Dairenin Çevre Formülü ve Dairenin Alanı Formülü

Dairenin alan ve çevre formülleri nedir? Nasıl Hesaplanır? Daire Çevresi Hesaplama?, Daire Alanı Hesaplama? Arkadaşlar bu dersimizde dairenin alan ve çevre hesabının nasıl yapıldığını çözümlü örnek soru üzerinden açıklayacağız.

Dairenin Çevre ve Alan Formülü

Çember tarafından sınırlandırılan düzlemsel alana yani çember ve çemberin iç bölgesinin birleşimine daire denir. Buna göre çemberin her noktası dairenin elemanıdır.  Fakat dairenin iç bölgesine ait noktalar çemberin elemanı değildir.

 

 

 

Dairenin Özellikleri;

  • Yarıçapları eşit iki daire birbirine eşittir.
  • Alanı ve çevresi vardır.
  • Çemberde olduğu gibi dairenin de bir merkezi (M), çapı (2r) ve yarıçapı (r) vardır.

Dairenin çevresinin hesaplanması;

Daire, bir çember ve çemberin iç bölgesinden oluşur. Yani çember ile dairenin çevrelerini aynı şekilde hesaplarız. Buna göre dairenin çevresi de çemberin çevresi gibi yarıçapının 2π katına eşittir.

 

 

 

Ç = 2 π r

Dairenin alanının hesaplanması;

Dairenin alanı yarıçap uzunluğunun karesi ile pi sayısının çarpımına eşittir.

A = π r²

 

Soru: Çevre uzunluğu 10π cm olan dairenin alanını bulunuz.

Cevap: Dairenin çevre uzunluğu = Ç = 2πr ⇒ 2πr = 10π olduğundan
r = 5 cm olur.

Dairenin alanı = A = πr² ⇒ A = π5² = 25π cm² olur.

Yamuk Alan Formülü – İkizkenar ve Dik Yamuk Özellikleri

Yamuk Nedir?, Yamuğun alan ve çevre formülü nasıl hesaplanır? İkizkenar ve Dik Yamuk özellikleri nedir? gibi soruların yanıtlarını paylaşacğımız yazımıza hoş geldiniz arkadaşlar.

Yamuk Nedir? Özellikleri Nelerdir?

En az iki kenarı parelel olan dörtgen yamuk olarak adlandırılır.

  • Yamukta tabanlar birbirine paraleldir. ABCD yamuğunda [ AB ] // [ CD ] dir.
  • Bir yamukta tabanlardan birine ait bir noktadan, diğer tabana inilen dikme yamuğun yüksekliğidir. [DH] ABCD yamuğunun yüksekliğidir.
  • Bir yamukta bir yan kenar ile tabanların oluşturduğu iç açıların toplamı 180° dir.

Aşağıdaki şekildeki ABCD yamuğunda, m(A)+m(D)=180°  ve m(B)+m(C)=180°  dir.

 

Örnek: Aşağıdaki şekilde ABCD yamuk, [ CD ] // [ AB ] dir. Verilenlere göre x ve y nin kaç derece olduğunu bulalım.

Cevap:  m(A)+m(D)=180°  olduğundan,
2 x – 20° + 3 x + 50° = 180° ⇒ 5 x + 30° = 180°
⇒ 5 x = 150°
⇒ x = 30° olur.

m(B)+m(C)=180°  olduğundan,
x + 2y + x = 180° ⇒ 2x + 2y = 180°
⇒ 2 . 30° + 2y = 180°
⇒ 2y = 120°
⇒ y = 60° bulunur.

Orta Taban

Bir yamukta paralel olmayan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.

 

Yamukta Orta Taban Uzunluğu

Bir ABCD yamuğunda orta taban uzunluğu alt ve üst tabanların uzunlukları toplamının yarısıdır.

\( |EF| = \displaystyle\frac{|AB| + |DC|}{2} \)

İkizkenar Yamuk

Paralel olmayan kenarlarının uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

Dik Yamuk

Paralel olmayan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

 

Yamuğun Alanı

Bir yamuğun alanı, taban uzunluklarının toplamı ile tabanlara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(a + c).h}{2} \)

 

Örnek: Yandaki ABCD yamuğunda |AB| = 32 cm, |DC| = 14 cm ve |DH| = 9 cm olduğuna göre bu yamuğun alanını bulunuz.

Cevap: ​\( A= \displaystyle\frac{(a+c).h}{2} \ formülünden \)

\( A=\frac{(32+14).9}{2} \ olur. \)

\( A= \frac{46.9}{2} \ den \ 207 \ cm^2 \ olur. \)

Trigonometri Formülleri

Trigonometride “Dönüşüm Formülleri, Ters Dönüşüm Formülleri, Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri, Yarım Açı Formülleri” gibi bazı özel formüller vardır. Bu yazımızda size bu özel formüllerden bahsedeceğiz arkadaşlar.

TRİGONOMETRİ FORMÜLLERİ

 

Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri;

♦  sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y

♦  cos (x + y) = cos x. cos y – sin x. sin y

♦  tan (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x + tan~y}{1- tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x+y)} \)

♦  sin (x – y) = sin x. cos y – cos x. sin y

♦  cos (x – y) = cos x. cos y + sin x. sin y

♦  tan (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x – tan~y}{1+ tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x-y)} \)

 

NOT :  a ve b reel sayılar olmak üzere ​

\( -\sqrt{a^2 + b^2}​≤a.sinx +b.cosx≤\sqrt{a^2 + b^2}​ \)olur.

 

Yarım Açı Formülleri;

♦  sin 2x = 2. sin x. cos x

♦  cos 2x = cos²x – sin²x

♦  cos 2x = 2. cos²x – 1

♦  cos 2x = 1 – 2. sin²x

♦  tan 2x  = ​\( \displaystyle\frac{2. tan x}{1 – tan^2 x} \)

 

Pisagor Formülleri;

♦  sin²x + cos²x = 1

♦  tan²x + 1 =  sec²x

♦  cot²x + 1 =  cosec²x

 

Trigonometrik Özdeşlikler;

α, 90º + α, 180º + α, 270º + α, 360º + α pozitif yönlü;

90º – α, 180º – α, 270º – α, 360º – α negatif yönlü açılardır.

 

Dönüşüm Formülleri;

♦  ​\( sin x + sin y = 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( sin x – sin y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x + cos y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x – cos y = – 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y}{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y} = tan\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y}{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y} = cot\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

Ters Dönüşüm Formülleri;

♦  ​\( cos x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) + cos (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[sin (x + y) + sin (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. sin y = – \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) – cos (x – y)] \)

 

Trigonometrik Üçgen Formülleri;

Bir üçgende iki kenar ve arasındaki açıyı bilerek, karşıdaki kenarı Kosinüs Teoremi ile hesaplayabiliriz.

a² = b² + c² – 2.b.c.cos α

 

Bir üçgende kenar ile karşısındaki açının sinüsü arasında doğru orantı vardır. Bu oran da çevrel çemberin yarıçapının 2 katıdır.

\[ \displaystyle\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sinC} = 2R \]

 

Üçgenin alanını hesaplarken iki kenar arasındaki açının sinüsünden faydalanabiliriz.

\[ A(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2}.b.c.sinα \]

 

Yazımız sona erdi arkadaşlar 🙂 Formülleri pekiştireceğiniz sorular çözmek veya konu tekrar yapmak için lütfen aşağıdaki linklere tıklayın.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular