Diziler Çıkmış Sorular ve Çözümleri

Diziler Çıkmış Sorular ve Çözümleri İle ilgili LYS,  ÖSS, TYT,  AYT,  MAT2 sınavlarında çıkmış tüm soruların çözümlerini pdf formatında inceleyebilrisiniz. Diziler konusu da genellikle 11. sınıf ve 12. sınıf derslerinde işlenmektedir.

(2009 ÖSS)
Soru 1: 2 ve 162 arasına uygun olan 3 tam sayı yerleştirerek 5 sayıdan oluşan bir geometrik dizi oluşturuluyor.
Bu üç sayının toplamı kaçtır?

A) 78  B) 80  C) 82  D) 86  E) 90

Çözüm: 2 ve 162 sayılarının aralarına 3 terim yerleştirse 5 terimli bir geometrik dizi oluşur. İlk terimi ve sonraki terimleri sırasıyla aşağıdaki gibi olur;

\( a_1=2 \ ​dir. (Birinci\ terim) ​ \\ a_2=2r \ ​dir. (İkinci \ terim) \\ a_3=2r^2 \ ​dir. (üçüncü\ terim) \\ a_4=2r^3 \ ​dir. (Dördüncü\ terim) \\ a_5=2r^4 \ ​dir. (Beşinci\ terim) \)

\( 2r^4 = 162 \ ise\ r^4=81 ⇒ r=3 \ olur. \)

Arada kalan üç sayının toplamı ise;

\( a_2+a_3+a_4=2r+2r^2+2r^3= \)​6+18+54 = 78 olur.

 

(2010 LYS)
Soru 2: \( \displaystyle\sum_{n=0}^{100} 3^n \)​ toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 0  B) 1  C) 2  D) 3  E) 4

Çözüm: ​\( \displaystyle\sum_{n=0}^{100} 3^n=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+3^5…3^{100} \ olur. \)

Yukarıdaki her terimin 5 ile bölümünden kalanlar sırasıyla; 1,3,4,2, 1,3,4,2,1,3,4,2 ……şeklinde devam eder ve ​\( 3^{100} \)​için kalan değeri 1 e denk gelir. Bu durumda doğru yanıtımız B şıkkı 1 dir.

 

(2010 LYS)
Soru 3:

Buna göre ​\( b_4 \)​ kaçtır?

A) -2  B) -1  C) 0  D) 2  E) 3

Çözüm: ​\( b_4= \displaystyle\sum_{k=0}^{4} a_k=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4 \)

= 0 + 1 -2 + 0 + 4 ⇒ 3 olarak yanıtı buluruz.

 

(2011 LYS)
Soru 4:

Çözüm: ​\( a_{k+1}-a_k=-k \)​ olur. O halde k yerine 1 den 8 e kadar olan değeri yazıp sonuçları da alt alta toplarsak;

\( a_2-a_1=-1\\a_3-a_2=-2\\…\\a_8-a_7=-7 \ olur. Hepsini \ toplarsak \)

\( a_8-a_1=-(1+2+…+7)\\a_8-40=-28\ olur. \)

\( Buradan \ da \ a_8=12 \ olarak \ buluruz. \)

 

(2012 LYS)
Soru 5:

Çözüm: ​\( \displaystyle\frac{a_9-a_7}{a_8-4.a_6}=\frac{2^9-1-(2^7-1)}{2^8+1-4.(2^6+1)}=\frac{2^9-2^7}{2^8+1-4.2^6-4} \)

\( =\displaystyle\frac{2^2.2^7-2^7}{2^8-2^8-3}=\frac{3.2^7}{-3}=-2^7 \ olur. \)

 

(2013 LYS)
Soru 6:  n pozitif tam sayısı için n ’nin en büyük tek tam sayı böleni n ile gös teriliyor.

Çözüm: ​\( a_{18} ⇒ 18 \ in \ tam \ bölenleri \ = 1,2,3,6,9 \ ve \ 18 \ dir. \)​ Burada en büyük tek sayı 9 dur arkadaşlar.

9’un 4 ile bölümünden kalan 1 dir. O halde, ​\( a_{18}=9+1=10 \ olur. \)

\( a_{12} ⇒ 12 \ nin \ tam \ bölenleri \ = 1,2,3,4,6 \ ve \ 12 \ dir. \)​ Burada en büyük tek sayı 3 tür arkadaşlar.

3’ün 4 ile bölümünden kalan 3 tür. O halde, ​\( a_{12}=3-1=2 \ olur. \)

Bu durumda; ​\( a_{18}-a_{12}=10-2=8 \)​ olur. Yanıt: D

 

(2013 LYS)
Soru 7:

Çözüm: ​\( a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \ eşitliğinde \ n \ yerine \ 6 \ yazarsak\\a_8=a_7+a_6 ⇒ a_7=a_8-a_6 \ olur. \)

\( a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \ eşitliğinde \ n \ yerine \ 7 \ yazarsak\\a_9=a_8+a_7 \ olur. \ a_7 \ yerinde \ değerini \ yazarsak \)

\( a_9=a_8+a_8-a_6 \\a_9+a_6=2a_8 \)

2.6 = 12 oalrak doğru yanıtı C seçeneği buluruz.

 

(2014 LYS)
Soru 8: Bir geometrik dizinin ilk üç terimi sırasıyla a + 3, a  ve a – 2 olduğuna göre, dördüncü terimi kaçtır?

Çözüm: Ardışık terimler arasındaki oran birbirine eşit olur.

\( \displaystyle\frac{a}{a+3}=\frac{a-2}{a} ⇒ a^2=a^2+a-6 ⇒ a=6 \ olur. \)

Ortak çarpan = ​\( \displaystyle\frac{a}{a+3}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} \ olur. Bu \ durumda; \)

\( a_4=a_1.r^{4-1}=(a+3).r^3=(6+3).(\displaystyle\frac{2}{3})^3 \)

\( \displaystyle9.\frac{8}{27}=\frac{8}{3} \)​ olarak yanıtı C şıkkı buluruz.

 

(2016 LYS)
Soru 9:

Çözüm: ​\( \displaystyle\frac{a_5-a_1}{(a_3)^2-(a_1)^2}=\frac{4}{9}⇒\frac{a_1.r^4-a_1}{(a_1.r^2)^2-(a_1)^2}=\frac{4}{9} \)

\( \displaystyle\frac{a_1.(r^4-1)}{(a_1)^2.r^4-(a_1)^2}=\frac{4}{9} ⇒\frac{a_1.(r^4-1)}{(a_1)^2.(r^4-1)}=\frac{4}{9} \)

\( \displaystyle\frac{a_1}{(a_1)^2}=\frac{4}{9} ⇒\frac{1}{a_1}=\frac{4}{9} ⇒ a_1=\displaystyle\frac{9}{4} \ olur. \)

\( a_2 = \displaystyle\frac{3}{2} \ ise; \ a_1.r=\displaystyle\frac{3}{2} ⇒ \displaystyle\frac{9}{4}.r=\frac{3}{2} ⇒ r=\displaystyle\frac{2}{3} \ olur. \)

\( a_4=a_1.r^3=\displaystyle\frac{9}{4}.(\frac{2}{3})^3=\displaystyle\frac{9}{4}.\frac{8}{27}=\frac{2}{3} \ olur. \)

 

(2017 LYS)
Soru 10:

Çözüm: Aritmetik dizinin ortak farkına r dersek arkadaşlar.

\( a_9-a_6=1⇒a_1+8r-a_1-5r=1⇒3r=1⇒r=\displaystyle\frac{1}{3} \ olur. \)

\( a_10+a_7=6⇒a_1+9r+a_1+6r=6\\⇒2a_1+15r=6 \\ ⇒ 2a_1+15.\displaystyle\frac{1}{3}=6 \)

\( ⇒2a_1+5=6 \\⇒a_1=\displaystyle\frac{1}{2} \)​ olarak buluruz.

 

(2017 AYT)
Soru 11: Terimleri birbirinden farklı ve ortak farkı r olan bir (an) aritmetik dizi için

Çözüm: ​\( a_6=a_2.a_4 \)​ olduğuna göre

\( a_1+5r=(a_1+3r)(a_1+3r) \ buradan \ a_1=3r \ yazalım \\3r+5r=(3r+r)(3r+3r)\\8r=4r.6r \)

\( 2=6r ⇒ r=\displaystyle\frac{1}{3} \)​ olur. Bu durumda;

\( a_{10}=a_!+9r=3r+9r=12r=12.\displaystyle\frac{1}{3}=4 \ olur. \)

 

(2019 AYT)
Soru 12: Herhangi ardışık 3 teriminin toplamı birbirine eşit olan bir an dizisi için

Çözüm: Dizinin 2., 3. ve 4.terimlerinin toplamını bulabiliriz.

\( a_2+a_3+a_4=4 \ olur. \)

Herhangi ardışık 3 terimin toplamı birbirine eşitse ​\( a_1+a_2+a_3=4 \)​ olmalıdır. ​\( a_2 +a_3=2 \)​ olduğuna göre ​\( a_1 = 2 \)​ olur.

\( a_1+a_2+…+a_{25} (25-2+1=24 \ terim, \ yani \ 8 \ tane \ ardışık \ 3 \ lü \ vardır.)\\=a_1+8.4=2+32=34 \)​ olarak yanıtı buluruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.