Matematik Temel Kavramlar Çözümlü Sorular ve Problemler

Matematik Temel Kavramlar Çözümlü Soruların ve Problemlerin olacağı bu yazımızda matematiğin temel kavramlar konusu ile ilgili örnek testler yapacağız.

Soru 1: Ardışık 6 çift doğal sayının toplamı 330 ise, küçük sayıyı bulunuz.

Cevap: Ardışık çift sayıların en küçüğüne x diyelim. O halde
x + x + 2 + x + 4 + x + 6 + x + 8 + x + 10 = 330 olur.
6x + 30 = 330
6x = 300
x = 50 olarak buluruz. En küçük sayımız x olduğuna göre en küçük sayımızı 50 olarak buluruz.

 

Soru 2: Ardışık üç tek doğal sayının toplamı, bu sayılardan en büyük olanının 2 katından 4 fazladır. Bu durumda, bu sayıların en küçüğü kaçtır?

Cevap:  Ardışık tek sayıların en küçüğüne x diyelim yine.
x + x + 2 + x + 4 = 2.(x + 4) + 4 eşitliği olur.
3x + 6 = 2x + 8 + 4
x = 6 olarak bulunur. Sayıların en küçüğü sorulmuştu soruda. O halde cevabımız 6 dır.

 

Soru 3: d ve e birbirinden farklı iki rakamlarıdır. d+e=14 olduğuna göre, d.e çarpımı en az hangi değeri alır?

Cevap: Soruda bize en az değer sorulduğuna göre alacağımız her iki sayı birbirine an fazla uzaklıkta olmalıdır. O halde sayılarda rakam olduğuna göre sayılardan büyük olanı 9 almalıyız.

Küçük sayıda bu durumda 14 – 9 = 5 olur.

d.e nin alabileceği en küçük değer de 9.5 = 45 olur.

 

Soru 4: Rakamları birbirinden farklı iki basamaklı 5 doğal sayının toplamı 112 dir. Bu iki basamaklı sayılar birbirinden de g farklı olduğuna göre bu sayıların en büyüğünün en çok hangi değeri alabileceğiniz bulunuz.

Cevap: Soruda 5 adet iki basamaklı sayı olduğu söylenmiş. Bu sayılar birbirinden farklı olacak ve aynı zamanda sayıların rakamları da birbirinden farklı olması istenmiş.

Şimdi en büyük sayı değerini bulabilmemiz için geri kalan 4 sayının en küçük değere sahip olması gerekiyor.

Yukarıdaki koşulları saplayan en küçük 4 sayı; 10, 12, 13, 14 tür. Dikkat ederseniz 11 sayısını atladık. Çünkü rakamları aynı olur alırsak. Bize rakamları farklı söylenmiş.

Şimdi bu 4 sayıyı toplayalım. 10 + 12 + 13 + 14 = 49 olur. Bunu da 112 den çıkartırsak

112 – 49 = 63 olarak en büyük sayı değerini buluruz.

 

Soru 5: a ve b pozitif tam sayılardır. a + b = 6.(a-b) olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Cevap: Soruda verilen a + b = 6.(a-b) eşitliğinden yola çıkarak çözümlemeye çalışalım.

a + b = 6a – 6b olur. a ve b yi ayrı taraflara atarsak

7b = 5a olur. Şimdi soruda bize a ve b nin alabileceği en küçük değer sorulduğuna göre a ve b yi en küçük pozitif tam sayı olacak şekilde almalıyız.

7b = 5a eşitliğinden a=7 ve b=5 dersek hem eşitlik birbirine eşit olur, hem de a ve b nin en küçük değerini almış oluruz.

Bu durumda a + b nin en küçük değerini 7 + 5 = 12 olarak buluruz.

 

Soru 6: x ve y sayma sayılardır. x. y = 54 olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Cevap: x ve y toplamının alabileceği en büyük değer sorulduğuna göre x ve y değerlerini birbirine en uzak değerde almamız gerekiyor.

En küçük sayma sayısı 1 olduğuna göre sayılardan birini 1 diğerini ise

x.y = 54 olduğuna göre 54 almalıyız.

Bu durumda da x + y nin en büyük değeri 1 + 54 = 55 olarak bulunur.

 

Soru 7: a, b, c birbirinden farklı sayma sayılarıdır. a.b = 18 b. c = 40; olduğuna göre, a + b +c toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Cevap: a + b +c toplamının alabileceği en küçük değeri sorulduğuna göre soruda verilen çarpma işleminde sayıları birbirine en yakın değerde almalıyız.

a.b = 18 eşitliğinde en yakın sayı ikilileri 3 ve 6 dır. Fakat burada 3 ve 6 sayısını alırsak,  b. c = 40 eşitliğinde 40 sayısının katına ulaşamayız. Bu nedenle de a.b = 18 eşitliğinde bir sonraki en yakın sayı ikilisini alalım. Bu değerler de 2 ve 9 dur. Buradan b=2 dersek diğer eşitlikteki 40 sayısının katını bulmuş oluruz.

O halde b=2 olduğuna göre b.c = 40 eşitliğinden c değeri de 20 olur.

A + b + c nin alabileceği en küçük değer de 9 + 2 + 20 = 31 olarak bulunur.

 

Soru 8: k, l, m pozitif tam sayılardır. 3k + 3l + 2m = 72 olduğuna göre, m nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Cevap: m nin alabileceği en küçük değer sorulduğuna göre k ve l sayılarını en büyük değer olacak şekilde almalıyız.

3k + 3l + 2m = 72 eşitliğinde k, l ve m pozitif tam sayı olduğuna göre, ben bu eşitliği

3(k + l) + 2m = 72 olarak ta yazabilirim. O halde en küçük olarak m ye 1 versek.

3(k + l) ‘ 2.1 = 72 den 3(k + l) = 70 olur. 70 sayısı 3 ün katı olmadığına göre m değerine 1 veremeyiz.

O halde bu seferde 2 vererek deneyelim.

3(k + l) ‘ 2.2 = 72 den 3(k + l) = 68 olur. 68 sayısı 3 ün katı olmadığına göre m değerine 2 veremeyiz.

O halde bu seferde 3 vererek deneyelim.

3(k + l) ‘ 2.3 = 72 den 3(k + l) = 66 olur. 66 sayısı 3 ün katı olduğuna göre m değerini en az 3 olarak bulmuş oluruz.

 

Soru 9: 3 + 5 + 7+ … + 23 toplamının sonucu kaçtır?

Cevap: Ardışık tek sayıların toplam formülü;

n2 idi arkadaşlar. Buradan n değeri son terimdeki 23 yani 2n-1 e eşitti.

2n-1 = 23 ise n = 12 olarak bulunuz.

Şimdi 12 nin karesini alalım. 12.12 = 144 olur.

Eğer sorudaki sayılar 1 den başlamış olsaydı cevabımız 144 olacaktı. Fakat başlangıç 3 ten yapıldığı için 144 sayısından 1 sayısını çıkarmamız gerek.

O halde cevabı 144 – 1 = 143 olarak buluruz.

 

Soru 10: B = 19 + 22 + 25 + 28 + … + 61 toplamında her bir terimi 3 artırırsak B toplamı kaç artar?

Cevap: Arkadaşlar, terim sayısını bulmamız gerekiyor ilk etapta.

Terim sayısı bulma formülümüz = (büyük terim – küçük terim)/artış miktarı + 1

O halde formülde değerleri yerine koyarsak;

(61 – 19)/3 + 1 olur.

42/3 + 1 olur buradan da terim sayısını 15 olarak buluruz.

Soruda verilen ifade de terim sayısını 15 olarak bulduğumuza göre ve her bir terim değeri de 3 arttırıldığına göre

Toplam değer; 15.3 = 45 artmış olur.

7. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Soruları ve Cevapları

7. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Sorularının ve Cevaplarının olduğu makalemizde örnek yazılı sorularını çözümleri ile birlikte paylaşmaya çalışacağız arkadaşlar.

Yazılı sorularını 2019 2020 dönemi ve sonrası güncel dönemler için bakıp çalışabilirsiniz.

Soru 1: Bir düzgün onikigenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevap: Çokgenin iç açılar toplam formülü (n-2).180 dir. N değeri burada çokgenin kenar sayısıdır. Çokgenimiz onikigen olduğuna göre

(12-2).180 = 10.180 = 1800 derece yapar. Bunu da 12 ye bölersek

1800/12 = 150 olur. O halde düzgün onikigenimizin bir iç açısının ölçüsü 150o dir.

 

Soru 2: Yedi arkadaşın yaşları toplamı 217 dir.Bu yedi arkadaşın yaşlarının aritmetik ortalaması kaçtır?

Cevap: Yaşları toplamı 217 olduğuna göre, aritmetik ortalamayı bulmak için yaşları toplamını, kişi sayısına bölmemiz gerekiyor

217/7 ) 31 olarak aritmetik ortalamayı buluruz.

 

Soru 3: Aritmetik ortalaması 35 olan 20 sayı içerisindeki 73 sayısı çıkarılırsa kalan ondokuz sayının aritmetik ortalaması kaç olur?

Cevap: 20 sayının toplamı 35.20 = 700 yapar.

700 den de 73 sayısını çıkartırsak 700 – 73 = 627 olur.

Şimdi de kalan 19 sayının aritmetik ortalamasını bulalım.

627/19 = 33 olarak ortalamayı buluruz.

 

Soru 4: Bir bahçenin bir noktasına 5m uzunluğundaki iple bağlanan inek en çok kaç metrekarelik alana ulaşır?π değerini 3 alınız.

Cevap: İnek, bağlı olduğu ip ile daire yarıçapı 5 metre olan bir çember çizecektir.

Bizde bu çemberin alanını bulmamız gerekiyor.

Çemberin alan formülü π.r2 ydi. O halde değerleri formülde yerine yazarsak.

3.52 = 3.25 olur buradan da alanı 75 metrekare olarak buluruz.

 

Soru 5:  Düzgün bir sekizgenin bir dış açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevap: İlk önce düzgün çokgenin iç açı formülünden iç açısını bulalım. (n-2).180

(8-2).180 = 6.180 bu da 1080 yapar. Bunu da kenar sayısına bölelim.

1080/8 = 135 derece olarak iç açısını buluruz.

Dış açısını bulmak için de 180 dereceden iç açıyı çıkartmamız gerek

180 – 135 = 45 derece olarak dış açısını bulmuş oluruz.

 

Soru 6: Beş sayının aritmetik ortalaması 15 tir. Sayılardan birincisi 7, ikincisi 12, üçüncüsü 20, dördüncüsü 26 olduğuna göre beşinci sayı kaçtır?

Cevap: Beşinci sayı değerine x diyelim ve aritmetik ortalama işlemini yapalım.

(7+12+20+26+x)/5 = 15 olur.

 

Soru 7: 4x + 5 = 7x – 28 olduğuna göre x değeri kaçtır?

Cevap: Bilinmeyen değerler ile bilinen değerleri bir arada toplarsak

5+28 = 7x – 4x olur

33 = 3x ten x = 11 olarak bulunur.

 

Soru 8: Yarıçap uzunluğu 7m olan dairenin alanı kaç m2dir.(π=3 alınız.)

Cevap: Dairenin alan formülü π.r2 olduğuna göre değerleri yerine koyduğumuzda

3.72 = 3.49 yapar. Bu da 147 metrekareye eşittir.

Trigonometri Çözümlü Sorular

Trigonometri Çözümlü Soruların ve problemleri olacağı bu yazımızda pdf formatında sınavlarda da çıkmış sorular a benzer örnek sorular olacaktır.

Trigonometri konusu genellikle 9. sınıf, 10. sınıf, 11. sınıf ve 12. sınıf ta işlenen bir konu olup yazılı sınavlarında da çıkmaktadır.

Şimdi gelin trigonometri ile ilgili çözümlü sorulara geçip konuyu anlamaya çalışalım.

Soru 1: sin60o . cos60o . tan30o ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap:  Sin60 değeri √3/2 ye, Cos60 değeri 1/2 ye ve tan30 değeri de 1/√3 değerine eşittir.

Şimdi bu değerleri yerine yazarsak

(√3/2).(1/2).( 1/√3) olur ve buradan√3 ler sadeleştikten sonra çarpımı yaptığımızda sonucu ¼ olarak buluruz.

 

Soru 2: (cos32 . cot66)/(sin58 . tan24) ifadesinin sonucu kaçtır?

Cevap: Arkadaşlar soruyu çözmeden önce şu kuralı hatırlatalım.

Sin ve cos ifadelerinde açıların birbirini 90 a tamamladığı ifadeler birbirine eşittir. Yani sin30 ile cos60 birbirine eşittir. Çünkü 30 ve 60 ın toplamı 90 ediyor.

Bu durum tan ve cot içinde geçerlidir.

Şimdi soruya gelirsek, dikkat ederseniz cos32 ile sin58 birbirini 90 a tamamlıyor. O halde bu bölüm işleminin sonucu 1 dir. Aynı durum cot66 ve tan24 içinde geçerlidir.

Sonuç olarak bu sorudaki bölme işleminin cevabı 1 dir arkadaşlar.

 

Soru 3: 0o < x < 90o ve sinx = 4/5 olduğuna göre cotx kaça eşittir?

Cevap: Sinx = 4/5 olarak verilmiş, bu da karşı dikkenar/hipotenüstür.

Şimdi dik kenarın biri 4, diğeri x, hipotenüs ise 5 ise bu 3,4,5 üçgenidir. O halde x in değeri 3 tür ve x=30o ye karşılık gelmektedir.

Cotx te = komşu dikkenar/karşı dikkenar olduğuna göre

Cox30 = 30 derecenin komşusu 4, karşı kenarı ise 3 tür.

O halde cevabımız 4/3 tür arkadaşlar.

 

Soru 4: (sin60.cot45).(cos30.tan45) ifadesinin değeri nedir?

Cevap: Sin60 değeri √3/2 ye, Cot45 değeri 1 e, cos30 √3/2 ye ve tan45 değeri de 1 e eşittir.

Şimdi bu değerleri yerine yazarsak;

((√3/2).1).((√3/2).1) olur

Bu işleminde sonucu ¾ olarak bulunur.

 

Soru 5:  0o < y < 90o ve cosy = 0,8 olduğuna göre coty’nin kaça eşittir?

Cevap: cosy = 0,8 olarak verilmiş yani 8/10 bu da 4/5 yapar.

Cosy = komşu kenar / hipotenüs tü Yani komşu kenar 4 hipotenüs ise 5 tir. O halde karşı kenarda 3 br dir. Şimdi coty değerini bulalım arkadaşlar.

Coty = komşu kenar/karşı kenardı yani 4/3 tür.

 

Soru 6: (cos30.sin30)/(3.cot45) ifadesinin değeri nedir?

Cevap: cos30 √3/2, sin30 1/2 ve cot45 değeri de 1 dir. Bu değerleri yerine koyarsak

(√3/2).(1/2)/1 olur ve bu işleminde sonucu √3/4 olur.

 

Soru 7: 0o < k < 90o ve cotk = 14/8 ise (3 + tank) nın değeri kaça eşittir?

Cevap: cotk = 14/8 ise tank = 8/14 tür

O halde cevabımız 3 + 8/14 = 50/14 bu da 25/7 ye eşittir.

 

Soru 8: (sin²x)/(1-sin²x + cosx) ifadesini çözümleyiniz.

Cevap: sin²x + cos²x = 1 e eşitti. O halde sorudaki sin²x yerine 1-cos²x ve 1-sin²x yerine de cos²x yazarsak;

(1-cos²x)/( cos²x + cosx) olur.

((1-cosx).(1+cosx))/(cosx.(cosx+1)) olarak soruyu açtık. Buradan da sadeleştirme yaparsak

(1-cosx)/cosx olur. Bu da 1/cosx – 1 e eşittir.

 

Soru 9: sinx-cosx=11 olduğuna göre, sin²x+cos²x toplamı kaçtır?

Cevap: sinx-cosx=11 ifadesinin karesini alalım,

(sinx-cosx)²=11²

sin²x+cos²x-2sinx.cosx=121

sin²+cos²-2=121 olur

sin²x+cos²x=123 olarak bulunur.

İntegral Çözümlü Sorular

Matematik İntegral İle İlgili çözümlü soruların ve problemlerin olduğu bu yazımızda lys, lgs sınavlarında da çıkmış soruların olduğu örnek problemler yapılmıştır.

İntegral konusu matematik dersinin zor gibi görünen ama aslında kolay ve zevkli konularından biridir. Genellik le 10. sınıf, 11. sınıf ve 12. sınıf ta işlenen bir konudur.  Aşağıdaki çözümlü sorular yazılı sınavınız da da yardımcı olacak sorulardır. Şimdi dilerseniz çözümlü sorulara geçelim.

Soru 1: ∫ f(x) dx = 3x2 + 5x +8  olduğuna göre f(x) fonksiyonunu bulunuz.

Cevap: Soruda verilenlere göre f(x) fonksiyonunun integrali 3x2 + 5x +8 e eşit olduğuna göre

3x2 + 5x +8  ifadesinin türevi de f(x) e eşittir. O halde 3x2 + 5x +8  ifadesinin türevini alırsak sorunun cevabını bulmuş oluruz.

(3x2 + 5x +8)’ = 6x + 5 olarak f(x) in değerini bulmuş oluruz.

 

Soru 2: ∫ (f(x) + 4x2 + x)dx = x.f(x)  olduğuna göre f‘(5) değeri kaçtır?

Cevap: Soruda verilen eşitliğe göre f(x) + 4x2 + x ifadesinin integrali x.f(x) olduğundan x.f(x) ifadesinin türevi de f(x) + 4x2 + x e eşit olur. O halde

(x.f(x))’ = f(x) + 4x2 + x olur ve sol tarafın türevini alalım.

1.f(x) + x.f‘(x) = f(x) + 4x2 + x olur ve burada f(x) ler birbirini götürür

x.f‘(x) = 4x2 + x buradan da x parantezine alalım sağ tarafı

x.f‘(x) = x(4x + 1) buradan da x ler sadeleşir.

f‘(x) = 4x + 1 buradan da x yerine soruda verilen 5 değerini koyarsak

f‘(5) = 21 olarak cevabı buluruz.

 

Soru 3: ∫ x√x dx integralinin eşiti nedir?

Cevap: x değerini kökten çıkartırsak

∫ x.x1/2 dx olur ve tabanlar eşit olduğundan dolayı üstleri toplayalım.

∫ x3/2 olur. Bu ifadenin de şimdi integralini alalım.

(x(3/2) + 1 )/(3/2 +1) + c olur.

(x5/2 )/(5/2) + c olur

(2√x5)/5 + c olur. x i kökten çıkartırsak ta cevabı (2x2√x)/5 + c olarak buluruz.

 

Soru 4: ∫ 5x3 dx integralinin eşiti nedir?

Cevap: 5 i integralin dışına alıp, x3 ünde integralini alırsak

  1. ∫ x3 dx buradan da 5. x4/4 + c olur.

Sorumuzun cevabını da 5x4/4 + c olarak buluruz.

 

Soru 5: ∫ 11x6 dx integralinin eşiti nedir?

Cevap: 11 i integralin dışına alıp, x6 nın da integralini alırsak

  1. ∫ x6 dx buradan da 11. x7/7 + c olur.

Çözümü de 11x7/7 + c olarak buluruz.

 

Soru 6: ∫ (5x4 – 4x3) dx integralinin eşini çözümleyiniz.

Cevap: İntegrali iki parçaya ayırarak birbirinden çıkartalım.

∫ 5x4 dx – ∫ 4x3 dx olur. Buradan da 6 ve 2 yi dışarı alırsak

5.∫ x4 dx – 4.∫ x3 dx olur ve şimdide integrali alalım.

  1. x5/5 + c1 – 4. x4/4 + c2 olur ve buradan 5 ve 4 sayıları sadeleşir.

x– x4 +c1 + cburadan da c1 + cye c dersek

cevabı x– x4 + c olarak buluruz.

 

Soru 7: ∫ (arcsinx)2 dx integrali için a = arcsinx  dönüşümü yapılırsa sonuç ne olur?

Cevap: a = arcsinx  ifadesinde sin a = x olur.

Bu da cos a da = dx olur.

∫ (arcsinx)2 dx = ∫ (a2.cos a da oalrak cevabı buluruz.