İki Kare Farkı ve Toplamı Özdeşliği Formülü (x kare eksi artı y kare açılımı)

İki kare farkı ile iki kare toplamı özdeşliği formülü , matematik dersleri içerisinde genellikle fazlaca karşımıza çıkan özdeşliklerden biridir.  Formül aslında çok basit fakat bazen aklımızda kalımıyor ve neydi bu formül diye internet üzerinden aramaya başlıyoruz.

Aynı zamanda iki küp farklı ve iki küp toplamı özdeşlik formülleri de önemli formüllerdendir. Bunlarıda farklı yazılarımızda paylaştık. Bir çok matematik sorusunda karşımıza çıkan bu formüllerin açılımını öğrenerek soruları kolayca çözebilirsiniz. Örnek bir kaç soruda burada paylaşacağız.

İki Kare Farkı Özdeşliği Formülü:

x² – y² = (x – y).(x + y)

İki Kare Toplamı Özdeşliği Formülleri;

x² + y² = (x + y)² – 2xy
x² + y² = (x – y)² + 2xy

Şimdi de bu formüller ile bir kaç örnek soru yaparak konuyu daha iyi anlamaya çalışalıım arkadaşlar.

Örnek: İki sayının toplamları 12, farkları ise 6 olduğuna göre bu sayıların karelerinin farkı kaçtır?

Cevap: Soruda toplamları ve farkları verilen sayıların karelerinin farkı sorulmuş. Formülümüzü kullarak soruyu çözelim arkadaşlar.

İlk sayıya x ikinci sayıya da y diyelim ve verilen değerleri formülde yerine koyalım.

İki kare farkı :  x2 – y2 = (x – y).(x + y) = 6. 26 = 72 olarak sonucu buluruz.

 

Örnek: 36x2 – 16y2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış halini bulunuz.

Cevap: Soruda 36 sayısının kare kökü 6 ve 16 sayısının da karekökü 4 olduğuna göre ifadeyi (6x)2 – (4y)2 şeklinde yazabiliriz.

O halde ifadenin çarpanlarına ayrılmış hali (6x – 4y).(6x + 4y) şeklinde olur.

Trigonometrik Yarım Açı Formülleri

Trigonometride “Dönüşüm Formülleri, Ters Dönüşüm Formülleri, İki Yayın Toplamının ve Farkının Oranları, Yarım Açı Formülleri” gibi bazı özel formüller vardır. Bu yazımızda bunlar “Yarım Açı Formülleri”ni bulacaksınız.

TRİGONOMETRİK YARIM AÇI FORMÜLLERİ

 

Yarım açı formüllerini anlamak için öncelikle trigonometrik oranları bilmek gerekir.

 

 

Yarım açı formülleri trigonometrik toplam – fark formüllerinden türetilir. Bu formüller için buradan yazımıza bakabilirsiniz.

Yarım Açı Formülleri;

1.   sin 2x = 2 sinx. cosx

2.  cos 2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1  = 1 – 2sin2

3.  tan 2x = 2 tan x / (1 – tan² x)

                     = 2 / (cot x – tan x)

4.  cot 2x = (cot² x – 1) / 2 cot x

                     = (cot x – tan x ) / 2

5.  cos² x = 1 / 2 (1 + cos 2x)

6.  sin² x = 1 / 2 (1 – cos 2x)

7.  tan² x = (1 – cos 2x ) /  (1 + cos 2x)

8.  cot² x = (1 + cos 2x) / (1 – cos 2x)

9.  sin (1/2) x = ± √1/2 (1 – cos x)

10.  cos (1/2) x = ± √1/2 (1 + cos x)

11.  tan (1/2) x = ± √(1 – cos x / 1 + cos x )

                              = sin x / (1 + cos x)

                              = (1 – cos x) / sin x

 

Örnek; 

 (sin35. cos35)/cos20 işleminin sonucu kaçtır ? 

Çözüm; 

Sorumuzu çözmek için soruda verilen eşitliği sin2x = 2sinx.cosx eşitliğine benzetebiliriz.

(sin35.  cos35)/ cos20 = 2. (sin35. cos35)/ 2.cos20 

= sin(2. 35)/2. sin70

= sin70/ 2. Sin70

= 1/2

 

Örnek; 

(1 + cos2x)/sin2x  ifadesinin en sade biçimi nedir ?

Çözüm; 

cos2x = 2cos²x  – 1  ve sin2x = 2.sinx.cosx olduğuna göre;

(1 + 2cos²x  – 1 )/ 2.sinx.cosx  olur.

2cos²x /2.sinx.cosx  = cos²x/ sinx. cosx = cosx/sinx = cotx

 

Bazı Yarım Açı Formüllerinin Açılımı; 

 

1. sin2x = 2sinx.cosx

sin(x + y) = sinx. cosy + cosx. siny,  eşitliğinde y yerine x yazarsak,

sin(x + x) = sinx. cosx + cosx. sinx

sin2x = 2sinx. cosx olur.

 

2. cos2x = cos2x – sin2x 

I. eşitlik :

cos(x + y) = cosx. cosy – sinx. siny,  eşitliğinde y yerine x yazarsak,

cos(x + x) = cosx.cosx – sinx.sinx

cos2x = cos2x – sin2x

II. eşitlik : 

sin2x = 1 – cos2x olduğundan,

cos2x = cos2x – (1 – cos2x)

cos2x = cos2x – 1 + cos2x =  2cos2x – 1

III. eşitlik : 

cos2x = 1 – sin2x olduğundan,

cos2x = cos2x – sin2x = (1 – sin2x) – sin2x

cos2x = 1 – 2sin2x

 

3. tan 2x = 2 tan x / 1 – tan² x = 2 / cot x – tan x

tan 2x = tan(x + x)

= (tan x + tan x)/(1 – tan x. tan x)

= 2tan x / (1 – tan²x) olur.

 

Yazımız sona erdi arkadaşlar 🙂 Formülleri pekiştireceğiniz sorular çözmek için lütfen aşağıdaki linklere tıklayın.

https://www.matematikogretmenleri.net/11-sinif-trigonometri-cozumlu-sorular/

https://www.matematikogretmenleri.net/trigonometri-cozumlu-sorular/

Üslü Sayılar Formülleri

Üslü Sayılar Formülleri, tyt, ayt, lgs, kpss, ilkokul, ortaokul, lise, dgs ve diğer tüm sınavlarda gerekli olan üslü sayı formülleri ni pdf formatında yayınlayacağız.

ÜSLÜ SAYI FORMÜLÜ

  • Pozitif veya negatif bir tam sayının 1. Kuvveti her zaman kendisine eşittir.

 

  • Sıfır hariç, pozitif veya negatif bir tam sayının 0. Kuvveti her zaman 1’e eşittir. Sıfırın 0. Kuvveti ise tanımsızdır.

 

  • Sıfır sayısının kendisiyle çarpımı her zaman sıfıra eşit olduğundan; sıfırın 0. Kuvveti hariç bütün “n” kuvvetleri sıfıra eşittir.

 

  • “1” sayısının kendisiyle çarpımı her zaman 1 eşit olduğundan; birin bütün “n” kuvvetleri 1 eşittir.

 

  • “-1” sayısının kendisiyle çarpımının sonucu; çarpan sayısı çift ise 1’e tek ise -1’e eşittir.

 

  • Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Pozitif sayıların ise tüm kuvvetleri pozitiftir. “n” tam sayı olmak üzere,

 

  • Üslü bir sayının üssü hesaplanırken kuvvetler birbiri ile çarpılarak üsse yazılır. Taban hiç değiştirilmeden kalır.

 

  • Tabanları eşit üslü sayılarda çarpma işlemi yapılırken; kuvvetler toplanır, taban değişmeden kalır.

 

NOT:  Kuvvetlerin pozitif veya negatif olması yukarıdaki kuralı değiştirmez.

 

  • Kuvvetleri eşit üslü sayılar çarpılırken; tabanlar çarpılarak taban olarak yazılır, üsleri değiştirilmeden kuvvet olarak yazılır.

 

  • Tabanı sıfırdan farklı (a sıfırdan farklı) bir üslü sayı kesir halinde yazılmak istendiğinde; payına 1 yazılır. Üslü sayının kuvvetinin işareti değiştirilerek paydaya yazılır.

 

  • Tabanları eşit üslü sayılarda bölme işlemi yapılırken; tabanlar aynı kalır, üsler birbirinden çıkarılarak kuvvet olarak yazılır. “a” sıfırdan farklı olmalıdır.

 

  • Kuvvetleri eşit üslü sayılarda bölme işlemi yapılırken; üs değiştirilmeden kalır, taban kuvvetleri bölünerek taban olarak yazılır. Paydanın sıfır olmaması için b’nin sıfırdan farklı bir değer olması gerekir.

 

  • Eşitlik;

 

 

  • Kareköklü üslü sayıların kuvveti kesirli olarak ifade edilir.

 

  • N bir tam sayı ve a sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere;

 

  • Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin toplamı, katsayıların toplamı ile üslü ifadelerin çarpımına eşittir.

 

  • Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin farkı, katsayılar farkı ile üslü ifadenin çarpımına eşittir.

 

 

 

 

  • Pay ve paydanın yerini değiştirdiğimizde kesirli gösterimin kuvveti işaret değiştirir. Kuvvet “+” ise “-“ ; “-“ ise “+” olur. Yani kuvveti negatif olan bir kesrin payı ile paydası yer değiştirerek, kuvvetin pozitif olması sağlanır.

 

  • Ondalık sayılar üslü yazılırken; önce sayının tam kısmı yazılır. Sonra kalan kısmı 10’un kuvveti şeklinde yazılarak tam kısımla çarpım durumunda gösterilir.