İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Kökleri

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Köklerininnasıl bulunacağı, formüllerinin ne olduğu ve Delta Formülü hakkında bilgiler paylaşıp konu ile ilgili de bir kaç çözümlü örnek soru paylaşacağız sevgili arkadaşlar.

ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri bulma;

a, b, c R olmak üzere ax2 + bx + c = 0 şeklinde yazılabilen denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Görüldüğü üzere denklem içerisinde sadece 1 adet x bilinmeyeni mevcuttur.

Örnek: 4x2 – 20x + 25 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Cevap: Yukarıdaki denklem (2x – 5).(2x – 5) olarak çarpanlarına ayrılır. Çarpanları aynı olduğundan  dolay ıkökleri de aynıdır.

Yani her iki kökü de  2x – 5 = 0 dan x = 5⁄2 olur.

Şimdi de ikinci dereceden denklemlerin çözüm kümelerini Diskriminant yöntemiyle bulalım arkadaşlar. Yalnız, denklem,in kökleri yukarıdaki örnekteki gibi çarpanlarına ayrılarak bulunuyor ise Diskriminant  yöntemine gerek yoktur.

Diskriminant (Delta) Formülü: b2 – 4ac

∆ > 0 ise denklemin farklı iki reel kökü vardır. Bu kökler x1 ve x2 olsun. Formülümüz;

 

∆ = 0 ise denklemin çakışık (çift katlı, eşit) iki reel kökü vardır. Formülümüz;

 

∆ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. Çözüm kümesi boştur.

 

Örnek: x2 + 3x + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Cevap: Soruda verilen denklem çarpanlarına ayrılamıyor. Bu nedenle de denklemin köklerini delta formülü ile bulmamız gerekiyor.

Denklemde a = 1, b = 3 ve c = 7 dir arkadaşlar. Verilenlere göre denklemin diskriminantına bakacak olursak;

∆ = b2 – 4ac → ∆ = 32 – 4.1.7 → ∆ = -19 olur.

∆ sıfırdan küçük olduğu için bu denklemin kökleri yoktur arkadaşlar.

Ç.K = { }

 

Örnek: x²+5x+3=0 denkleminin köklerini bulunuz?

Cevap: Denklem çarpanlarına ayrılmıyor. O halde kökleri Diskriminant yardımıyla bulacağız.

Delta=∆=b²-4ac olduğundan

∆=25-4.3.1=13

∆>0 olduğundan iki tane kök vardır. O halde aşağıdaki formülümüze göre;

Denkemin kökleri aşağıdaki gibi olur.

Bileşik Faiz ve Basit Faiz Problemleri Formülü

Bileşik faiz problemleri formülü, Baist faiz problemleri formülü nedir? Bu formülleri matematik dersinde fazlaca karşımıza çıkan kafa karıştırıcı formülerdendir. Bu yazımızda sizler için bu dormüllerin ne olduğunu çözümlü örnek sorular ile anlatmaya çalışacağız.

Bileşik Faiz Nedir?

Anapara faize yatırılıp her süre sonunda faizi ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize bileşik faiz denir.

Bileşik Faiz Formülümüz;

F: alınan faiz

n: faiz yüzdesi

A: bankaya yatırılan ana para (kapital)

t: zaman

 

Örnek Soru: %50 den iki yılda bileşik faiziyle birlikte 180 lira olan para kaç TL dir?

Formülümüz; A + F = A.(1 + n⁄100)² olur.Verilenleri yerine koyarsak;

⇒ 180 = A.(1 + 50⁄100)²

⇒180 = A.(1 + 2)²

⇒ 180 = A.(3)²

⇒ 180 = A.9

A = 20  TL olarak yanıtı buluruz.

 

Basit Faiz Nedir?

Anaparanın değişmemesi şartıyla elde edilen faize basit faiz denir.  Faiz Problemleri hesaplarında 1 ay = 30 gün ve 1 yıl = 360 gün olarak alınır.

Yıllık, Aylık ve Günlük Basit Faiz Formüllerimiz ise aşağıdaki gibidir;

F: alınan faiz

n: faiz yüzdesi

A: bankaya yatırılan ana para (kapital)

t: zaman

 

Örnek Soru: 12 TL yüzde kaç faizle 5 aylığına bankaya yatırılırsa 6 TL faiz getirmiş olur?

F=6 TL   ,   A=12 TL,    t=5 ay   , n=?

F==(A.n.t)/1200 den

6=(12.n.5)/1200 (1200 karşıya çarpım olarak geçer)

7200=60n buradan her iki tarafı 60’a bölersek

n=120 çıkar. yani yüzde 120 ile faize verilmelidir.

 

Örnek Soru: 2000 TL yüzde 5 faizle 5 yıllığına bankaya yatırılıyor.5 yıl sonra bankadan paranın hepsi çekiliyor. Ne kadar para çekilmiştir?

A=2000 TL  , t=5 yıl  , n=5  , F=?

F==(A.n.t)/100 formülünden;

F=(2000.5.5)/100

F=50000/100 her iki taraf 100’ e bölündüğünde

F=500 TL faiz getirmiş olur.

Bankadan 2000+500=2500 TL çekilir.

Küp Açılımı

Küp açılımı, küp açılımı formülü ve formülleri nasıldır? gbii soruların cevaplarını paylaşacağımız bu yazımızda birerde örnek sorular paylaşacağız.

Küp Açılımı Formülleri;

İki küp toplamı    ⇒     a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

İki küp farkı  ⇒      a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

İki terim farkının küpü   ⇒    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

İki terim toplamının küpü   ⇒     (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

 

Şimdi de bu özdeşlikler ile ilgili birkaç örnek soru yapalım.

Örnek: x3 — 27 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm: Soruyu iki küp farkı haline getirmek için 64 sayısının 43 şeklinde yazmamız gerekiyor.

Bu durumda ifademiz x3 — 43 şeklinde olacaktır.

x3 — 43 = (x — 4).(x2 + 4x + 16) olarak yanıtı buluruzç

 

Örnek: 8c3 — 125z3 ifadesinin eşitini bulunuz.

Çözüm: Soruyu iki küp farkına çevirmek için 8c3 — 125z3 ifadesini (2c)3 — (5z)3 şeklinde yazarız. Bu durumda özdeşliği ise;

(2c)3 — (5z)3 = (2c — 5z). (4c2 + 10cz + 25z2) olarak buluruz.