İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Çözümlü Sorular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Çözümlü Sorular ve problemlerin olacağı bu yazımızda 2. dereceden denklemler ile ilgili kolay, orta ve zor düzeyde hazırlanmış ve sınavlarda çıkmış sorulardan oluşan örnekler paylaşacağız.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler konusu genellikle  7.sınıf ,10. sınıf, 11. sınıf ve 12. sınıf derslerinde işlenen bir konudur. 2. dereceden sorular olduğundan dolayı matematiğin zor konularından biridir.

Çözümlü sorulara başlamadan önce İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Konu Anlatımı yazımızı da inceleyebilirsiniz.

Soru: 6 x² + ( 2 m +1 ) x – 1 = 0 denkleminin köklerinden biri 1/2 ise m değerini bulunuz.

Cevap: denklemin köklerinden biri 1/2 olduğuna göre x yerine yazarak çözüm sağlayalım arkadaşlar.

6 (1/2)² + ( 2 m +1 ).1/2 – 1 = 0

3/2 + m + 1/2 – 1 = 0

m + 2 – 1 = 0

m = -1 olur.

 

Soru: x² + 4 x + 2 = 0 denkleminin köklerinden küçük olanı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap: Çarpanlarına ayırabilmek için sorudaki denklem de 2 değerine 2 ekleyip 2 çıkartalım arkadaşlar.

x² + 4 x + 4 – 2 = 0 olur. Bunu da çarpanlarına ayırırsak;

(x + 2)² – 2 = 0

(x + 2)² = 2 olur. Bununda karekökünü alırsak

|x + 2| = √2 olur. Burdan da iki kökü bulursak;

x + 2 = √2 den  x1 = √2 – 2

x + 2 = -√2 den  x2 = -√2 – 2

Bu durumda en küçük kök -√2 – 2  dir.

 

Soru: a ≠ 0 olmak üzere x² – ( 1 – 2 a ) x + a² ifadesi tam karedir. Buna göre a kaçtır?

Cevap: Sorudaki denklem tam kare olduğuna göre x² ve a² ifadesi tam karenin açılımının başındaki ve sonundaki değerlerdir.

O halde denklemin ortasındaki ( 1 – 2 a ) x  in 2ax e eşit olması gerekiyor.

O halde 1 – 2a = 2a olur

a = 1/4 olarak buluruz.

 

Soru: t ≠ –1 olmak üzere ( t + 1 ) x² – 2 t x + t – 2 = 0 denkleminin diskriminantı 16 ise t kaçtır?

Cevap: diskriminantı formülü Δ = b² – 4ac dir.

Bura da a = t+1,  b = -2t,   c= t-2 dir. Değerleri formülde yerine koyarsak

(-2t)² – 4.(t + 1).(t-2) = 16

4t² – 4.(t² – t – 2) = 16

4t² – 4t² + 4t + 8 =16

4t = 8 den t = 2 olarak buluruz.

 

Soru: a ve b rasyonel sayılar olmak üzere 4 x² + a x + b = 0 denkleminin köklerinden biri 2 – √3 tür. Buna göre a – b farkını bulunuz.

Cevap: x1 =  2 – √3 ise x2 =  2 + √3 tür. arkadaşlar. Bu durumda

x1 + x2 = 2 – √3 + 2 + √3 = 4 olur.

Şİmdi aşağıdaki formülleri hatırlayarak soruyu çözelim.

x1 + x2 = 4 oalrak bulmuştuk. Yani 4 = -a/4 ten a = – 16 olur.

x1 . x2 = (2 – √3) . (2 + √3) = 1 olur. Bu değer de formülde;

x1 . x2 = 1 = b/4 olur ve b = 4 olarak bulunur.

a – b ise – 16 – 4 = -20 olarak buluruz.

 

Soru: m ≠ n olmak üzere x² – m x + n + 4 = 0 ve x² – n x + n + 4 = 0 denklemlerinin birer kökleri ortaktır. Buna göre n değerini bulunuz.

Cevap: Denklemlerin birer kökü ortak olduğuna göre bu ortak kök değerine k diyelim arkadaşlar.

Şİmdi aşağıdakiçarpma  formülünü hatırlayarak soruyu çözelim.

Not: Birinci denklemde diğer köke t, 2. denklemde diğer köke p diyelim.

x² – m x + n + 4 = 0 denklminde kökler çarpımı c/a dan k.t = n + 1 olur.

x² – n x + n + 4 = 0 denklminde kökler çarpımı c/a dan k.p = n + 1 olur.

Köklerin çarpımı eşit olduğuna göre k.t = k.p olur ve

Buradan da t = p çıkar. Ama soruda birer kökün eşit olduğu belirtildiği için

n + 4 = 0 olmalı. Buradan da n = – 4 olur.

 

Soru: x² – 2 x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olarak veriliyor. R e ( x1 + x2 ) değerini bulunuz.

Cevap: Hatırlayacağınız üzere kökler toplamını -b/a formülünden buluyorduk.

O halde x1 + x2 = -(-2)/1 den 2 olarak buluruz.

 

Soru: x² – 3 x + 2 m – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Köklerden biri diğerinin 2 katından 1 fazla olduğuna göre m kaçtır?

Cevap: x1 = 2x2 + 1 olur. x1 + x2 toplamında x1 yeni bu eşitliği yazarsak;

x1 + x2 = 2x2 + 1 + x2 = 3 olur.

3x2 + 1 = 3 olur ve  x2 = 2/3 olur.

x1 = 2x2 + 1 demiştik. x1 = 2.2/3 + 1 = 4/3 + 1 = 7/3 olur.

Kökler çarpımı formülü = c/a idi. Yani (2m – 1) /1 den 2m – 1 dir.

x1 . x2 = 2/3 . 7/3 = 14/9 yapar ve bu değerde 14/9 = 2m – 1 dir.

14 = 18m – 9

m = 23/28 olarak buluruz.

 

Soru : İlk sorumuzla başlayalım.

Soru : İkinci sorumuza geçip konuyu iyice kavrayalım.

2. dereceden denklemin köklerini bulma ile ilgili problemler yapalım;

Soru: ilk sorumuzla başlayalım

Soru ; konuyu biraz daha zorlaştıralım.

Soru : soruyu biraz karmaşık hale getirelim.

Soru:

Soru:

Soru:

Soru:

Soru:

2. dereceye dönüştürülebilen denklemlerin çözümü ile ilgili problemler;

Soru:

Soru:

Köklü denklemler ile ilgili problemler yapalım şimdide;

Soru:

Soru:

Son olarakta mutlak değerli denklemler ile ilgili problemler yapalım.

Soru:

Soru:

Soru:

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.