Geometrik Şekiller Konu Anlatımı

Düz ve eğri çizgilerle oluşturulan kapalı şekillere geometrik şekiller denir.

Geometrik şekiller kenar sayılarına göre adlandırılır. Üçgen, kare, dikdörtgen ve çember en çok bilinen geometrik şekillerdir. Ayrıca bir geometrik şekilde kenar sayısı, köşe sayısına eşittir.

NOT:  Geometrik şekillerde komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçalarına köşegen denir. Köşegenler komşu olmayan iki köşeyi, kenarlar ise komşu olan ili köşeyi birleştirir. Üçgenin bütün kenarları birbirine komşu olduğu için köşegeni yoktur. Çemberin ise kenarı olmadığı için köşegeni yoktur.

 

Üçgen;

Düzlemde doğrusal olmayan üç noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu geometrik şekle üçgen denir. Üç kenarındaki harflerin üzerine üçgen ifadesi konularak sembolize edilir.

Üçgenin içinin dolu hali üçgensel bölgedir. Üçgensel bölge, üçgenin iç alanı ve kendisinden oluşur.

Üçgenin özellikleri;

  • Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derece, dış açıları toplamı ise 360 derecedir.

 

 

  • Üç köşesi ve üç kenarı vardır.
  • Üçgenin kenarlar uzunluklarından bahsedilirken |AB|, |BC| ve |AC| ifadeleri kullanılır ve isimlendirilirken karşılarında bulunan köşelerin küçük harfleri ile isimlendirilirler. Yani C köşesinin karşısında bulunan kenar “c” kenarı olarak isimlendirilir.
  • Üçgenlerin köşe noktaları büyük harf ile isimlendirilir.
  •    Üçgenin kenarları [AB], [BC], [AC] doğru parçalarıdır.

  • Bir dış açısının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
  • Üçgenlerin köşegenleri yoktur.

 

Üçgenler kenar ve açılarına göre çeşitlilik gösterir.

Kenar uzunluklarına göre üçgenler;

Eşkenar üçgen

Bütün kenar uzunlukları aynı olan üçgenlere eşkenar üçgen denir. Bütün iç açıları 60 derecedir.

İkizkenar üçgen

İki kenarının uzunluğu birbirine eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. Bir ikizkenar üçgende aynı uzunluğa sahip iki kenarın karşıt açıları da eşittir.

 

Çeşitkenar üçgen

Bütün kenarlarının uzunluğu farklı olan üçgenlere çeşitkenar üçgen denir. Çeşitkenar üçgenin bütün açılarının ölçüleri birbirinden farklıdır.

 

Açılarına göre üçgenler;

Dar açılı üçgen

Her bir açısı 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir. Kenar uzunlukları iç açıların değerleri ile doğru orantılıdır. Büyün açının karşısında uzun kenar, küçük açının karşısında kısa kenar bulunur.

 

Dik Açılı Üçgen

İç açılarından herhangi birisinin ölçüsü 90 derece olan üçgenlere dik açılı üçgen denir. Dik açının karşısı üçgenin en uzun kenarı olan hipotenüstür. Bu kenar diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamına eşittir.

Geniş Açılı Üçgen

İç açılarından herhangi birisi 90 dereceden büyük olan üçgenlere geniş açılı üçgen denir. İç açılarından sadece bir tanesi 90 dereceden büyük olabilir.

 

Örn;

Yandaki üçgende “?” ile verilen açı kaç derecedir?

Cevap:

Bir üçgenin iki iç açısının toplamı kendisine komşu olmayan bir dış açının ölçüsüne eşittir. Bu durumda A ve D açılarının toplamı 120 derecedir.

? + 35 = 120 olduğuna göre “?” ile gösterilen A açısının ölçüsü 85 derecedir.

 

Örn;

ABC bir üçgen x, y, z dış açılar x + y – z = 160 derece ise z açısının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm;

x + y + z = 360 (üçgenin dış açıları toplamı)

-/ x + y + z = 160

2z = 200 -> z = 100 derece olarak bulunur.

 

Üçgenin çevresinin hesaplanması;

Üçgenin çevresi hesaplanırken üç kenarının uzunlukları toplanır.

 

 

Üçgenin alanının hesaplanması;

Üçgenin alanı bulunurken yüksekliği ile bu yüksekliğin indiği kenar uzunluğu çarpılıp sonuç 2’ye bölünür.

 

 

Kare;

Eşit uzunluktaki dört çizginin birleştirilmesiyle oluşturulan kapalı geometrik şekillerdir. Bütün kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Karenin içinin dolu hali karesel bölgedir. Karesel bölge, karenin iç alanı ve kendisinden oluşur.

 

Karenin özellikleri;

  • Dört kenarı ve dört köşesi vardır.
  • Bütün kenarlarının ([AB], [BC], [CD], [DA]) uzunlukları birbirine eşittir.
  • |AB| = |BC| = |CD| = |DA|
  • Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
  • İki köşegeni vardır ve bu köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir.

  • Karenin köşegenleri birbirini dik ortalar ve kenarlarla yaptıkları açılar 45’er derecedir.
  • Bir kenarı a olan karenin köşegeninin uzunluğu

|AC| = |BD| = a√2 ‘dir.

  • Karenin bütün açıları 90 derecedir ve iç açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.

NOT: Kare; paralelkenar, eşkenar dörtgen ve dikdörtgenin bütün özelliklerini sağlar.

Karenin çevresinin hesaplanması;

Karenin kenar uzunlukları birbirine eşit olduğundan, çevresi; tüm kenarlarının toplamına yani bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir.

Ç = a + a + a + a = 4.a ‘dır.

 

Karenin alanının hesaplanması;

Karenin bütün kenarları eşit uzunlukta olduğundan birbirine komşu iki kenarın çarpımı (a x a) karenin alanına eşittir. Yani karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.

A = a x a = a²

 

Örn;

Çevresi 24 cm olan bir karenin alanı nedir?

Çözüm;

Karenin çevresinin uzunluğu bir kenarının 4 katına eşittir. Eğer bir kenarın uzunluğuna a dersek;

24 = a x 4

a = 24 / 4 = 6 olur.

Bir kenarının uzunluğunu bulduğumuz karenin alanı için bu kenarın karesini alırız.

A = 6 x 6 = 36 cm² dir.

 

Dikdörtgen;

Karşılıklı uzunlukları eşit olan dört çizginin birleştirilmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillerdir. Dikdörtgenin içinin dolu hali dikdörtgensel bölgedir. Dikdörtgensel bölge, dikdörtgenin iç alanı ve kendisinden oluşur.

Dikdörtgenin özellikleri;

  • Dört kenarı ve dört köşesi vardır.

  • Karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir.

|AB| = |DC| ve  |AD| = |BC|

  • Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
  • İki köşegeni vardır ve bu köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir.
  • Bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunun karesi farklı iki kenarının uzunluğunun karelerinin toplamına eşittir.

a² + b² = c²

  • Dikdörtgenin bütün açıları 90 derecedir ve iç açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.

Dikdörtgenin çevresinin hesaplanması;

Dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olduğundan, çevresi; komşu iki kenarın toplamının 2 katına eşittir.

Ç = a + a + b + b = 2 ( a + b) ‘dir.

 

Dikdörtgenin alanının hesaplanması;

Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit uzunlukta olduğundan birbirine komşu iki kenarın çarpımı (a x b) dikdörtgenin alanına eşittir.

A = a x b

 

Çember ;

Düzlemde bir noktaya eşit uzaklıkta noktalar alın ve bu şekilde sonsuz tane aynı uzaklıkta nokta bulduğunuzu düşünün. Bu noktaların birleştirilmesi ile oluşan şekle çember denir.

 

Çemberin elemanları;

Merkez : Çember çizerken sabit nokta olarak aldığımız nokta çemberin merkezidir. Diğer bir deyişle çemberin iç bölgesinde bulunan ve çemberi oluşturan noktalara eş uzaklıkta bulunan noktaya merkez denir.

Yarıçap : Çemberin merkezi ile çember üzerindeki noktaları birleştiren doğru parçalarına çemberin yarıçapı denir. “r” ile gösterilir.

Çap : Bir çemberin merkezinden geçen ve çemberi iki eşit parçaya bölen doğru çizgisine çap denir. Yarıçapın 2 katı uzunluğundadır.

NOT: Çemberlerin; eni, boyu, kenarı veya köşesi yoktur. Sadece çevresi hesaplanabilir. Çemberin çevresinin hesaplanabilmesi için çapının veya yarıçapının bilinmesi gerekir.

Çemberin çevresinin hesaplanması ;

Çemberin çevresini hesaplamak için π (pi) sayısından yararlanırız. Çemberin çevresi yarıçapının 2π katına eşittir.  Pi sayısı π ile gösterilir ve yaklaşık olarak 3,14 olarak kabul edilir. Aslında virgülden sonraki kısmı sonsuza kadar uzayan bir sabit sayıdır.

Ç = 2 π r

 

Çemberin Düzlemde Ayırdığı Bölgeler;

 Çember bulunduğu düzlemi üç bölgeye ayırır. Bu bölgeler çemberin iç bölgesi, dış bölgesi ve üzeridir. Çemberin iç bölgesindeki bir noktanın (C) merkeze uzaklığı yarıçaptan küçüktür. Çemberin dış bölgesindeki bir noktanın (B) merkeze uzaklığı yarıçaptan büyüktür. Çemberin üzerindeki bir noktanın (A) merkeze uzaklığı yarıçapa eşittir.

 

Daire;

Çember tarafından sınırlandırılan düzlemsel alana yani çember ve çemberin iç bölgesinin birleşimine daire denir. Buna göre çemberin her noktası dairenin elemanıdır.  Fakat dairenin iç bölgesine ait noktalar çemberin elemanı değildir.

Dairenin Özellikleri;

  • Yarıçapları eşit iki daire birbirine eşittir.
  • Alanı ve çevresi vardır.
  • Çemberde olduğu gibi dairenin de bir merkezi (M), çapı (2r) ve yarıçapı (r) vardır.

 

Dairenin çevresinin hesaplanması;

Daire, bir çember ve çemberin iç bölgesinden oluşur. Yani çember ile dairenin çevrelerini aynı şekilde hesaplarız. Buna göre dairenin çevresi de çemberin çevresi gibi yarıçapının 2π katına eşittir.

Ç = 2 π r

Dairenin alanının hesaplanması;

Dairenin alanı yarıçap uzunluğunun karesi ile pi sayısının çarpımına eşittir.

A = π r²

 

Bir cevap yazın