2020 LGS Matematik Soruları ve Çözümleri

2020 LGS Matematik Soruları ve Çözümlerinin olacağı bu yazımızda 20 Haziran 2020 tarihinde yapılan LGS sıvavında çıkmış Matematik sorularının detaylıca çözümlerini ve cevap anahtarlarını paylaşacğaız sevgili öğrenciler.

Sınavda ağırlılı olarak 1. dönem konuları ile ilgili sorular çıktı. Malumunuz corona virüsten dolayı 2. dönemde hep uzaktan eğitim şeklinde dersler işlendi. Milli Eğitim Bakanımızda bu doğrultuda soruların ağırlıklı olarak 1. dönem konularından hazırlatmış görünüyor.

Cevap Anahtarı:

Polinomlar Çıkmış Sorular ve Çözümleri

Polinomlar Çıkmış Sorular ve Çözümleri İle ilgili LYS,  ÖSS, TYT,  AYT,  MAT1 sınavlarında çıkmış tüm soruların çözümlerini pdf formatında inceleyebilrisiniz. Polinomlar konusu da genellikle 10. sınıf dersinde işlenmektedir.

(2015 LYS1/MAT)
Soru 1: P(x) ikinci dereceden bir polinom, Q(x) = k sabit bir polinom olmak üzere

Çözüm: Q(x) = k olduğuna göre P(x) = 9 olur.
P(k) + Q(k) = 2.k² + 3

9 + k = 2k² + 3
0 = 2k² -k – 6 (Burayı (2k+3) ve (k-2) olarak ayıralım.)

(2k+3).(k-2)= 0 ⇒ k= ​\( \displaystyle-\frac{3}{2} \)​ ve ya k=2 olur.

Bulduğumuz değerlerin toplamı ise ​\( \displaystyle\frac{1}{2} \)​ olur.

 

(2015 LYS1/MAT)
Soru 2: Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden P(x) polinomu, x² + 4 ile kalansız bölünebilmektedir.

P(2x) polinomunun 2x – 3 ile bölümünden elde edilen kalan 52’dir.
Buna göre, P(2) değeri kaçtır?

A) 20 B)22 C)24 D)26 E)28

Çözüm: P(x)=(x² + 4)(x + a) şeklinde bir polinomdur.

2x – 3 = 0 ⇒ x = ​\( \displaystyle\frac{3}{2} \)​⇒ P(2.x) Buradan x değerini yerine yazarsak P(3) = 52 olur.

P(x)=(x² + 4)(x + a) Burada x yerine 3 yazalım. Çünkü P(3) değerini biliyoruz.
52 = (3² + 4)(3 + a)
52 = 13.(3 + a)
4 = 3 + a ⇒ a = 1 olur.

P(x)=(x² + 4)(x + 1) polinomunda a değerini biliyoruz artık, x = 2 için

P(2) = (4 + 4)(2 + 1) = 8.3 = 24 olarak yanıtı buluruz.

 

(2016 LYS1/MAT)
Soru 3: 

Çözüm: P(x) = (x + 1)²(x² + 1)4

P(x)=(x²+2x+1)((x²)4 + 4. (x²)3 + 6.(x²)2 + 4.(x²)1 + (x²)0)

P(x)=(x²+2x+1)(x8 + 4x6 + 6x4 + 4x² + 1) Buradan ad çözümü çok uzatmamak adına her iki parantesizn çarpımı sonrası sadece x4 olanları yazalım.

x².4x² = 4x4 ile 1.6x4 = 6x4 çarpanları gelir. Bunlarında toplamı 10x4 olur ve böylece x4 lü terimin katsayısını 10 olarak bulmuş oluruz.

 

(2016 LYS1/MAT)
Soru 4:  P(x) = x³ – mx + 1

olmak üzere, P(x – 1) polinomunun x + 1′ e bölümünden kalan ile P(x + 1) polinomunun x – 1′ e bölümünden kalan birbirine eşittir.
Buna göre, m kaçtır?

A) 2 B)4 C)6 D)-1 E)-8

Çözüm:  P(x) = x³ – mx + 1  polinomu için;  P(x – 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalanı bulmak için;

x + 1 = 0 ⇒ x = -1
P(-1-1) = P(-2) buluruz.

P(x + 1) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalanı bulmak için;

x – 1 = 0 ⇒ x = 1
P(1+1) = P(2) buluruz.

P(-2) = P(2) ⇒ (-2)³ – m.(-2) + 1 = 2³ – m.2 + 1 olur.
⇒ -8 + 2m + 1 = 8 – 2m + 1
⇒ 4m = 16 dan m = 4 olarak buluruz.

 

(2016 LYS1/MAT)
Soru 5:  Üçüncü dereceden baş katsayısı 1 olan gerçel katsayılı P(x) polinomu

P(1) = P(3) = P(5) = 7
eşitliklerini sağlıyor.

Buna göre, P(0) değeri kaçtır?

A) -1 B)-4 C)-8 D)4 E)6

Çözüm: P(x), baş katsayısı 1 olan 3. dereceden bir polinom ve
P(1) = P(3) = P(5) = 7 olduğuna göre;

P(x) = 1.(x – 1).(x – 3).(x – 5) + 7
P(0) = 1.(0 – 1).(0 – 3).(0 – 5) + 7
P(0) = (- 1).(- 3).(- 5) + 7 = -15 + 7 = -8 olarak buluruz.

 

(2017 YGS)
Soru 6:  P(x) = (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 9) polinomu
Q(x) = (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 5)
polinomuna bölünüyor

Bu bölümden elde edilen bölüm kaçtır?

A) 10 B)12 C)14 D)16 E)18

Çözüm: P(x) = (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 9) = 9x + ​\( \displaystyle\frac{9.10}{2} \)​ = 9x + 45 olur.

Q(x) = (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 5) = 5x + ​\( \displaystyle\frac{5.6}{2} \)​ = 5x + 15 olur.

5x 15’e bölümünden kalanı bulmak için
5x + 15 = 0’a eşitleriz. ⇒ x = -3 olur.

P(-3) = 9.x + 45 = -27 + 45 = 18 olarak buluruz.

 

(2017 LYS)
Soru 7:  Üçüncü dereceden gerçel katsayılı P(x) polinomunun kökleri -3, -1 ve 2  dir.

P(0) = 12 olduğuna göre x² li terimin katsayısı kaçtır?

A) -4     B)-3     C)-2     D)1    E)2

Çözüm: P(x) = a.(x + 3).(x + 1).(x – 2) olur.
P(0) = 12 ⇒ a.3.1.( -2) = 12 olur.
⇒ -6a = 12 ⇒ a = ​\( \displaystyle\frac{12}{-6} \)​ = -2 olur.

P(x) = -2.(x + 3).(x + 1).(x – 2)
P(x) = -2.(x² + 4x + 3).(x – 2)
x² li terim ( -2).x².( -2)+  ( -2).4x.x = 4x² – 8x² = 4x²

Bu durum da x² li terimin katsayısı 4 tür arkadaşlar.

 

(2017 LYS)
Soru 8:

Çözüm: P( 4) = 0 ve Q(x)’in tüm kökleri P(x)’in de kökü olduğuna göre
P(x) = (x + 4).Q(x) olmalıdır

P(x) = (x + 4).(x² – 2ax + b) = x³ – 2ax² + bx + 4x² – 8ax + 4b
= x³ + (4 – 2a)x² + (b – 8a)x + 4b olur. Burayı da sorudaki P(x) e eşitlersek;
⇒ x³ -ax² – (b +2)x + 4b = x³ + (4 – 2a)x² + (b – 8a)x + 4b olur.

Katsayı eşitliğinden; -a = 4 – 2a olur. Buradan da a=4 olur.
-(b + 2) = b – 8a ⇒ -b – 2 = b – 8.4
-b – 2 = b – 32 ⇒ 2b = 30 ⇒ b = 15 olur.

b – a = 15 – 4 = 11 olarak buluruz.

 

(2017 LYS)
Soru 9: Katsayıları {0, 1, 2, …., 9} kümesinin elemanlarından ve bir kökü ​\( \displaystyle\frac{-2}{3} \)​ olan ikinci dereceden polinomların sayısı kaçtır?

A) 5     B)7     C)8     D)10    E)11

Çözüm: Polinomu P(x) = ax² +  bx + c olarak gösterelim. Polinomun bir kökü ​\( \displaystyle\frac{-2}{3} \)​ olduğuna göre polünomun değeri 0 dır.

0 = ​\( a.\displaystyle(\frac{-2}{3})^2+b.(\frac{-2}{3}) + c \)​ olur.

0 = ​\( \displaystyle\frac{4}{9}.a-\frac{2}{3}.b + c \)​ Paydaları 9 da eşitlersek

4a – 6b + 9c = 0 olur.
9c = 6b – 4a ⇒ 9c = 2(3b-2a) Bu eşitliği sağlayan sayı ikilileri de (4,18), (2,9) ve (0,0) dır arkadaşlar.

c = 4 için 3b – 2a = 18 olur. (b=8, a=3 olur)
c = 2 için 3b – 2a = 9 olur. (b=5,7,9; a=3,6,9 olur)
c = 0 için 3b – 2a = 0 olur. (b=2,4,6; a=3,6,9 olur)

Bu durumda toplam da 7 farklı P(x) polinomu olur.

 

(2018 TYT)
Soru 10: P(x) bir polinom olmak üzere, P(a) = 0 eşitliğini sağlayan a sayısına bu polinomun bir kökü denir.
P(x) ve R(x) polinomları için
P(x) = x² – 1
R(x) = P(P(x) )
eşitlikleri veriliyor.

Çözüm: R(x) = P(P(x) ) olarak verildiğine göre;
R(x) = P (x² – 1) ⇒ R(x) = (x² – 1)² – 1 olur. Buradan da R(x) in köklerini bulacak olursak;

(x² – 1)² – 1 = 0 dan
(x² – 1)² = 1

x² – 1 = 1 için x ± √2 olur. Veya
x² – 1 = – 1 için x = 0 olur. Bu durumda yanıtımı B seçeneğidir.

 

(2018 AYT)
Soru 11: Gerçel katsayılı ve baş katsayısı 1 olan 4. dereceden bir P(x) polinomu her x gerçel sayısı için
P(x) = P(-x) eşitliğini sağlamaktadır.
P(2) = P(3) = 0
olduğuna göre P(1) kaçtır?

A) 12     B)18     C)24     D)30    E)36

Çözüm: P(x) = P(-x) olarak verilmiş ise
P(2) = P(-2) = 0
P(3) = P(-3) = 0 olur

Baş katsayıalrı 1 olarak verilen 4. dereceden bu polinomun katsayıarıda belli olduğuna göre polinomu yazalım.

P(x) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3) olur.
P(1) = (1-2)(1+2)(1-3)(1+3)

=  (-1)(3)(4)(-2) = 24 olarak buluruz.

 

(2019 AYT)
Soru 12: En yüksek dereceli teriminin katsayısı 1 olan dördüncü dereceden bir polinomun köklerinin birer tam sayı olduğu bilinmektedir. Bu polinomun grafiğinin, dik koordinat düzleminde eksenleri kestiği noktalara ait bazı parçaları aşağıda verilmiştir.

Buna göre, bu polinomun katsayıları toplamı kaçtır?

A) 72     B)80     C)84     D)92    E)96

Çözüm: P(x) = (x-4).(x+3).(x²+mx+k) olsun arkadaşlar.

P(0) = 72 = (-4).(3).k ⇒ k = -6 olur.

P(x) = (x-4).(x+3).(x²+mx-6) ⇒ Burayı da çarpanlarına ayırırsak
P(x) = (x-4).(x+3).(x²-x-6)
P(1) = (-3).3.(-6)

P(1) = 72 olarak buluruz.

 

(2019 AYT)
Soru 13: En yüksek dereceli teriminin katsayısı 1 olan ikinci dereceden gerçel katsayılı bir P(x) polinomunun iki farklı kökü P(0) ve P(–1) değerleridir.
Buna göre, P(2) değeri kaçtır?

Çözüm: P(x) = x² + bx + c şeklinde bir polinomdur. Soruda köklerden biri P(0) olarak verilmiş. Bununda değeri P(0) = c olur.

x² + bx + c denkleminde kökler çarpımı ​\( \displaystyle\frac{c}{1} \)​ = c olur

Köklerden biri c ise diğeri kökün değeri 1 olmalıdır. Bize soruda diğer kök değeri P(-1) verilmiş. O halde P(-1) = 1 olur. Polinomda yerine yazarsak;
x² + bx + c ⇒ 1 – b + c ⇒ c=b olur arkadaşlar. Denklemde b yerine c yazarsak;
P(x) = x² + bx + c ⇒ x = 1 köküyse;

P(1) = 1 + c + c = 0 olmalıdır. ⇒ c = ​\( \displaystyle\frac{-1}{2} \)​ olur.

\( P(x) = x^2\displaystyle-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \)​ olur.

\( P(x) = 4-1-\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \)​ olarak buluruz.

Diziler Çıkmış Sorular ve Çözümleri

Diziler Çıkmış Sorular ve Çözümleri İle ilgili LYS,  ÖSS, TYT,  AYT,  MAT2 sınavlarında çıkmış tüm soruların çözümlerini pdf formatında inceleyebilrisiniz. Diziler konusu da genellikle 11. sınıf ve 12. sınıf derslerinde işlenmektedir.

(2009 ÖSS)
Soru 1: 2 ve 162 arasına uygun olan 3 tam sayı yerleştirerek 5 sayıdan oluşan bir geometrik dizi oluşturuluyor.
Bu üç sayının toplamı kaçtır?

A) 78  B) 80  C) 82  D) 86  E) 90

Çözüm: 2 ve 162 sayılarının aralarına 3 terim yerleştirse 5 terimli bir geometrik dizi oluşur. İlk terimi ve sonraki terimleri sırasıyla aşağıdaki gibi olur;

\( a_1=2 \ ​dir. (Birinci\ terim) ​ \\ a_2=2r \ ​dir. (İkinci \ terim) \\ a_3=2r^2 \ ​dir. (üçüncü\ terim) \\ a_4=2r^3 \ ​dir. (Dördüncü\ terim) \\ a_5=2r^4 \ ​dir. (Beşinci\ terim) \)

\( 2r^4 = 162 \ ise\ r^4=81 ⇒ r=3 \ olur. \)

Arada kalan üç sayının toplamı ise;

\( a_2+a_3+a_4=2r+2r^2+2r^3= \)​6+18+54 = 78 olur.

 

(2010 LYS)
Soru 2: \( \displaystyle\sum_{n=0}^{100} 3^n \)​ toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 0  B) 1  C) 2  D) 3  E) 4

Çözüm: ​\( \displaystyle\sum_{n=0}^{100} 3^n=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+3^5…3^{100} \ olur. \)

Yukarıdaki her terimin 5 ile bölümünden kalanlar sırasıyla; 1,3,4,2, 1,3,4,2,1,3,4,2 ……şeklinde devam eder ve ​\( 3^{100} \)​için kalan değeri 1 e denk gelir. Bu durumda doğru yanıtımız B şıkkı 1 dir.

 

(2010 LYS)
Soru 3:

Buna göre ​\( b_4 \)​ kaçtır?

A) -2  B) -1  C) 0  D) 2  E) 3

Çözüm: ​\( b_4= \displaystyle\sum_{k=0}^{4} a_k=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4 \)

= 0 + 1 -2 + 0 + 4 ⇒ 3 olarak yanıtı buluruz.

 

(2011 LYS)
Soru 4:

Çözüm: ​\( a_{k+1}-a_k=-k \)​ olur. O halde k yerine 1 den 8 e kadar olan değeri yazıp sonuçları da alt alta toplarsak;

\( a_2-a_1=-1\\a_3-a_2=-2\\…\\a_8-a_7=-7 \ olur. Hepsini \ toplarsak \)

\( a_8-a_1=-(1+2+…+7)\\a_8-40=-28\ olur. \)

\( Buradan \ da \ a_8=12 \ olarak \ buluruz. \)

 

(2012 LYS)
Soru 5:

Çözüm: ​\( \displaystyle\frac{a_9-a_7}{a_8-4.a_6}=\frac{2^9-1-(2^7-1)}{2^8+1-4.(2^6+1)}=\frac{2^9-2^7}{2^8+1-4.2^6-4} \)

\( =\displaystyle\frac{2^2.2^7-2^7}{2^8-2^8-3}=\frac{3.2^7}{-3}=-2^7 \ olur. \)

 

(2013 LYS)
Soru 6:  n pozitif tam sayısı için n ’nin en büyük tek tam sayı böleni n ile gös teriliyor.

Çözüm: ​\( a_{18} ⇒ 18 \ in \ tam \ bölenleri \ = 1,2,3,6,9 \ ve \ 18 \ dir. \)​ Burada en büyük tek sayı 9 dur arkadaşlar.

9’un 4 ile bölümünden kalan 1 dir. O halde, ​\( a_{18}=9+1=10 \ olur. \)

\( a_{12} ⇒ 12 \ nin \ tam \ bölenleri \ = 1,2,3,4,6 \ ve \ 12 \ dir. \)​ Burada en büyük tek sayı 3 tür arkadaşlar.

3’ün 4 ile bölümünden kalan 3 tür. O halde, ​\( a_{12}=3-1=2 \ olur. \)

Bu durumda; ​\( a_{18}-a_{12}=10-2=8 \)​ olur. Yanıt: D

 

(2013 LYS)
Soru 7:

Çözüm: ​\( a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \ eşitliğinde \ n \ yerine \ 6 \ yazarsak\\a_8=a_7+a_6 ⇒ a_7=a_8-a_6 \ olur. \)

\( a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \ eşitliğinde \ n \ yerine \ 7 \ yazarsak\\a_9=a_8+a_7 \ olur. \ a_7 \ yerinde \ değerini \ yazarsak \)

\( a_9=a_8+a_8-a_6 \\a_9+a_6=2a_8 \)

2.6 = 12 oalrak doğru yanıtı C seçeneği buluruz.

 

(2014 LYS)
Soru 8: Bir geometrik dizinin ilk üç terimi sırasıyla a + 3, a  ve a – 2 olduğuna göre, dördüncü terimi kaçtır?

Çözüm: Ardışık terimler arasındaki oran birbirine eşit olur.

\( \displaystyle\frac{a}{a+3}=\frac{a-2}{a} ⇒ a^2=a^2+a-6 ⇒ a=6 \ olur. \)

Ortak çarpan = ​\( \displaystyle\frac{a}{a+3}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} \ olur. Bu \ durumda; \)

\( a_4=a_1.r^{4-1}=(a+3).r^3=(6+3).(\displaystyle\frac{2}{3})^3 \)

\( \displaystyle9.\frac{8}{27}=\frac{8}{3} \)​ olarak yanıtı C şıkkı buluruz.

 

(2016 LYS)
Soru 9:

Çözüm: ​\( \displaystyle\frac{a_5-a_1}{(a_3)^2-(a_1)^2}=\frac{4}{9}⇒\frac{a_1.r^4-a_1}{(a_1.r^2)^2-(a_1)^2}=\frac{4}{9} \)

\( \displaystyle\frac{a_1.(r^4-1)}{(a_1)^2.r^4-(a_1)^2}=\frac{4}{9} ⇒\frac{a_1.(r^4-1)}{(a_1)^2.(r^4-1)}=\frac{4}{9} \)

\( \displaystyle\frac{a_1}{(a_1)^2}=\frac{4}{9} ⇒\frac{1}{a_1}=\frac{4}{9} ⇒ a_1=\displaystyle\frac{9}{4} \ olur. \)

\( a_2 = \displaystyle\frac{3}{2} \ ise; \ a_1.r=\displaystyle\frac{3}{2} ⇒ \displaystyle\frac{9}{4}.r=\frac{3}{2} ⇒ r=\displaystyle\frac{2}{3} \ olur. \)

\( a_4=a_1.r^3=\displaystyle\frac{9}{4}.(\frac{2}{3})^3=\displaystyle\frac{9}{4}.\frac{8}{27}=\frac{2}{3} \ olur. \)

 

(2017 LYS)
Soru 10:

Çözüm: Aritmetik dizinin ortak farkına r dersek arkadaşlar.

\( a_9-a_6=1⇒a_1+8r-a_1-5r=1⇒3r=1⇒r=\displaystyle\frac{1}{3} \ olur. \)

\( a_10+a_7=6⇒a_1+9r+a_1+6r=6\\⇒2a_1+15r=6 \\ ⇒ 2a_1+15.\displaystyle\frac{1}{3}=6 \)

\( ⇒2a_1+5=6 \\⇒a_1=\displaystyle\frac{1}{2} \)​ olarak buluruz.

 

(2017 AYT)
Soru 11: Terimleri birbirinden farklı ve ortak farkı r olan bir (an) aritmetik dizi için

Çözüm: ​\( a_6=a_2.a_4 \)​ olduğuna göre

\( a_1+5r=(a_1+3r)(a_1+3r) \ buradan \ a_1=3r \ yazalım \\3r+5r=(3r+r)(3r+3r)\\8r=4r.6r \)

\( 2=6r ⇒ r=\displaystyle\frac{1}{3} \)​ olur. Bu durumda;

\( a_{10}=a_!+9r=3r+9r=12r=12.\displaystyle\frac{1}{3}=4 \ olur. \)

 

(2019 AYT)
Soru 12: Herhangi ardışık 3 teriminin toplamı birbirine eşit olan bir an dizisi için

Çözüm: Dizinin 2., 3. ve 4.terimlerinin toplamını bulabiliriz.

\( a_2+a_3+a_4=4 \ olur. \)

Herhangi ardışık 3 terimin toplamı birbirine eşitse ​\( a_1+a_2+a_3=4 \)​ olmalıdır. ​\( a_2 +a_3=2 \)​ olduğuna göre ​\( a_1 = 2 \)​ olur.

\( a_1+a_2+…+a_{25} (25-2+1=24 \ terim, \ yani \ 8 \ tane \ ardışık \ 3 \ lü \ vardır.)\\=a_1+8.4=2+32=34 \)​ olarak yanıtı buluruz.