Fonksiyon ve Limit Konu Anlatımı

Bir Fonksiyonun Limiti

Tanım.

y = f(x)fonksiyonu x = a noktası civarında tanımlı bir fonksiyon olsun.Bu fonksiyonun, x in a ya yaklaşması (x àa) halinde limitinin b ye eşit olması (yàb) demek, istenildiği kadar küçük bir       e > 0 sayısı seçildikten sonra:

|x – a| < g

olduğu zaman

| f (x) – b| < e

olacak şekilde bir g = g (e)  pozitif sayının bulunabilmesi demektir.

Bu taktirde x,a ya yaklaştığı zaman f (x) fonksiyonun limiti b dir denir ve işaretle:

lim f (x) = b

x = a

şeklinde gösterilir.

ÖRNEK 1.  lim (2x + 1) = 5 olduğunu gösteriniz.

e sayısı verilmiş olsun.

|(2x + 1) – 5| < e

şartının sağlanması için:

|2x – 4| < e

|x – 2| < e

2

olmalıdır ki bu da bize g = e   olacağını gösterir.e seçilmiş olduğuna göre bunun yarısı olarak ta

2

g bulunmuş olacaktır.

İhtar:Bir fonksiyonun xàa halinde limitin mevcut olabilmesi için fonksiyonun x = a için tanımlı olması gerekli değildir.Bu taktirde fonksiyonun x = a civarındaki (fakat a dan farklı) değerleri göz önünde tutularak limiti hesaplanır.

ÖRNEK 2. lim x – 9   = 6    olduğunu gösteriniz.

xà3   x – 3

Fonksiyon x = 3 için tanımlı değildir.Verilen limitin doğru olabilmesi için :

|x – 3| < g

halinde

|x – 9 _6| < e

|x – 3     |

eşitsizliği sağlanmalıdır.x = 3 için :

|(x – 3 )(x + 3) _6|  = |(x + 3)- 6 | = |x – 3 | < e

|        (x – 3)         |

elde edilir ki, e ne olursa olsun (1) in sağlanabilmesi için (2) nin sağlanması gerekir.(2) de ise g = e olduğu görülmekle xà3 halinde verilen fonksiyonun limitinin 6 ya eşit olduğu görülür.

Soldan Limit ve Sağdan Limit

F(x) = sgn x fonksiyonun aşağıdaki grafiğine bakarak şunları söyleyebiliriz.Sıfıra soldan (artarak) yakınsayan bir xn dizisi için f nin görüntü dizisi f(xn) = (-1) à -1, sıfıra sağdan (azalarak) yakınsayan xn dizisi için f nin görüntü dizisi f(xn) = (1) à 1 dir.Göründüğü gibi sıfıra farklı yönden yakınsayan dizilerin görüntü dizileri de farklı sayılara yakınsamaktadır.Söz gelimi, (xn) = (-1 /n), (xn) = (1/n) dizileri sıfıra , sıra ile , soldan ve sağdan yakınsamakta ve

lim f(xn) = lim (- 1) = -1 ; lim f(xn) = lim (1) = 1

n à8~      n à8~              n à8~      n à8~

dir.3-2.1. tanıma göre , f nin a = 0`da bir A limiti olabilmesi için, 0`a yakınsayan (hangi yönden olursa olsun) her (xn)  dizisi için lim (f(xn) ) = A olmalıdır.Buna göre f(x) = sgn x in a = 0`da bir limiti yoktur.Ancak x in 0`a yaklaşım yönüne göre adlandırılan iki limit vardır: -1 ve +1.

A reel eksen üzerinde sabit ve x değişken (hareket eden) bir nokta olsun.x,a ya soldan (artarak) yada sağdan (azalarak) yaklaşır.Bu iki durum sıra ile xàa- ve xàa+ ile gösterilir.Çoğu kez, xàa- oluşu x  a ve xàa+ oluşu x   a ile gösterilir.xàa- iken x < a ve x à a+ ikende a<x olacağını unutmayınız.

3-2.10.TANIM:f:D   Rà bir fonksiyon ve a € D olsun.Eğer lim f(x) = A1 ve lim f(x) =A2 ise A1 `e fonksiyonun a daki soldan limiti, A2`ye sağdan limiti denir.

Eğer A1 = A2 ise buna kısaca, f nin a daki limiti denir.Bu durumda lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) dir ve x in a ya yaklaşım yönünü belirtmeye gerek yoktur.

ÖRNEK:f(x) = sgn x . fonksiyonun  x = 0 da soldan limiti = -1, sağdan limiti =1 dir.

ÖRNEK:f: R àR: f(x) =   x +1:x<0 ise

x     :x>0 ise

fonksiyonu için lim f(x) = 1 ve lim f(x) = 0 dır.

ÖRNEK:3-2.12. örnekteki f fonksiyonu için lim f(x) =2 = lim f(x) ve lim f(x) = 1 = lim f(x) olduğunu görünüz.                                               xà-1             xà-1         xà1               xà13-2.10. tanımdaki A1 = +   ,A1 = –     ,A2 = +      veya A2 = –     ise bu durumlar sıra ile

lim  f(x) = +     ,  lim f(x) = –      ,   f(x) = +    veya

xàa-                   xàa-                   xàa+

lim f(x) = –       biçiminde gösterilir.

Sonsuza Yaklaşan Fonksiyonlar.

Şimdiye kadar xàa veya xà    halinde f(x) in bir b sonlu limitine yaklaşmasına inceledik.Şimdi de x  herhangi bir değere yaklaştığı zaman f(x) in sonsuza yaklaşması halinde inceleyelim.

xàa halinde f(x) sonsuza yaklaşması veya xàa halinde f(x) in sonsuz büyük olması demek, N gibi istenildiği kadar büyük pozitif bir sayı seçildikten sonra

|x-a| < g

|f(x)|> N

olacak şekilde bir g>0 sayısının bulunabilmesi demektir.

Bu şekildeki bir limit:

lim f(x) =         veya      f(x)à

xàa

şeklinde gösterilir.xàa halinde f(x) in pozitif değerler veya negatif değer alarak sonsuza yaklaşma halleri de

lim f(x) = +      ve   lim f(x) = –

xàa                        xàa

işareti ile gösterilir.

ÖRNEK:lim     1   = +     olduğunu gösteriniz.

xà1 (1-x)   

Limit doğru ise N>0  olarak:

|  1       |>N

|(1-x)   |  

veya

(1-x)  < 1   =g

N

Olması gerekir.Halbuki N i istenildiği kadar büyük bir sayı seçmek suretinle g istenildiği kadar küçük kılınabilir.

NOT:f(x) fonksiyonu x à a halinde sonlu ve sonsuz bir limite yaklaşmayabilir.

ÖRNEK:y =sinx  fonksiyonu –  <   <+   aralığında tanımlıdır, fakat x à  halinde bir limit mevcut değildir.

ÖRNEK:y = sin 1 fonksiyonu x = 0 değeri hariç, x in diğer bütün değerleri için tanımlıdır.Ancak xà0 halinde sonlu veya sonsuz bir limiti mevcut değildir.

Sınırlı Fonksiyonlar.

Tanım aralığındaki bütün x değerleri için |f(x)<M eşitsizliğini sağlayan bir M pozitif sayısı mevcutsa y = f (x) fonksiyonu sınırlı bir fonksiyondur denir.Böyle bir sayı mevcut değilse fonsiyonun göz önüne alınan aralıkta sınırlı olmadığı söylenir.

ÖRNEK:y = x + 2 fonksiyonu aşağıdan sınırlıdır.Zira daima x + 2> dir

ÖRNEK:y = sin x  fonksiyonu  –    < x < +     aralığında tanımlı ve sınırlıdır.Zira bütün x değeri için    |sinx| < 1=M     dir.

Çok Kullanılan Bazı Limitler

lim   1 =0

xà     x

lim  1 = +                                       ,   lim 1 = –

xà+0  x                                            xà-0   x

lim  1 = +                                        ,  lim  1 = 0

xà0   x                                             xà      x

l i m       + g x = +                          ,  l i m     t g x = –

x à  _ _0                                               xà__+0

2                                                            2

lim x sin 1  =0  (Çünkü, |sin 1 | < 1 ve |x| < e

xà0       x                      |      x |

olduğundan    |x sin 1  |< |x| < e dir.)

x

lim x =  n > 0 ise   0    ; lim x  =   n > 0  ise

xà0      n<  0 ise          xà           n < 0  ise  0

 

 

 

a > 1      ise

a = 1      ise    1

lim  a  =                              (n > 0 ve a sabittir)

a < 1      ise     0

a < – 1    ise      limit yoktur.

Limite ait esas teoremler

            TEOREM 1. Sonlu sayıda fonksiyonun toplamının limiti, bunların limitleri toplamına eşittir.Yani

lim (u1 + u2 + … + uk ) = lim u1 + lim u2 + ….. + lim uk

dır.

İspat : İki fonksiyon alarak ispatı yapalım.

lim  u = b            lim  v = c

xàa               ;     xàa

ise

lim  (u + v ) = b+c

x à a

dır.u ve v nin x à a halinde limitlerinin b ve c olabilmesi için gerek ve yeter şart şudur.İstenildiği kadar küçük her e > 0 sayısına öyle g,g pozitif sayıları karşılık tutulabilir ki her:

|x – a| < g   için  |u – b| < e

2

ve her:

|x – a| < g    için |v – c| < e

2

eşitsizlikleri sağlansın.g , g sayılarının her birinden küçük olan bir sayıyı g olarak seçelim.O taktirde |x – a| < g eşitsizliği sağlanmakla

|x – a| < g      ,    |x – a| < g

eşitsizlikleri de sağlanır.Nihayet:

|u-b| < e          ,   |v – c| < e

2                           2

eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa :

|u – b| + |v – c| < e

elde edilir.Bir toplamın mutlak değeri terimlerinin mutlak değeri toplamından küçük veya ona eşit olup:

|u + v – (b + c)|<|u – b| + |v – c|<e

yazılabilir.Bunlara göre:

|u + v – (b + c)| < e

olarak u + v nin limitinin b + c olduğu gösterilmiş olur.

ÖRNEK 1.

lim x + 3x = lim   1+3  = lim 1 + lim 3  = 1 + 0 =1

xà       x      xà          x   xà      xà   x

ÖRNEK 2.

lim (2 sin x –cosx + cotg x)

__               

2

= lim  2 sinx – lim cosx + lim  cotgx

xà__           xà__          xà__

2                   2                  2

=2-0 + 0 = 2

TEOREM II.Sonlu sayıda fonksiyonun çarpımının limiti bunların limitlerinin çarpımına eşittir.Yani:

lim u1.u2…uk = lim u1.lim u2…lim uk

 


dir.

İspat: u ve v gibi iki fonksiyon alalım.

lim  u = b   ,  lim   v = c

xàa              xàa

olsun.uv çarpımının limitinin bc ye eşit olduğunu göstereceğiz.Bunun içinde uv-bc farkının sıfıra yaklaştığını göstermek gereklidir.

Bu fark:

uv – bc = u (v – c) + c (u – b)

şeklinde yazılabilir.Bu ifadenin ikinci tarafını teşkil eden terimlerden her birinin limiti,

lim u = b     ,   lim v = c

ve

v – cà0      ,    u – bà0

olarak sıfırdır.Bunlara göre:

uv – bcà0

olup uv çarpımının limitinin bc olduğu gösterilmiş olur.

ÖRNEK3.lim sinx tg x  =lim sin x . lim tg x  =1.1=1

xà__                    xà__        xà__

2                            2                2

Bu teoremin bir sonucu olarak sabit bir çarpanın limit işareti dışına çıkarılabileceği söylene bilir.

ÖRNEK4. lim 3x = 3 . lim  x = 3.25 = 75

xà5          xà5

 

 

TEOREM3.İki fonksiyonun bölümünün limiti bölenin limiti sıfırdan farklı olmak şartıyla bunların limiti bölüme eşittir.Yani

lim  u = lim uv     lim v                      (lim v = 0)

 

dir.

İspat:

lim  u = b    ,    lim v = c

olsun.Bu taktirde

lim  u =b

v   c

olduğunu göstereceğiz.Bunun içinde

u  _ b

v      c

farkının limitinin sıfır olduğunu göstermek yeterlidir.Bu fark

u  _ b = c(u-b) – b(v – c)

v      c              cv

şeklinde yazılabilir.

u – b à 0           v – c à 0

olup ikinci tarafın payının limiti sıfırdır.O halde ikinci taraf sıfır limitine yaklaşacağından:

lim u = b

v     c

dir.

ÖRNEK.                           lim (2x + 3)

lim    2x + 3  = xà1                  =5 =1

xà1   3x-2        lim (3x – 2)          1         

xà1

 

lim  sin 2x

xà___

ÖRNEK.lim      sin 2x  =___4____  =1 =1

xà___        tgx        lim tg x      1

4                                              xà__

4

ÖRNEK.     lim    ____x___à

xà2         x-2

TEOREM IV.Bir değişkenin n. Kuvvetinin limiti bu değişkenin limitinin n. Kuvvetine eşittir.

ÖRNEK.       lim (x – 1)  =[lim (x – 1)] = (4 – 1) = 9

xà2                xà2

ÖRNEKLER:

1)lim |x – 3x + 2|      değeri kaçtır.

xà2           2 – x

Çözüm:

lim |x – 3x + 2|  = lim |(x – 2)(x – 1) = lim |x – 2| . |x – 1|    olur.

xà2         2 – x                 xà2        2 – x                     xà2       -(x – 2)

xà 2 için , x – 2 > 0 ve x – 1 > 0 olacağına göre,

lim |x – 2| . |x – 1| = lim     (x – 2) . (x – 1) =  lim (x – 1) = 2 – 1 = -1    olur.

xà2           -(x – 2)        xà2             -(x – 2)              xà2        -1          -1

 

 

 

2)lim  x – 4x        değeri kaçtır?

xà2    3x – 2

 

lim x – 4x = 2 – 4 . 2 = 4 – 8 = -1 olur.

xà2  3x – 2     3 . 2 – 2   6 – 2

 

 

3) lim ([x – 2] + |x + 1|) değeri kaçtır?

xà-1

lim ( [x – 2] + |x + 1| ) = lim ( [x] – 2 + | x + 1 | ) dir.

xà-1

x à -1 için, [x] = -2 ve x +1 < 0 olduğundan |x + 1 | = -x – 1 dir.

Buna göre,

lim ([x] – 2 + | x + 1 ) = lim (-2 -2 + ( -x – 1))

xà-1                                                  xà-1

= lim (-5 –x) = -5 –(-1) = -4  olur.

xà-1

 

kaynak: matematikcafe.net

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir