Doğrunun parabole en yakın noktası

Doğrunun parabole en yakın noktasının apsisi ve ordinatı ile ilgili bilgileri paylaşıp konu ile ilgili de formülleri yazıp örnek bir soru çözeceğiz arkadaşlar.

Örnek: y = 4x +2 doğrusunun y = 3x² + 2 parabolüne en yakın olan noktasının apsisi kaçtır ?

Çözüm: y = 4x +2 doğrusuna en yakın doğru y = 4x +n olur ve  eğimlerinin eşit olması gerektiğinden y = 3x² + 2 doğrusuna teğet olmak zorunda. Bu nedenle deltayı sıfıra eşitlemeliyiz.

y=3x²-4x+2-n = 0 denklemi elde edilir. Δ = b² -4ac

16-24+12n = 0 ⇒ n buradan 12n=8 ⇒ n=2/3

y=3x²-4x+2-2/3

⇒ 3x² -4x+4/3

Buradan da x(3x-4) = -4/3

x = 2/3 olarak buluruz.

Eşkenar Dörtgenin Alanı, Eşkenar Dörtgenin Özellikleri, Formülü

Eşkenar Dörtgen Nedir? Eşkenar Dörtgenn Alanı, Eşkenar Dörtgen Formülleri? Eşkenar Dörtgenn Çevresi, Eşkenar Dörtgenin Özellikleri Nelerdir?. Arkadaşlar bugün ki yazımızda eşkenar dörtgenin genel özelliklerinden ve formüllerinden bahsedip çözümlü örnek sorular paylaşacağız.

Kenar uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a’dır.

Bir paralelkenar, bütün kenar uzunlukları eşit olacak şekilde oluşturulduğunda bir eşkenar dörtgen elde edilir. Eşkenar dörtgenin de paralelkenar gibi karşılıklı kenarları birbirine paraleldir ve karşılıklı iç açılarının ölçüleri eşittir. Ayrıca eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar.

O hâlde eşkenar dörtgen özel bir paralelkenardır. Her paralelkenar gibi eşkenar dörtgen de özel bir yamuktur.

 

Eşkenar Dörtgenin Alanı

Taban kenarının uzunluğu ile yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir.

 

\( A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ADC}) = \displaystyle\frac{|DC|.|AH|}{2} = \frac{a.h}{2} \)

\( A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ABC}) = \displaystyle\frac{|AB|.|AH|}{2} = \frac{a.h}{2} \)

\( A(ABCD) = A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ADC}) + A(\displaystyle\stackrel{\bigtriangleup}{ABC}) \)

\( = \displaystyle\frac{a.h}{2} + \displaystyle\frac{a.h}{2} = \displaystyle{a.h} \)

\( \displaystyle{A(ABCD) = a.h} \)​ bulunur.

 

Eşkenar Dörtgenin Özellikleri

  Eşkenar dörtgen, paralelkenarın bütün özelliklerini taşır.

  Eşkenar dörtgende karşılıklı kenarlar paraleldir.
[AB] // [CD] ve [BC] // [DA]

  Eşkenar dörtgenin bütün kenar uzunlukları eşittir.
|AB| = |CD| = |BC| = |DA|

•  Eşkenar dörtgenin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
m(A) = m(C) ve m(B) = m(D)

•  Paralelkenarda olduğu gibi eşkenar dörtgende de ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180° dir.

m(A) + m(B) = 180º
m(B) + m(C) = 180º
m(C) + m(D) = 180º
m(D) + m(A) = 180º

•  Eşkenar dörtgenin köşegenleri O noktasında dik kesişir ve birbirlerini iki eşit parçaya ayırır. Bu köşegenler aynı zamanda açıortaydır.

 

[AC] ⊥ [BD]
|OA| = |OC|
|OB| = |OD|

 

 

Örnek; ABCD bir eşkenar dörtgen, [AC] köşegen, [CE] açıortay, m(BCE) = 16° olduğuna göre m(BEC) = x kaç derecedir?

Çözüm;

m(BCE) = 16° ise m(ECA) = 16° olur.
Buradan m(BCA) = 2 · 16 = 32° dir.
Eşkenar dörgende köşegen açıortay olduğundan m(BCD) = 2 · 32° = 64° olur.
Eşkenar dörtgende ardışık iki iç açının ölçüsü toplamı 180° olduğundan;
m(ABC) +m(BCD) = 180°
m(ABC) + 64° = 180°
m(ABC) = 180° – 64°
m(ABC) = 116° olur.

EBC üçgeninde
m(BEC) +m(EBC) +m(BCE) = 180°
x + 16° + 116° = 180°
x + 132° = 180°
x = 180° – 132°
x = 48° bulunur.

 

Örnek; ABCD eşkenar dörtgeninde [DH] ⊥ [AB], |DH| = 8 cm, |DC| = 10 cm olduğuna göre ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaçtır ?

Çözüm;

ABCD dörtgeni bir eşkenar dörtgen olduğundan
|DC| = |AB| = 10 cm olur.
A(ABCD) = |AB| · |DH| = 10 · 8
A(ABCD) = 80 cm² bulunur.

 

Örnek; ABCD eşkenar dörtgeninde [EB] ⊥ [AD], |EB| = 5 cm, |BC| = 6 cm olduğuna göre DBC üçgeninin alanı nedir ?

Çözüm; Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının uzunluğu birbirine eşittir. Bu durumda;

|AD| = |DC| = |CB| = |AB| = 6 cm olduğuna göre eşkenar dörtgenin alanı;

\( A(ABCD) = \displaystyle{|AD|.|BE|} =\displaystyle{6. 5} = \displaystyle{30} \)​ olur.

DB doğrusu ADBC eşkenar dörtgenin alanını 2 eş parçaya böler. Yani DBC üçgeninin alanı eşkenar dörtgenin alanının yarısına eşit olur. Buna göre;

A(DBC) = 30/2 = 15 cm² olarak bulunur.

 

Örnek; ABCD eşkenar dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen, |AE| = 10 cm ve |BE| = 9 cm ise A(ABCD)’nın kaç cm²’dir ?

Çözüm;

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir. Köşegenler birbirini ortaladığından |AE| = |CE| ve |BE| = |DE| olur.

Bu durumda |AC| = |AE| + |CE| = 10 + 10
|AC| = 20 cm olur.

|BD| = |BE| + |DE| = 9 + 9
|BD| = 18 cm olur.

Sonuç olarak;

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{|AC|.|BD|}{2} = \frac{20.18}{2} = 180~cm^2 \)​  bulunur.

İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi Formülü

İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi Formülü nasıl yazılır ile ilgli bilgiyi yaplaıp nasıl bulunur ile ilgili de çözümlü bir örnek soru paylaşacağız sevgili arkadaşlar.

 

A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalarının bilindiğini varsayalım.

İki noktası bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki gibi olur arkadaşlar.;

\( \displaystyle\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_2}{x-x_2} \)​ ile buluruz.

 

Şimdi de formülü daha iyi anlayabilmek için çözümlü örnek bir soru ile ispatını yapalım.

Örnek: A=(4,1) ve B=(1,5) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.

Çözüm: Yukarıdaki formülde soruda bulunan değerleri yerine yazarsak;

\( \displaystyle\frac{5-1}{1-4}=\frac{y-5}{x-1} \)​ olur. İşlemleri yaparsak;

\( \displaystyle\frac{4}{-3}=\frac{y-5}{x-1} \)

-3y + 15 = 4x – 4

4x +3y – 19 = 0 olarak denklemi yazmış oluruz.