Bir Fonksiyonun Limiti
Tanım.
y = f(x)fonksiyonu x = a noktası civarında tanımlı bir fonksiyon olsun.Bu fonksiyonun, x in a ya yaklaşması (x àa) halinde limitinin b ye eşit olması (yàb) demek, istenildiği kadar küçük bir e > 0 sayısı seçildikten sonra:
|x – a| < g
olduğu zaman
| f (x) – b| < e
olacak şekilde bir g = g (e) pozitif sayının bulunabilmesi demektir.
Bu taktirde x,a ya yaklaştığı zaman f (x) fonksiyonun limiti b dir denir ve işaretle:
lim f (x) = b
x = a
şeklinde gösterilir.
ÖRNEK 1. lim (2x + 1) = 5 olduğunu gösteriniz.
e sayısı verilmiş olsun.
|(2x + 1) – 5| < e
şartının sağlanması için:
|2x – 4| < e
|x – 2| < e
2
olmalıdır ki bu da bize g = e olacağını gösterir.e seçilmiş olduğuna göre bunun yarısı olarak ta
2
g bulunmuş olacaktır.
İhtar:Bir fonksiyonun xàa halinde limitin mevcut olabilmesi için fonksiyonun x = a için tanımlı olması gerekli değildir.Bu taktirde fonksiyonun x = a civarındaki (fakat a dan farklı) değerleri göz önünde tutularak limiti hesaplanır.
ÖRNEK 2. lim x – 9 = 6 olduğunu gösteriniz.
xà3 x – 3
Fonksiyon x = 3 için tanımlı değildir.Verilen limitin doğru olabilmesi için :
|x – 3| < g
halinde
|x – 9 _6| < e
|x – 3 |
eşitsizliği sağlanmalıdır.x = 3 için :
|(x – 3 )(x + 3) _6| = |(x + 3)- 6 | = |x – 3 | < e
| (x – 3) |
elde edilir ki, e ne olursa olsun (1) in sağlanabilmesi için (2) nin sağlanması gerekir.(2) de ise g = e olduğu görülmekle xà3 halinde verilen fonksiyonun limitinin 6 ya eşit olduğu görülür.
Soldan Limit ve Sağdan Limit
F(x) = sgn x fonksiyonun aşağıdaki grafiğine bakarak şunları söyleyebiliriz.Sıfıra soldan (artarak) yakınsayan bir xn dizisi için f nin görüntü dizisi f(xn) = (-1) à -1, sıfıra sağdan (azalarak) yakınsayan xn dizisi için f nin görüntü dizisi f(xn) = (1) à 1 dir.Göründüğü gibi sıfıra farklı yönden yakınsayan dizilerin görüntü dizileri de farklı sayılara yakınsamaktadır.Söz gelimi, (xn) = (-1 /n), (xn) = (1/n) dizileri sıfıra , sıra ile , soldan ve sağdan yakınsamakta ve
lim f(xn) = lim (- 1) = -1 ; lim f(xn) = lim (1) = 1
n à8~ n à8~ n à8~ n à8~
dir.3-2.1. tanıma göre , f nin a = 0`da bir A limiti olabilmesi için, 0`a yakınsayan (hangi yönden olursa olsun) her (xn) dizisi için lim (f(xn) ) = A olmalıdır.Buna göre f(x) = sgn x in a = 0`da bir limiti yoktur.Ancak x in 0`a yaklaşım yönüne göre adlandırılan iki limit vardır: -1 ve +1.
A reel eksen üzerinde sabit ve x değişken (hareket eden) bir nokta olsun.x,a ya soldan (artarak) yada sağdan (azalarak) yaklaşır.Bu iki durum sıra ile xàa- ve xàa+ ile gösterilir.Çoğu kez, xàa- oluşu x a ve xàa+ oluşu x a ile gösterilir.xàa- iken x < a ve x à a+ ikende a<x olacağını unutmayınız.
3-2.10.TANIM:f:D Rà bir fonksiyon ve a € D olsun.Eğer lim f(x) = A1 ve lim f(x) =A2 ise A1 `e fonksiyonun a daki soldan limiti, A2`ye sağdan limiti denir.
Eğer A1 = A2 ise buna kısaca, f nin a daki limiti denir.Bu durumda lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) dir ve x in a ya yaklaşım yönünü belirtmeye gerek yoktur.
ÖRNEK:f(x) = sgn x . fonksiyonun x = 0 da soldan limiti = -1, sağdan limiti =1 dir.
ÖRNEK:f: R àR: f(x) = x +1:x<0 ise
x :x>0 ise
fonksiyonu için lim f(x) = 1 ve lim f(x) = 0 dır.
ÖRNEK:3-2.12. örnekteki f fonksiyonu için lim f(x) =2 = lim f(x) ve lim f(x) = 1 = lim f(x) olduğunu görünüz. xà-1 xà-1 xà1 xà13-2.10. tanımdaki A1 = + ,A1 = – ,A2 = + veya A2 = – ise bu durumlar sıra ile
lim f(x) = + , lim f(x) = – , f(x) = + veya
xàa- xàa- xàa+
lim f(x) = – biçiminde gösterilir.
Sonsuza Yaklaşan Fonksiyonlar.
Şimdiye kadar xàa veya xà halinde f(x) in bir b sonlu limitine yaklaşmasına inceledik.Şimdi de x herhangi bir değere yaklaştığı zaman f(x) in sonsuza yaklaşması halinde inceleyelim.
xàa halinde f(x) sonsuza yaklaşması veya xàa halinde f(x) in sonsuz büyük olması demek, N gibi istenildiği kadar büyük pozitif bir sayı seçildikten sonra
|x-a| < g
|f(x)|> N
olacak şekilde bir g>0 sayısının bulunabilmesi demektir.
Bu şekildeki bir limit:
lim f(x) = veya f(x)à
xàa
şeklinde gösterilir.xàa halinde f(x) in pozitif değerler veya negatif değer alarak sonsuza yaklaşma halleri de
lim f(x) = + ve lim f(x) = –
xàa xàa
işareti ile gösterilir.
ÖRNEK:lim 1 = + olduğunu gösteriniz.
xà1 (1-x)
Limit doğru ise N>0 olarak:
| 1 |>N
|(1-x) |
veya
(1-x) < 1 =g
N
Olması gerekir.Halbuki N i istenildiği kadar büyük bir sayı seçmek suretinle g istenildiği kadar küçük kılınabilir.
NOT:f(x) fonksiyonu x à a halinde sonlu ve sonsuz bir limite yaklaşmayabilir.
ÖRNEK:y =sinx fonksiyonu – < <+ aralığında tanımlıdır, fakat x à halinde bir limit mevcut değildir.
ÖRNEK:y = sin 1 fonksiyonu x = 0 değeri hariç, x in diğer bütün değerleri için tanımlıdır.Ancak xà0 halinde sonlu veya sonsuz bir limiti mevcut değildir.
Sınırlı Fonksiyonlar.
Tanım aralığındaki bütün x değerleri için |f(x)<M eşitsizliğini sağlayan bir M pozitif sayısı mevcutsa y = f (x) fonksiyonu sınırlı bir fonksiyondur denir.Böyle bir sayı mevcut değilse fonsiyonun göz önüne alınan aralıkta sınırlı olmadığı söylenir.
ÖRNEK:y = x + 2 fonksiyonu aşağıdan sınırlıdır.Zira daima x + 2> dir
ÖRNEK:y = sin x fonksiyonu – < x < + aralığında tanımlı ve sınırlıdır.Zira bütün x değeri için |sinx| < 1=M dir.
Çok Kullanılan Bazı Limitler
lim 1 =0
xà x
lim 1 = + , lim 1 = –
xà+0 x xà-0 x
lim 1 = + , lim 1 = 0
xà0 x xà x
l i m + g x = + , l i m t g x = –
x à _ _0 xà__+0
2 2
lim x sin 1 =0 (Çünkü, |sin 1 | < 1 ve |x| < e
xà0 x | x |
olduğundan |x sin 1 |< |x| < e dir.)
x
lim x = n > 0 ise 0 ; lim x = n > 0 ise
xà0 n< 0 ise xà n < 0 ise 0
a > 1 ise
a = 1 ise 1
lim a = (n > 0 ve a sabittir)
a < 1 ise 0
a < – 1 ise limit yoktur.
Limite ait esas teoremler
TEOREM 1. Sonlu sayıda fonksiyonun toplamının limiti, bunların limitleri toplamına eşittir.Yani
| lim (u1 + u2 + … + uk ) = lim u1 + lim u2 + ….. + lim uk |
dır.
İspat : İki fonksiyon alarak ispatı yapalım.
lim u = b lim v = c
xàa ; xàa
ise
lim (u + v ) = b+c
x à a
dır.u ve v nin x à a halinde limitlerinin b ve c olabilmesi için gerek ve yeter şart şudur.İstenildiği kadar küçük her e > 0 sayısına öyle g,g pozitif sayıları karşılık tutulabilir ki her:
|x – a| < g için |u – b| < e
2
ve her:
|x – a| < g için |v – c| < e
2
eşitsizlikleri sağlansın.g , g sayılarının her birinden küçük olan bir sayıyı g olarak seçelim.O taktirde |x – a| < g eşitsizliği sağlanmakla
|x – a| < g , |x – a| < g
eşitsizlikleri de sağlanır.Nihayet:
|u-b| < e , |v – c| < e
2 2
eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa :
|u – b| + |v – c| < e
elde edilir.Bir toplamın mutlak değeri terimlerinin mutlak değeri toplamından küçük veya ona eşit olup:
|u + v – (b + c)|<|u – b| + |v – c|<e
yazılabilir.Bunlara göre:
|u + v – (b + c)| < e
olarak u + v nin limitinin b + c olduğu gösterilmiş olur.
ÖRNEK 1.
lim x + 3x = lim 1+3 = lim 1 + lim 3 = 1 + 0 =1
xà x xà x xà xà x
ÖRNEK 2.
lim (2 sin x –cosx + cotg x)
xà__
2
= lim 2 sinx – lim cosx + lim cotgx
xà__ xà__ xà__
2 2 2
=2-0 + 0 = 2
TEOREM II.Sonlu sayıda fonksiyonun çarpımının limiti bunların limitlerinin çarpımına eşittir.Yani:
| lim u1.u2…uk = lim u1.lim u2…lim uk |
dir.
İspat: u ve v gibi iki fonksiyon alalım.
lim u = b , lim v = c
xàa xàa
olsun.uv çarpımının limitinin bc ye eşit olduğunu göstereceğiz.Bunun içinde uv-bc farkının sıfıra yaklaştığını göstermek gereklidir.
Bu fark:
uv – bc = u (v – c) + c (u – b)
şeklinde yazılabilir.Bu ifadenin ikinci tarafını teşkil eden terimlerden her birinin limiti,
lim u = b , lim v = c
ve
v – cà0 , u – bà0
olarak sıfırdır.Bunlara göre:
uv – bcà0
olup uv çarpımının limitinin bc olduğu gösterilmiş olur.
ÖRNEK3.lim sinx tg x =lim sin x . lim tg x =1.1=1
xà__ xà__ xà__
2 2 2
Bu teoremin bir sonucu olarak sabit bir çarpanın limit işareti dışına çıkarılabileceği söylene bilir.
ÖRNEK4. lim 3x = 3 . lim x = 3.25 = 75
xà5 xà5
TEOREM3.İki fonksiyonun bölümünün limiti bölenin limiti sıfırdan farklı olmak şartıyla bunların limiti bölüme eşittir.Yani
| lim u = lim uv lim v (lim v = 0) |
dir.
İspat:
lim u = b , lim v = c
olsun.Bu taktirde
lim u =b
v c
olduğunu göstereceğiz.Bunun içinde
u _ b
v c
farkının limitinin sıfır olduğunu göstermek yeterlidir.Bu fark
u _ b = c(u-b) – b(v – c)
v c cv
şeklinde yazılabilir.
u – b à 0 v – c à 0
olup ikinci tarafın payının limiti sıfırdır.O halde ikinci taraf sıfır limitine yaklaşacağından:
lim u = b
v c
dir.
ÖRNEK. lim (2x + 3)
lim 2x + 3 = xà1 =5 =1
xà1 3x-2 lim (3x – 2) 1
xà1
lim sin 2x
xà___
ÖRNEK.lim sin 2x =___4____ =1 =1
xà___ tgx lim tg x 1
4 xà__
4
ÖRNEK. lim ____x___à
xà2 x-2
TEOREM IV.Bir değişkenin n. Kuvvetinin limiti bu değişkenin limitinin n. Kuvvetine eşittir.
ÖRNEK. lim (x – 1) =[lim (x – 1)] = (4 – 1) = 9
xà2 xà2
ÖRNEKLER:
1)lim |x – 3x + 2| değeri kaçtır.
xà2 2 – x
Çözüm:
lim |x – 3x + 2| = lim |(x – 2)(x – 1) = lim |x – 2| . |x – 1| olur.
xà2 2 – x xà2 2 – x xà2 -(x – 2)
xà 2 için , x – 2 > 0 ve x – 1 > 0 olacağına göre,
lim |x – 2| . |x – 1| = lim (x – 2) . (x – 1) = lim (x – 1) = 2 – 1 = -1 olur.
xà2 -(x – 2) xà2 -(x – 2) xà2 -1 -1
2)lim x – 4x değeri kaçtır?
xà2 3x – 2
lim x – 4x = 2 – 4 . 2 = 4 – 8 = -1 olur.
xà2 3x – 2 3 . 2 – 2 6 – 2
3) lim ([x – 2] + |x + 1|) değeri kaçtır?
xà-1
lim ( [x – 2] + |x + 1| ) = lim ( [x] – 2 + | x + 1 | ) dir.
xà-1
x à -1 için, [x] = -2 ve x +1 < 0 olduğundan |x + 1 | = -x – 1 dir.
Buna göre,
lim ([x] – 2 + | x + 1 ) = lim (-2 -2 + ( -x – 1))
xà-1 xà-1
= lim (-5 –x) = -5 –(-1) = -4 olur.
xà-1