İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Varlığı ve İşareti

11. Sınıf Matematik İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Varlığı ve İşareti Konu Anlatımı, Formülleri, Problemleri ve Çözümlü Sorualrın olacağı yazımıza hoş geldiniz sevgili arladaşlar.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde Köklerin Varlığı

a ≠ 0 için ax² + bx + c = 0 denkleminde Δ = b² – 4ac olmak üzere;

  • Δ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır. Bu kökler;

dir.

 

  • Δ =0 ise denklemin eşit iki gerçek kökü ( çakışık iki kökü veya iki katlı kökü ) vardır. Bu kökler; x1 = x2 = -b/2a dır.

 

  • Δ< 0 ise denklemin gerçek kökü yoktur. Başka bir deyişle, bu denklemin gerçek sayılarda çözüm kümesi boş kümedir.

 

Örnek: Aşağıda verilen denklemlerin köklerinin varlığını inceleyelim.

a. x² + 6 x + 11 = 0      b. x² – 13x – 3 = 0      c. 4 x² + 12 x + 9 = 0

a) x² + 6 x + 11 = 0  denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;

Δ = 6² – 4.1.11

Δ = – 8  çıkan sonuç 0 dan küçük olduğu için kök yoktur.

b) x² – 13x – 3 = 0  denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;

Δ = (-13)² – 4.1.-3

Δ =169 + 12 = 181 yapar.

formülünde değerleri yerine koyarsak;

x1,2 = (-(-13) ± √181)/2.1

x1,2 = (13 ± 9√2)/2 olarak buluruz.

c) 4 x² + 12 x + 9 = 0 denklemii için Δ = b² – 4ac formülünden;

Δ = 12² – 4.4.9

Δ = 144 – 144 = 0 olur. Bu durumda kökler eşittir. -b/2a formülünden;

x1 = x2 = -12/8 = -3/2 olarak buluruz.

 

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki İlişkiler

a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Bu köklerin toplamı ve çarpımı ile denklemin katsayıları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır.

Örnek: x² + 3x – 6 = 0 denkleminde kökler toplamını ve çarpımını bulalım.

x² + 3x – 6 = 0 denkleminde katsayılar a = 1 , b = 3 , c = -6 dır.

Denklemin kökleri x1 ve x2 ise ,

x1 + x2 = – b/a = 3/1 = 3 olur.

x1 . x2 = c/a = – 6/1 = – 6 olur.

 

Örnek: x2 + 3x + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Cevap: Soruda verilen denklem çarpanlarına ayrılamıyor. Bu nedenle de denklemin köklerini delta formülü ile bulmamız gerekiyor.

Denklemde a = 1, b = 3 ve c = 7 dir arkadaşlar. Verilenlere göre denklemin diskriminantına bakacak olursak;

∆ = b2 – 4ac → ∆ = 32 – 4.1.7 → ∆ = -19 olur.

∆ sıfırdan küçük olduğu için bu denklemin kökleri yoktur arkadaşlar.

Ç.K = { }

 

Örnek: x²+5x+3=0 denkleminin köklerini bulunuz?

Cevap: Denklem çarpanlarına ayrılmıyor. O halde kökleri Diskriminant yardımıyla bulacağız.

Delta=∆=b²-4ac olduğundan

∆=25-4.3.1=13

∆>0 olduğundan iki tane kök vardır. O halde aşağıdaki formülümüze göre;

Denkemin kökleri aşağıdaki gibi olur.

 

Soru: x² – 2 x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olarak veriliyor. R e ( x1 + x2 ) değerini bulunuz.

Cevap: Hatırlayacağınız üzere kökler toplamını -b/a formülünden buluyorduk.

O halde x1 + x2 = -(-2)/1 den 2 olarak buluruz.

 

Soru: x² – 3 x + 2 m – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Köklerden biri diğerinin 2 katından 1 fazla olduğuna göre m kaçtır?

Cevap: x1 = 2x2 + 1 olur. x1 + x2 toplamında x1 yeni bu eşitliği yazarsak;

x1 + x2 = 2x2 + 1 + x2 = 3 olur.

3x2 + 1 = 3 olur ve  x2 = 2/3 olur.

x1 = 2x2 + 1 demiştik. x1 = 2.2/3 + 1 = 4/3 + 1 = 7/3 olur.

Kökler çarpımı formülü = c/a idi. Yani (2m – 1) /1 den 2m – 1 dir.

x1 . x2 = 2/3 . 7/3 = 14/9 yapar ve bu değerde 14/9 = 2m – 1 dir.

14 = 18m – 9

m = 23/28 olarak buluruz.

 

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.