Eşitsizlikler Konu Anlatımı dersi genellikle 8. Sınıf Matematik dersinde işlenen bir konu olup bu yazımızda çözümlü örnek sorular ile konuyu örneklendirip anlatmaya çalıştık arkadaşlar.
Eşitsizlikler konusu, 9. sınıf, 10. sınıf ve 11. sınıf derslerinde de işlenen bir konu olup tyt ve kpss sınavlarında da eşitsizlikler ve basit eşitsizilikler ile ilgili sorular gelmektedir.
Eşitsizlik
≠ (eşit değildir), < (küçüktür), ≤ (küçüktür veya eşittir), > (büyüktür), ≥ (büyük veya eşittir) sembolleri ile yazılan matematiksel ifadelere eşitsizlik denir. ≠ dışındaki eşitsizlikler, iki ifade arasındaki büyüklük ve küçüklük ilişkilerini gösterir.
< (küçüktür) -> eşitsizliğin sol taraftaki değer, sağ tarafındaki değerden küçüktür.
≤ (küçük eşit) -> eşitsizliğin sol tarafındaki değer, sağ tarafındaki değere eşit veya o değerden küçüktür.
> (büyüktür) -> eşitsizliğin sol tarafındaki değer, sağ tarafındaki değerden büyüktür.
≥ (büyük eşit) -> eşitsizliğin sol tarafındaki değer, sağ tarafındaki değere eşit veya o değerden büyüktür.
NOT: Eşitsizlik sembolleri, değişkenlerle veya değişken içeren ifadelerle birlikte kullanılabilir.
Örn;
5≠y , 5 sayısı y’ye eşit değildir.
3<78, 3 sayısı, 78 sayısından küçüktür.
4 ≤ √16, 4 sayısı √16 sayısından küçük veya bu değere eşittir.
6>x, 6 sayısı, x’den büyüktür.
8 ≥ 4,5, 8 sayısı 4,5 sayısından büyük veya bu değere eşittir.
Eşitsizliklerin Özellikleri;
- Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik bozulmaz.
Örn;
11 < 27 eşitsizliği için aşağıdaki işlemleri yapalım.
- Eşitsizliğin her iki tarafına 4 ekleyelim.
- Eşitsizliğin her iki tarafından 10 çıkaralım.
Çözüm;
- (11+ 4) < (27 +4) -> 15 < 31 olur ve eşitsizlik bozulmaz.
- (11- 10) < (27 -10) -> 1 < 17 olur ve eşitsizlik bozulmaz.
- Bir eşitlikte sol ve sağ taraf yer değiştirildiğinde eşitlik bozulmaz. x + 3 = 10 eşitliği ile 10 = x + 3 eşitliği birbirinin aynıdır.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılır veya aynı pozitif sayıya bölünürse eşitsizlik bozulmaz.
Örn;
12 < 27 eşitsizliği için aşağıdaki işlemleri yapalım.
- Eşitsizliğin her iki tarafını da 3 e bölelim.
- Eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım.
Çözüm;
- (12÷3) < (27÷3) -> 4 < 9 olur ve eşitsizlik bozulmaz.
- (12 x 2) < (27 x 2) -> 24 < 54 olur ve eşitsizlik bozulmaz.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılır veya aynı negatif sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. Eşitsizliğin yön değiştirmesi demek, küçüktür (<) işaretinin büyüktür (>) , büyüktür (>) işaretinin küçüktür (<) işareti olması demektir. Aynı şekilde ≤ işareti ≥ ve ≥ işareti ise ≤
Örn;
20 > 12 eşitsizliği için aşağıdaki işlemleri yapalım.
- Eşitsizliğin her iki tarafını da -4 ile çarpalım.
- Eşitsizliğin her iki tarafını -2 ile bölelim.
Çözüm;
- (20 x (-4)) > (12 x (-4)) -> -80 < -48 olur. Eşitsizlik yön değiştirir. Yani eşitsizlik – bir değer ile çarpıldığı için; > işareti < işaretine dönüşür.
- (20 ÷(-2)) > (12 ÷(-2)) -> -10 < -6 olur. Eşitsizlik yön değiştirir. Yani eşitsizlik – bir değer ile çarpıldığı için; > işareti < işaretine dönüşür.
Örn;
Yandaki ABC üçgeninde A açısı geniş açı olduğuna göre x’in alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım. 
Çözüm;
A açısının geniş açı olabilmesi için B ve C açılarının toplamının dar açı olması gerekir. Bu durumda eşitsizliği yazarak x’in alabileceği değerleri bulalım.
Bu durumda x, 10’dan küçük gerçek sayıları gösterir. X’in alabileceği en büyük tam sayı değeri 9 olur.
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikleri Yazma ve Sayı Doğrusunda Gösterme
a, b ∈ R ve a≠0 olmak üzere, ax + b >0, ax + b≥0, ax + b <0 ve ax + b ≤0 biçiminde yazılabilen cebirsel ifadelere yani içinde birinci dereceden bir bilinmeyenli ifade bulunan eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.
Örn;
5a < 8a – 24 eşitsizliğinde a’nın alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım.
Çözüm;
5a -8a < 8a – 24 – 8a Eşitliğin her iki tarafından 8a çıkarılır.
-3a < -24
(-3a ÷ (-3)) < (-24 ÷ (-3)) Eşitsizliğin her iki tarafı -3’e bölünür.
a > 8 Eşitsizlik yön değiştirir.
8’den büyük olan tam sayıların en küçüğü 9’dur.
İki Sembollü Eşitsizlikler
İki farklı eşitsizliğin bir arada yazılması ile oluşan eşitsizliklere denir. Bu iki eşitsizliğin birer tarafındaki ifadeler aynıdır.
Örn;
4 < 5y + 1 eşitsizliği ile 5y + 1 < 8 eşitsizliğini birlikte yazalım.
Çözüm;
Bu tür eşitsizlikleri yazarken ortak ifadeler birleştirilir ve tek bir sefer yazılır. Burada iki eşitsizlik içinde ortak olan kısım 5y + 1 ifadesidir. Buna göre eşitsizlikleri yazdığımızda;
4 < 5y + 1 < 8 şeklinde bir eşitsizlik oluşur. Buna göre 5y + 1 değeri 4’ten büyük ve 8’den küçüktür.
Eşitsizliklerin Çözüm Kümesini Bulma ve Sayı Doğrusunda Gösterme
Eşitsizlikler ile denklemlerin çözüm şekilleri birbirine benzerdir. Yani denklemde olduğu gibi eşitsizlikte de bilinmeyen değer eşitsizliğin bir tarafında bırakılır. Bu durumu oluştururken de eşitsizliklerin özelliklerinden yararlanılır.
Bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesi bir sayı değil bir aralığa eşittir. Bu aralık sayı doğrusu üzerinde gösterilirken; “≤ veya ≥” sembollerinde aralığın başlangıç noktasına gelen nokta, o değerler aralığa dahil olduğu için içi dolu olarak gösterilir.. “< veya >” sembollerinde ise aralığın başlangıç noktasına gelen nokta, o değerler aralığa dahil olmadığı için içi boş gösterilir. Eğer eşitsizlikte bilinmeyen değerin çözüm kümesi, sabit bir değerden sonsuza kadar gidiyorsa; o yöne tüm o noktaları kapsayacak bir yarı doğru çizilir. Fakat bu bilinmeyen değer iki sabit değer arasında ise o zaman çözüm kümesinin o değerlere dahil olup olmama durumuna göre başlangıç noktasındaki gibi işaretler konularak gösterilir.
Örn;
x ≤ 0 eşitsizliğini sayı doğrusunda gösterelim.
Çözüm;
x bilinmeyeni 0’dan küçük ve eşit bir değer aralığına sahiptir. Yani çözüm kümesi Ç = {0, …} şeklindedir. Buna göre çözüm kümesinin başlangıç değerini 0 olarak kabul etmeliyiz. X bilinmeyeni 0’a eşit olabildiği için sayı doğrusunda 0’a denk gelen noktanın içini dolu olarak gösteririz. Ayrıca x bilinmeyeni 0’dan sonsuza kadar 0’dan küçük herhangi bir değer alabildiği için sayı doğrusunda bu yöne doğru olan değerleri temsilen bir yarı doğru çizerek gösteririz. Son halde sayı doğrumuz aşağıdaki gibi olmalıdır.
Örn;
x < 0 eşitsizliğini sayı doğrusunda gösterelim.
Çözüm;
x bilinmeyeni 0’dan küçük bir değer aralığına sahiptir. Buna göre çözüm kümesinin başlangıç değerini 0 olarak kabul etmeliyiz. X bilinmeyeni 0’a eşit olmadığı için sayı doğrusunda 0’a denk gelen noktanın içini boş olarak gösteririz. Ayrıca x bilinmeyeni 0’dan sonsuza kadar 0’dan küçük herhangi bir değer alabildiği için sayı doğrusunda bu yöne doğru olan değerleri temsilen bir yarı doğru çizerek gösteririz. Son halde sayı doğrumuz aşağıdaki gibi olmalıdır.
Örn;
9 ≤ x < 12 eşitsizliğini sayı doğrusunda gösterelim.
Çözüm;
X bilinmeyeni 9’dan büyük ve eşit; 12’den ise küçüktür. Yani çözüm kümesi iki sabit değer aralığındadır. Buna göre bu değer aralığını sayı doğrusunda göstermek istediğimizde; 9 değeri çözüm kümesine dahil olduğu için içi dolu bir nokta ile gösterilir. 12 çözüm kümesine dahil olmadığı için 12 ye denk gelen noktanın içi boş olarak gösterilir. Eşitsizliğin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdaki gibidir.
