgende büyük açı karşısında uzun kenar, küçük açı karşısında kısa kenar vardır. Dik üçgendeki en uzun kenar 90 derecenin karşısındaki hipotenüstür.Hipotenüs uzunluğu dik kenar uzunluklarından büyüktür.

Üçgenin Açıları Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgendeki iç açıların ölçüleri toplamı 180 derecedir.Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.

Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180º`dir.

Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

ucgenler

kaynak: matematikcifatih.com

 

8. Sınıf Pisagor Bağıntısı Konusu

PİSAGOR BAĞINTISI

Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamına eşittir. Bu bağıntıya (Pythagoras) Pisagor Bağıntısı denir.
Hipotenüs 90 derecenin karşısındaki kenardır. Dik kenarlar ise 90 derecenin oluştuğu kenarlardır.

Kare ve dikdörtgenin köşegenleri, eşkenar ve ikizkenar üçgen yüksekliği bu bağıntıyla bulunur.

pisagor_bagntisi

kaynak: matematikcifatih.com

Sayı Örüntüleri Konusu 8. Sınıf

Örüntü; belirli bir kuralla diziliş anlamına gelir.Bu diziliş bir sayı veya şekil dizilişi olabilir.

Önemli olan şey belirli bir kural ile ilerlemesidir.

Leonardo Fibonacci

Bu konuya girmeden önce, önemli bir örüntünün sahibi olan İtalya doğumlu Leonardo Fibonacci’den bahsetmek gerekir.Fibonacci 13. yüzyılda yaşamıştır.

Leonardi Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 …. şeklinde giden bir diziliş bulmuştur. Bu dizilişe Fibonacci sayı dizilişi adı verilir.

fibonacci sayı dizisinin terimleri nasıl elde edilir ?

Bu dizilişin kuralı şudur: 1. ve 2. sayı toplandığında 3. sayı elde edilir.

2. ve 3. sayı toplandığında 4. sayı elde edilir.

4. ve 5. sayı toplandığında 6. sayı elde edilir ve bu şekilde devam eder gider.

Bu önemli bir diziliştir ve doğada bile karşımıza çıkar. Zaten bu yüzden Fibonacci sayı dizisi önem kazanmıştır.

Örneğin çam kozalaklarının en uçtan arkaya doğru dizilişi bu şekildedir.

Bir kozalak bulun ve toplamlara bir gözatın.

Fibonacci sayıları PASCAL ÜÇGENİ’^nde de karşımıza çıkar.

Peki PASCAL ÜÇGENİ nedir ?

Blaise PASCAL M.S 13. yüzyılda yaşamış fransız bir Matematikçidir ve kendi Soyadı ile anılan sayı dizisi vardır.

Daha doğrusu buna üçgen demek daha doğru olur.

PASCAL, üçgen ile sayılar arasındaki ilişkiyi tam 1653 sayfalık bir kitapta toplamıştır.

PASCAL, üçgeni oluştururken şunları yapmıştır.

1) En üste 1 yazmış.

2) Bir altına da 2 tane 1 yazmış.

3) Bundan sonra ise üstteki sayıları toplayıp bir aşağı yazmıştır. ( Yine en başa ve en sona 1 sayısını koymuştur. )

4) Şekle baktığımızda ise bir üçgen şekli oluşmuştur.

PASCAL üçgeninin ne işe yaradığını ise ileride Özdeşlikler konusunda göreceğiz.

Yukarıda anlattığımız PASCAL üçgeni için aşağıdaki şekli inceleyin.

sayı örüntü 1

En üstteki 0. satır olarak kabul edilir. Sonra 1. satır, 2. satır, 3. satır olarak devam eder gider.

Ok işaretleri ise üstteki sayıların toplanıp alttakini verdiğini göstermektedir.

Size Fibonacci dizisi ile PASCAL üçgeninin ilişkisini gösterelim.

sayı örüntü 2

 

kaynak: kastamonumatematik.com

Yukarıdaki gibi PASCAL üçgenindeki sayıları çapraz toplarsanız 1,2,3,5,8 … sayılarını elde ederiz.

8. Sınıf Özdeşlikler Konusu

Matematikte birçok denklem karşınıza çıkmıştır.Bunlardan bazıları gerçekten özeldir.

  1. Örneğin; x-9=15 cebirsel ifadesini düşünelim.

Bu cebirsel ifadede eşitliğin sol tarafının sağ tarafına eşit çıkması için x yerine 24 yazmalısınız. İsterseniz deneyelim.

  • x yerine 24 yazarsak

x-9=15

24-9=15

15=15

sol taraf sağ tarafa eşit çıktı.

  • x yerine 15 koyalım.

x-9=15

15-9=15

6=15 çıkar.

eşitlik doğru olmadı.

 

Sizler de denerseniz 9 haricinde hiçbir sayı için eşitliğin sağ ve sol tarafı birbirine eşit olmayacaktır.

2. Şimdi ise 2x-14=(x-7).2 cebirsel ifadesine bir bakalım.

  • x yerine 3 koyalım.

2x-14=(x-7).2

2.3-14=(3-7).2

6-14=-4.2

-8=-8 doğru çıktı

  • x yerine 10 koyalım.

2x-14=(x-7).2

2.10-14=(10-7).2

20-14=3.2

6=6 yine sağ taraf sol tarafa eşit çıktı.

Bu şekilde devam ederseniz bütün sayılar için eşitliğin doğru çıktığını göreceksiniz.

İşte;

ikinci türde olduğu gibi; bir cebirsel ifade; bilinmeyenin yerine koyduğumuz her sayı için doğru çıkıyorsa buna; Özdeşlik denir.

8. Sınıf Çarpanlara Ayırma Konusu

Çarpanlarına Ayırma

 

 

Daha önceki dersimizde özdeşlikleri görmüştük.

Şimdiki konumuzda bu özdeşlikleri kullanacağız.

Çarpanlarına ayırma; bize verilen bir cebirsel ifadenin daha kısaltılmış şekilde parçalara ayrılmasıdır.

  • Örneğin 2x-4 ifadesini göz önüne alalım.

2x-4= 2.x-2.2 olarak yazılabilir.

Şimdi; her terimde 2 çarpanı bulunmakta… bunu ortak parantezin dışına alalım. Veya şöyle düşünelim;

Burada bir dağılma özelliği yapılmış.

2 sayısı her iki terime de dağılmış.

Bunun aslı 2.(x-2) imiş ki dağıtılınca 2x-4 elde edilmiş.

işte buradaki 2.(x-2) ifadesini bulurken yaptığımız işleme çarpanlarına ayırma denir.

. Çarpanlarına ayırırken birçok yöntemden faydalanabilirsiniz.

Bunlar;

  1. Ortak çarpan parantezine alma ( yukarıda yaptığımız gibi )
  2. Özdeşliklerden faydalanma.
  3. Baştaki ve sonraki terimden faydalanma

Tekrardan tanımını yapmakta fayda var:

Çarpanlara ayırma dediğimiz zaman aklımıza; verilen cebirsel ifadeyi iki çarpan şeklinde yazmak gelir.

En basiti;

2+8 sayısını 2.(1+4) şeklinde yazabiliriz.

 


Konu: Özdeşlikler

Matematikte birçok denklem karşınıza çıkmıştır.Bunlardan bazıları gerçekten özeldir.

  1. Örneğin; x-9=15 cebirsel ifadesini düşünelim.

Bu cebirsel ifadede eşitliğin sol tarafının sağ tarafına eşit çıkması için x yerine 24 yazmalısınız. deneyecek olursak,

  • x yerine 24 yazarsak

x-9=15

24-9=15

15=15

sol taraf sağ tarafa eşit çıkar.

  • x yerine 15 koyalım.

x-9=15

15-9=15

6=15 çıkar.

eşitlik doğru olmadı.

Sizler de denerseniz 9 haricinde hiçbir sayı için eşitliğin sağ ve sol tarafı birbirine eşit olmaz.

2. Şimdi ise 2x-14=(x-7).2 cebirsel ifadesine bir bakalım.

  • x yerine 3 koyalım.

2x-14=(x-7).2

2.3-14=(3-7).2

6-14=-4.2

-8=-8 doğru çıktı

  • x yerine 10 koyalım.

2x-14=(x-7).2

2.10-14=(10-7).2

20-14=3.2

6=6 yine sağ taraf sol tarafa eşit çıktı.

Bu şekilde devam ederseniz bütün sayılar için eşitliğin doğru çıktığını görürsünüz.

İşte;

ikinci türde olduğu gibi; bir cebirsel ifade; bilinmeyenin yerine koyduğumuz her sayı için doğru çıkıyorsa buna; Özdeşlik denir.

Peki biz bütün özdeşlikleri bilmek zorundamıyız ?

Hayır;

Özdeşliğin ne anlama geldiğini bilin ve şu vereceğimiz bazı özdeşlikleri öğrenin yeter.

Aşağıdaki örneklere bakalım.

özdeşlik ve çarpanlara ayırma

(Yukarıdaki örneklerde ilk bölüm özdeşliklerin formülüdür.

Altındaki kısımda ise her bir özdeşlikle ilgili örnekler verilmişti. )

  • Yukarıdaki 1. örnek, iki tane sayının toplamının karesidir.

Yani; iki sayı toplandıktan sonra karesi alınıyor. Biz bunu farklı şekilde de yazabiliyoruz.

1) bu sayılardan ilkinin karesini alıyoruz

2) birinci sayı ile 2. sayıyı çarpıp 2 katını alıyoruz

3) ikinci sayının karesini alıyoruz.

  • Yukarıdaki 2. örnekte ise, iki tane sayının farkının karesidir.

Bir üstteki örneğe benziyor, sadece aradaki 1. işaret – olacak

  • 3. örnekte ise iki sayının karelerinin farkı alınmış. Dikkat edin, önce kareleri alınıyor, sonra farkları alınıyor. Bu durumda bu cebirsel ifadeyi daha farklı nasıl yazabiliriz ?

Daha farklı yazmak istiyorsak, a ve b sayılarını bir çıkartıp bir toplarız. Sonra ise bunları çarparız.

8. Sınıf Kombinasyon Konusu

KOMBİNASYON

Kombinasyon, bir nesne grubu içerisinden, sıra gözetmeksizin yapılan seçimlerdir.Diğer bir deyişle nesne grubuna karşılık gelen kümenin alt kümeleri olarak da adlandırılır. Çünkü, alt kümelerde sıra önemli değildir. O halde şöyle tanımlanabilir: Bir A kümesinin herhangi bir alt kümesine A kümesinin bir kombinasyonu denir. Örneğin, 24 öğrenci arasından seçeceğiniz 5 öğrenci, öğrencileri seçme sıranız önemli olmadığından bir kombinasyon problemidir.

UYARI : Permütasyonda sıralama yani seçim sırası önemli, kombinasyonda ise seçme yani seçim sırası önemli değildir.

n elemanlı bir kümenin elemanları ile oluşturulacak r elemanlı farklı grupların sayısı n’nin r’li kombinasyonu olarak adlandırılır.

n elemanlı bir kümenin r’li kombinasyonu:
C(n,r)=(n!) / (n-r)!.r!

Örnek Çözümlü Sorular: