12. Sınıf Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri

12. Sınıf Matematik Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ile ilgili konu anlatımı ve çözümlü soruları paylaşacağımız yazımıza hoş geldiniz sevgili arkadaşlar.

Logaritmanın Genel olarak kuralları aşağıdaki gibidir arkadaşlar;

  • logax logaritma a tabanında x şeklinde okunur.
  • Logaritma, üstel fonksiyonun tersidir. Yani y = logax ⇔ x = ay olur.
  • Logaritmanın tabanı ve üssü her zaman 1 den büyük ve pozitif olmalıdır.
  • Logaritmanın tabanı 1 olamaz. Yani a ≠ 1 dir.

Şİmdi de logaritmanın genel formüllerinden bahsedelim.

  • loga(x.y) = logax + logay şeklinde açılımı olur.
  • loga(x/y) = logax – logay şeklinde açılımı olur.
  • logaa = 1 olur her zaman.

 

  • loga1 = 0 olur her zaman.
  • alogbc = clogba      (Burada dikkat edereniz a ile c yer değiştiriyor.)
  • alogax = xlogaa = 1 olur.
  • logab = 1 / logba (Burada dikkat edereniz a ile b yer değiştiriyor.)

Soru: Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz

a) log2 128            b) log3 81           c) log1/3 27         ç) log5 625

Cevap: Tüm şıkları sırasıyla yapacak olursak arkadaşlar.

a) log2 128  = x = 7 olur.

2x = 128 den

x=7 olarak buluruz.

b) log3 81 = x = 4 olur.

3x = 81 den

x=4 olarak buluruz.

c) log1/3 27 = x = -3 olur

(1/3)x = 27

3-x = 33

x = -3 olarak buluruz.

ç) log5 625 = x = -4 olur

5x = 1/625 = 1/54

5x = 5-4

x = -4 olarak buluruz.

 

Soru: f : (-1, ∞) → R, f(x) = log3 (x + 1) fonksiyonunun tersini bulunuz.

Cevap: y = log3 (x + 1)

x + 1 = 3y

x = 3y -1

f-1 (x) = 3x -1 olarak fonksiyonun tersini bulmuş oluruz.

 

Soru:

  fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

Cevap: Aşağıdaki biçimde çözümleyebiliriz arkadaşlar.

Buradan da Çözüm kümemiz Ç = (2,4) olur.

 

Soru: f(x) = log(x+1) (25 – x)2 fonksiyonunu tanımlı yapan x tamsayılarının toplamını bulunuz.

Cevap: Aşağıdaki biçimde çözümleyebiliriz arkadaşlar.

Tanımlı yapan x tam sayıları { 1,2,3, …. 23, 24, 26, …. } dır.

Toplam değerde bulunamaz arkadaşlar.

 

Soru: f(x) = log5 ((3x – 5)/(x+1)) fonksiyonu veriliyor. f-1 (1) değerini bulunuz.

Cevap: f(a) = b  den  f-1 (b) = a olur.

Buna durumda

f-1 ((3x – 5)/(x+1)) = x

51 = (3x-5)/(x+1) olur.

5x+5 = 3x-5

2x = -10

x=-5 çıkar

f-1 (1) = -5 olarak buluruz.

 

Soru:  log 2 = m ve log 3 = n olduğuna göre log 75 i m ve n türünden yazınız.

Cevap: log 75 = log 3.25

= log 3 + log 25

= log 3 + log 100/4

= log 3 + log 100 – log 4

= log 3 + 2 + 2.log 2

= n + 2  -2m olarak sonucu buluruz.

İkinci Dereceden Fonksiyonun Daima Pozitif Ya da Negatif Olması

11. Sınıf Matematik İkinci Dereceden Fonksiyonun Daima Pozitif Ya da Negatif Olması ile ilgili konu anlatımı ve çözümlü soruların olacağı yazımıza hoş geldiniz sevgili arkadaşlar.

Soru: Yanda f: [–5,6] ” [–3,4] ile tanımlı y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

a. Grafi ğin x eksenini kestiği noktaları belirleyiniz.
b. Fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu aralıkları belirleyiniz.
c. Fonksiyonun maksimum ve minimum olduğu noktaları bulunuz.
c. Fonksiyonun [2, 4] ve [–2, –1] aralıklarında ortalama değişim hızını bulup bu aralıklarda fonksiyonun artan ve azalanlığını belirleyiniz.

Cevap:  Her bir şıkkın cevabı aşağıdaki gibidir arkadaşlar.

a) x ekseninin kestiği noktalar -5, -1 ve 3 tür arkadaşlar.

b) (-5, -1) ve (3,6) aralığında pozitif

(-1, 3) aralığında negatiftir.

c) (-3, 4) aralığından maximum noktası 4 tür.

(1,5, -3) aralığıda minimumdur.

ç) [2,4]  ten  (f(4) – f(2))/(4-2)  dir.

 

Soru: Bir taksinin taksimetresi açılışta 5 TL, sonraki her 1 km için 2 TL yazmaktadır. Bununla ilgili tablo aşağıda verilmiştir. Verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Yolculuğun mesafesi x olmak üzere yolcunun ödeyeceği ücreti x e bağlı olarak bulunuz.
b) 120 km lik yolculuk için yolcunun ödeyeceği ücreti bulunuz.

Cevap: a) Ödenecek ücret yolun bir fonksiyonudur. Bu fonksiyon f(x) olsun.
Yolcu her 1 km için 2 TL, x ε ℕ için 2x TL ödeyeceğinden ve taksimetre açılış ücreti 5 TL olduğundan f(x) = 5 + 2x TL olur.

b) f(x) = 5 + 2x ⇒ f(120) = 5 + 2.120 = 245 TL olur.

 

Soru: Yandaki doğrusal grafik bir ürünün alış ve satış fiyatı arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Bu üründen satın alan bir kişi, satış fişini incelediğinde kendisinden 80 TL yerine yanlışlıkla 60 TL alındığını fark ediyor. Bunun üzerine mağazaya dönen kişi 20 TL daha ödüyor. Kişinin 20 TL yi ödemesi veya ödememesi durumları için mağazanın elde edeceği kâr oranlarını bulunuz.

Cevap: Orijinden geçen doğruların genel denklemi, m eğim olmak üzere y = mx biçimindedir.

 

Fonksiyon Grafiğinin Eksenleri Kestiği Noktalar

Polinom fonksiyonlarının grafiği x veya y eksenini en az bir noktada keser.
Analitik düzlemde bir fonksiyon grafiğinin eksenleri kestiği noktalar aşağıdaki gibi bulunur. Koordinat sisteminde x ekseni üzerindeki noktaların ordinatları sıfır olduğundan bir fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda y yerine sıfır yazılır ve x değeri veya değerleri bulunur. Benzer şekilde y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri sıfır olduğundan fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x yerine sıfır yazılır ve y değeri bulunur.

Soru: Analitik düzlemde her x ∈ ℝ için aşağıdaki fonksiyonların grafiklerinin eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

a) y = -2x + 3                   b) y = x2 + 3x – 4

Cevap:

a) y = -2x + 3 fonksiyonunun grafiği
x = 0 için y = 3 olur. O hâlde fonksiyonun grafiği y eksenini (0 , 3) noktasında keser.

y = 0 için 0 = -2x + 3 ⇒ x = 3/2 olur.
O hâlde fonksiyonun grafiği x ekseni (3/2, 0) noktasında keser.
Bu fonksiyonun grafiğinin x ve y eksenlerini kestiği noktalar yandaki grafikte görülmektedir.

b) y = x2 + 3x – 4 fonksiyonunun grafiği
x = 0 için y = -4 olur.

O hâlde fonksiyonun grafiği y eksenini (0, -4) noktasında keser.
y = 0 için x2 + 3x – 4 = 0 ⇒ (x – 1).(x + 4) = 0
⇒ x = 1 ve x = -4 olur.
O hâlde fonksiyonun grafiği x eksenini (1, 0) ve (-4, 0) noktalarında keser.

 

Soru: f: ℝ →ℝ, f(x) = -2x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Cevap:

(x, f(x)) noktalarının analitik düzlemde birleştirilmesi ile yandaki parabol elde edilir. Fonksiyon en büyük değerini x = 0 noktasında alır.
Bu değer 0 dır. Böylece O(0, 0) noktası parabolün maksimum noktası olur.
x = 0 doğrusu parabolün simetri eksenidir.

10. Sınıf Dörtgende Uzunluk Çözümlü Sorular

10. Sınıf Matematik Dörtgende Uzunluk Çözümlü Soruların, Problemlerin ve Test Pdf lerinin olacağı bu yazımızda Yamuk, Paralelkenar, Eşkenar dörtgen, Dikdörtgen, Kare ve Deltoid ile ilgili soru çözümleri yapacağız. Sorulardan önce 10. Sınıf Dörtgende Uzunluk Konu Anlatımı yazımızıda inceleyebilirsiniz.

 

Soru ve Cevap 1;

Soru ve Cevap 2;

Soru ve Cevap 3;

Soru ve Cevap 4;

Soru ve Cevap 5;

Soru ve Cevap 6;

Soru ve Cevap 7;

Soru ve Cevap 8;

Soru ve Cevap 9;

Soru ve Cevap 10;