EBOB ve EKOK Ne Demek?

EBOB ve EKOK NE DEMEK?, Bir sayının ortak böleni ve ortak katı nasıl bulunur? Ortak bölen ve ortak katları ne demek? gibi soruların yanıtlarını bu yazımızda paylaşacağız sevgili öğrenciler.

EBOB, en büyük ortak bölen; EKOK ise en küçük ortak bölendir.

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni, kısaca ebobu denir. a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) veya (a,b)ebob şeklinde gösterilir.

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı, kısaca ekoku denir. a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a,b) veya (a,b)ekok şeklinde gösterilir.

 

EBOB BULMA: İki sayıyı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayıdan başlayarak devam ederiz. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir. Ancak burada önemli olan her iki sayıyı da bölen sayıları işaretlememiz gerektiğidir.

EBOB Özellikleri

a, b, c tamsayıları için c hem a’yı hem b’yi bölüyorsa c’ye a ile b’nin bir ortak böleni denebilir.

İşte seçtiğimiz bu iki sayıyı kalansız bölen sayıların en büyüğüne EBOB(a, b) denir.

  • c herhangi bir tamsayı olmak üzere; EBOB(c⋅a, c⋅b) = c⋅EBOB(a, b)’dir.
  • EBOB(a/d, b/d) = 1 ise d = EBOB(a, b) olur.
  • EBOB(a, b) = 1 ise a ve b’ye aralarında asal veya birbirine asal sayılar denir.
  • EBOB(a, b) = EBOB(a, c) ise
    • EBOB(a2,b2) = EBOB(a2,c2) ve
    • EBOB(a, b) = EBOB(a, b, c) olur.
  • EBOB(a, b, c) = EBOB(EBOB(a, b), EBOB(a, c))
  • EBOB(a, b) = 1 ise EBOB(a2, ab, b2) = 1 olur.
  • EBOB(a, b) = EBOB(–a, b) = EBOB(a, –b) = EBOB(–a, –b)
    EKOK BULMA: İki sayı yan yana yazılarak bölen listesi yapılır. En küçük asal sayıdan başlayarak devam edilir. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir.
EKOK Özellikleri
  • a ve b sıfırdan farklı tamsayılar olsun. a ve b’nin en küçük pozitif ortak katına a ve b’nin en küçük ortak katı denir ve a ve b nin bir katı k ise EKOK(a, b) daima k’yı böler.
  • a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; EBOB(a, b)⋅EKOK(a, b) = a⋅b’dir.
Önemli Formüller

En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat konusu altında birçok soru tipi karşına çıkabilir. Sana bu farklı soru tiplerinde yararlı olacağına inandığım birkaç formül vereceğim.

 

  • Eni ve boyu bilinen dikdörtgenleri bir araya getirerek bir kare oluşturman istenebilir. Kenarları a ve b olan dikdörtgenlerden bir kare oluşturabilmek için en az gerekli olan dikdörtgen sayısı aşağıdaki formülle bulunur. En az dikdörtgen derken göreceği gibi EKOK kullandık, fark ettin mi?

  • Küp oluşturmak için ise formülümüz biraz farklı. Farklı ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgen prizmaları bir araya getirerek bir küp oluşturmamız istenirse en az gerekli olan prizma sayısı aşağıdaki gibidir:

  • “Şekilde ebatları verilen dikdörtgen tarlaya eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.” cümlesiyle başlayan sorular hepimize tanıdık gelmiştir. İşte bu sorularda kilit formül şöyle: Eşit aralıklı olmak ve köşelere de gelmek koşuluyla gereken en az ağaç sayısı ise aşağıdaki gibi olur:

EBOB SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

1) Bidonlarda, varillerde, şişelerde, çuvallarda, kaplarda bulunan malzemeler daha küçük başka kaplara aktarılıyorsa,

2) Tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,

3) İnsanlardan oluşan gruplar için kaç uçak, otobüs, araba veya oda gerekir diye soruluyorsa,

4) Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, kutunun, deponun içine kaç küp sığar diye soruluyorsa,

5) Kumaşlar, bezler, demir çubuklar parçalara ayrılacaksa,

6) Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde ediliyorsa ebob kullanılır.

ÖRNEK: 80cm ve 120cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır.Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur?

EBOB (80,120) = 2.2.2.5 = 40cm

EKOK: İki veya daha fazla çokluğu ortak katlarının en küçüğüdür.  Doğal olarak sorularda parçalardan bütüne gitmemiz istiyorsa ekok kullanma ihtimalimiz yüksek.

EKOK SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

1) Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler üçer-beşer-vb sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa,

2) Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa,

3) Sınıfta öğrenciler ikişer-üçer-vb sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa,

4) Ziller, saatler birlikte ne zaman bir daha çalar diye soruluyorsa,

5) Dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan küp yapılıyorsa ekok kullanılır.

ÖRNEK: Tarık bilyelerini 4’er , 5’er , 6’şar saydığında her defasında 1 bilyesi artıyor.Buna göre, Tarık’ın en az kaç tane bilyesi vardır?

EKOK(4,5,6) = 2.2.3.5 = 60

60 + 1 = 61 bilye

Doğrunun parabole en yakın noktası

Doğrunun parabole en yakın noktasının apsisi ve ordinatı ile ilgili bilgileri paylaşıp konu ile ilgili de formülleri yazıp örnek bir soru çözeceğiz arkadaşlar.

Örnek: y = 4x +2 doğrusunun y = 3x² + 2 parabolüne en yakın olan noktasının apsisi kaçtır ?

Çözüm: y = 4x +2 doğrusuna en yakın doğru y = 4x +n olur ve  eğimlerinin eşit olması gerektiğinden y = 3x² + 2 doğrusuna teğet olmak zorunda. Bu nedenle deltayı sıfıra eşitlemeliyiz.

y=3x²-4x+2-n = 0 denklemi elde edilir. Δ = b² -4ac

16-24+12n = 0 ⇒ n buradan 12n=8 ⇒ n=2/3

y=3x²-4x+2-2/3

⇒ 3x² -4x+4/3

Buradan da x(3x-4) = -4/3

x = 2/3 olarak buluruz.

Eşkenar Dörtgenin Alanı, Eşkenar Dörtgenin Özellikleri, Formülü

Eşkenar Dörtgen Nedir? Eşkenar Dörtgenn Alanı, Eşkenar Dörtgen Formülleri? Eşkenar Dörtgenn Çevresi, Eşkenar Dörtgenin Özellikleri Nelerdir?. Arkadaşlar bugün ki yazımızda eşkenar dörtgenin genel özelliklerinden ve formüllerinden bahsedip çözümlü örnek sorular paylaşacağız.

Kenar uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a’dır.

Bir paralelkenar, bütün kenar uzunlukları eşit olacak şekilde oluşturulduğunda bir eşkenar dörtgen elde edilir. Eşkenar dörtgenin de paralelkenar gibi karşılıklı kenarları birbirine paraleldir ve karşılıklı iç açılarının ölçüleri eşittir. Ayrıca eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar.

O hâlde eşkenar dörtgen özel bir paralelkenardır. Her paralelkenar gibi eşkenar dörtgen de özel bir yamuktur.

 

Eşkenar Dörtgenin Alanı

Taban kenarının uzunluğu ile yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir.

 

\( A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ADC}) = \displaystyle\frac{|DC|.|AH|}{2} = \frac{a.h}{2} \)

\( A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ABC}) = \displaystyle\frac{|AB|.|AH|}{2} = \frac{a.h}{2} \)

\( A(ABCD) = A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ADC}) + A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ABC}) \)

\( = \displaystyle\frac{a.h}{2} + \displaystyle\frac{a.h}{2} = \displaystyle{a.h} \)

\( \displaystyle{A(ABCD) = a.h} \)​ bulunur.

 

Eşkenar Dörtgenin Özellikleri

  Eşkenar dörtgen, paralelkenarın bütün özelliklerini taşır.

  Eşkenar dörtgende karşılıklı kenarlar paraleldir.
[AB] // [CD] ve [BC] // [DA]

  Eşkenar dörtgenin bütün kenar uzunlukları eşittir.
|AB| = |CD| = |BC| = |DA|

•  Eşkenar dörtgenin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
m(A) = m(C) ve m(B) = m(D)

•  Paralelkenarda olduğu gibi eşkenar dörtgende de ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180° dir.

m(A) + m(B) = 180º
m(B) + m(C) = 180º
m(C) + m(D) = 180º
m(D) + m(A) = 180º

•  Eşkenar dörtgenin köşegenleri O noktasında dik kesişir ve birbirlerini iki eşit parçaya ayırır. Bu köşegenler aynı zamanda açıortaydır.

 

[AC] ⊥ [BD]
|OA| = |OC|
|OB| = |OD|

 

 

Örnek; ABCD bir eşkenar dörtgen, [AC] köşegen, [CE] açıortay, m(BCE) = 16° olduğuna göre m(BEC) = x kaç derecedir?

Çözüm;

m(BCE) = 16° ise m(ECA) = 16° olur.
Buradan m(BCA) = 2 · 16 = 32° dir.
Eşkenar dörgende köşegen açıortay olduğundan m(BCD) = 2 · 32° = 64° olur.
Eşkenar dörtgende ardışık iki iç açının ölçüsü toplamı 180° olduğundan;
m(ABC) +m(BCD) = 180°
m(ABC) + 64° = 180°
m(ABC) = 180° – 64°
m(ABC) = 116° olur.

EBC üçgeninde
m(BEC) +m(EBC) +m(BCE) = 180°
x + 16° + 116° = 180°
x + 132° = 180°
x = 180° – 132°
x = 48° bulunur.

 

Örnek; ABCD eşkenar dörtgeninde [DH] ⊥ [AB], |DH| = 8 cm, |DC| = 10 cm olduğuna göre ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaçtır ?

Çözüm;

ABCD dörtgeni bir eşkenar dörtgen olduğundan
|DC| = |AB| = 10 cm olur.
A(ABCD) = |AB| · |DH| = 10 · 8
A(ABCD) = 80 cm² bulunur.

 

Örnek; ABCD eşkenar dörtgeninde [EB] ⊥ [AD], |EB| = 5 cm, |BC| = 6 cm olduğuna göre DBC üçgeninin alanı nedir ?

Çözüm; Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının uzunluğu birbirine eşittir. Bu durumda;

|AD| = |DC| = |CB| = |AB| = 6 cm olduğuna göre eşkenar dörtgenin alanı;

\( A(ABCD) = \displaystyle{|AD|.|BE|} =\displaystyle{6. 5} = \displaystyle{30} \)​ olur.

DB doğrusu ADBC eşkenar dörtgenin alanını 2 eş parçaya böler. Yani DBC üçgeninin alanı eşkenar dörtgenin alanının yarısına eşit olur. Buna göre;

A(DBC) = 30/2 = 15 cm² olarak bulunur.

 

Örnek; ABCD eşkenar dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen, |AE| = 10 cm ve |BE| = 9 cm ise A(ABCD)’nın kaç cm²’dir ?

Çözüm;

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir. Köşegenler birbirini ortaladığından |AE| = |CE| ve |BE| = |DE| olur.

Bu durumda |AC| = |AE| + |CE| = 10 + 10
|AC| = 20 cm olur.

|BD| = |BE| + |DE| = 9 + 9
|BD| = 18 cm olur.

Sonuç olarak;

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{|AC|.|BD|}{2} = \frac{20.18}{2} = 180~cm^2 \)​  bulunur.