İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Konu Anlatımı

10. Sınıf Matematik İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Konu Anlatımı Pdf dersine hoş geldiniz sevgili arkadaşlar. Konu anlatımını başlık başlık inceleyip, formülleri paylaşıp, birer de çözümlü örnek sorular yaparak anlatım sağlayacağız.

a ≠ 0 ve a, b, c birer gerçek sayı olmak üzere, ax² + bx + c = 0 ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. a, b ve c sayılarına denklemin katsayıları, denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü denir. Ayrıca denklemi sağlayan x değerlerinin kümesi denklemin çözüm kümesidir.

 

Çarpanlara Ayırma Yöntemi ile Denklem Çözümü

Bu yöntemde ax² + bx + c = 0 denklemi çözülürken ax² + bx + c ifadesi çarpanlarına ayrılır. Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek denklemin kökleri bulunur.

Örnek: 5 x² – 15 x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

5x2 – 15x ifadesi çarpanlarına ayrılırsa 5(x2 – 3x) = 5x(x -3) olur.

5x(x -3) = 0 ise 5x = 0 veya x – 3 = 0 olmalıdır.

5x = 0 ⇒ x = 0 , x – 3 = 0 ⇒ x = 4 olur.

Denklemin kökleri x1 = 0 ve x2 = 3 , denklemin çözüm kümesi { 0, 3 } bulunur.

 

Tam Kareye Tamamlama Yöntemi ile Denklem Çözümü

Tam kareye tamamlama yöntemi ile ax² + bx + c = 0 denklemi çözülürken ax² + bx + c ifadesi düzenlenerek veya terim eklenip çıkarılarak denklem içinde tam kare bir bölüm elde edilir. Elde edilen ifade iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılarak çarpanlarına ayrılır ve çarpanlar sıfıra eşitlenerek çözüm kümesi bulunur.

Örnek: x2 – 10x + 27 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

x2 – 10x + 27 = 0 denklemindeki 27 sayısını 25 + 2 olarak yazalım.

x2 – 10x + 25 + 2 = 0

(x – 5)2 + 2 = 0 olur.

(x – 5)2 = -2 çıkar. bir sayının karesi eksili bir değer olamadığı için

ÇK = Ø olur.

 

ax² + bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Genel Çözümü

a ≠ 0 için ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri  aşağıdaki formül ile bulunabilir. Burada b² – 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve Δ ile gösterilir.

Örnek: x² + 6x + 9 = 0 denklemlerinin çözüm kümelerini diskriminant kullanarak bulalım

x² + 6x + 9 = 0 denkleminde, a = 1 , b = 6 ve c = 9 dur.

Δ = b² – 4ac ⇒ Δ = 6² – 4.1.9

= 36 – 36 dan = 0 dır.

Denklemin x1 = x2 = –3 şeklinde eşit iki kökü vardır.

 

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde Köklerin Varlığı

a ≠ 0 için ax² + bx + c = 0 denkleminde Δ = b² – 4ac olmak üzere;

  • Δ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır. Bu kökler;

dir.

 

  • Δ =0 ise denklemin eşit iki gerçek kökü ( çakışık iki kökü veya iki katlı kökü ) vardır. Bu kökler; x1 = x2 = -b/2a dır.

 

  • Δ< 0 ise denklemin gerçek kökü yoktur. Başka bir deyişle, bu denklemin gerçek sayılarda çözüm kümesi boş kümedir.

 

Örnek: Aşağıda verilen denklemlerin köklerinin varlığını inceleyelim.

a. x² + 6 x + 11 = 0      b. x² – 13x – 3 = 0      c. 4 x² + 12 x + 9 = 0

a) x² + 6 x + 11 = 0  denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;

Δ = 6² – 4.1.11

Δ = – 8  çıkan sonuç 0 dan küçük olduğu için kök yoktur.

b) x² – 13x – 3 = 0  denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;

Δ = (-13)² – 4.1.-3

Δ =169 + 12 = 181 yapar.

formülünde değerleri yerine koyarsak;

x1,2 = (-(-13) ± √181)/2.1

x1,2 = (13 ± 9√2)/2 olarak buluruz.

c) 4 x² + 12 x + 9 = 0 denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;

Δ = 12² – 4.4.9

Δ = 144 – 144 = 0 olur. Bu durumda kökler eşittir. -b/2a formülünden;

x1 = x2 = -12/8 = -3/2 olarak buluruz.

 

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki İlişkiler

a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Bu köklerin toplamı ve çarpımı ile denklemin katsayıları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır.

Örnek: x² + 3x – 6 = 0 denkleminde kökler toplamını ve çarpımını bulalım.

x² + 3x – 6 = 0 denkleminde katsayılar a = 1 , b = 3 , c = -6 dır.

Denklemin kökleri x1 ve x2 ise ,

x1 + x2 = – b/a = 3/1 = 3 olur.

x1 . x2 = c/a = – 6/1 = – 6 olur.

 

Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemin Oluşturulması

Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem x² – ( x1 + x2 ) x + x1 . x2 = 0 şeklinde yazılabilir.

Örnek: Kökleri x1 = 1/2 ve x2 = –2 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

x1 = 1/2 ,  x2 = –2 ⇒ x1 + x2 = -3/2 ,  x1 . x2 = –1 olur.

x² – ( x1 + x2 ) x + x1 . x2 = 0 formülünden;

x² +  3x/2 – 1 = 0 olarak sonucu buluruz.

 

Konu anlatımı dersimizin burada sonuna geldik arkadaşlar. Dilerseniz konuyu pekiştirmek için çözümlü sorular sayfamızıda ziyaret edip soruları inceleyebilrisiniz.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Çözümlü Sorular

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.