Köklü Sayılar Konu Anlatımı

Kareköklü Sayılar Konu Anlatımı Pdf dersinin olacağı bu yazımızda genellikle 8. Sınıf ve 9. Sınıf derslerinde işlenen köklü ifadeler konu anlatımı nı işleyeceğiz sevgili öğrenciler.

Konu anlatımını, çözümlü sorularla destekleyecek şekilde hazırladık ve böylece konuyu daha iyi anlayabileceğinizi düşünüyoruz.

Tam Kare Doğal Sayılar

Sıfırdan farklı bir tam sayının karesi olan (yani kendisi ile çarpıldığında elde edilen) sayılara tam kare (karesel) sayılar denir. Hiçbir zaman negatif olamazlar. Bu yüzden tam kare sayıların tümü doğal sayı kümesinde yer alır.

Tam kare doğal sayılara en iyi örnek karenin alanıdır. Karenin alanı bir tam kare sayıya eşit olup  kenarının karesi alınarak bulunur.

Karekök Nedir ?

Karekök alma, negatif olmayan bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Tam kare bulma işleminin tam tersidir.  “√ ” sembolü ile gösterilir. √x ifadesi için “ karekök x” şeklinde okunur.

 

  • Tam kare olmayan sayıların karekökü, tam sayı değildir.
  • Karekök alma işlemi alanı verilen bir karenin bir kenar uzunluğunu bulmaya eş değerdir.
  • Karekök işleminin sonucu negatif olmaz, sonuç ya 0 ya da pozitif bir sayıdır.

4 . 4 = 16

(-4) . (-4) = 16

Buna göre 4 ve  – 4 sayılarının karesi için kök alma işlemi yapıldığında √16 ifadesinin sonucu 4’ eşittir. Yani pozitif bir sayıdır.

Kök içindeki tam sayıları kök dışına çıkarma ;

Karekök içerisindeki tam sayılar, karekök dışına tam sayı olarak çıkar.

Çarpanlara ayrılmış bir tam kare sayıyı kök dışına çıkarma;

Çarpanlarına ayrılmış bir tam kare sayı karekökünün dışına çıkarılmak istendiğinde tüm çarpanların kuvvetleri 2 ye bölünür.

Karekök içerisindeki bir sayının tam kare olup olmadığını, asal çarpanlarına ayırarak anlayabiliriz. Bir tam sayı asal çarpanlarına ayrıldığında tüm asal çarpanlarının kuvvetleri çift sayı ise, bu sayı bir tam kare sayıdır. En az bir asal çarpanın kuvveti tek sayı ise, tam kare değildir.

  ifadesinde ki tüm kuvvetler ( 4 ve 10 ) çifttir. Yani bu bir tam karedir.

Tam kare olmayan bir sayıyı kökten çıkarma;

Tam kare olmayan bir sayı kökten tam sayı olarak çıkarılamaz. Bu sayı ancak a√b şeklinde yazılarak ifade edilir. Karekök sayıyı bu şekilde yazabilmek için;

  1. Karekök içindeki sayı asal çarpanlarına ayrılır.
  2. Çarpanlarından tam kare olan sayı veya sayılar karekök dışına çıkarılır ve bu sayılar çarpılır.
  3. Tam kare olmayan sayı veya sayılar çarpılarak karekök içine yazılır.

 

 

a√b  şeklinde verilen bir sayıda, katsayıyı (a) karekök içine almak için:

  1. Katsayının karesi bulunur
  2. Katsayının karesi ile karekök içindeki sayı çarpılır.

NOT: Kat sayısı yazılamayan kareköklü ifadelerin katsayısı 1’dir.  a√b  ifadesinde  a katsayısıyla kareköklü ifade çarpma durumundadır. a√b  = a. √b şeklindedir.

 

Tam Kare Olmayan Kareköklü Bir Sayının Hangi İki Doğal Sayı Arasında Olduğunu Belirleme

Tam kare olmayan kareköklü bir sayının hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulmak için:

  1. Karekökün içindeki sayının hangi iki tam kare sayı arasında olduğu bulunur.
  2. Bulunan tam kare sayıların karekökü alınır.

20 = √4.5 yani √20, 4 ile 5 arasındadır. 4 = √16 ve 5 = √25 ise16 < 20 < 25’dir.

Eğer hangi tam sayılar arasında olduğunu bulacağımız köklü ifade negatifse;

  1. Başında eksi işareti olmasaydı hangi tam sayılar arasında olacağı bulunur.
  2. Bulunan tam sayılar büyükten küçüğe doğru sıralanır.
  3. Sıralan sayılar – 1 ile çarpılarak büyüktür işaretleri ters çevrilir.

 

Örn; -√30 ‘in hangi tam sayılar arasında olduğunu bulalım.

Çözüm;

Öncelikle √30 in hangi tam sayılar arasında olduğu bulunur.

30’den küçük tam kare sayıların en büyüğü 25’dır. 30’den büyük tam kare sayıların en küçüğü 36’tir. 25 ve 36’in karekökleri sırasıyla 5 ve 6 olduğundan √30 sayısı 5 ile 6 arasındadır.

Sonra bu tam sayılar büyükten küçüğe doğru sıralanır.

√36 > √30 > √25

-√30 negatif bir sayı olduğu için yapılan sıralama -1 ile çarpılarak büyük küçüktür işaretinin yönü değiştirilir.

-√36 < -√30 < -√25

Buna göre -√30 sayısının -6 ile -5 arasında olduğunu söyleyebiliriz.  -6 < -√30 < -5 arasındadır.

Kareköklü ifadelerde Çarpma ve Bölme İşlemi

Çarpma ;

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken varsa önce katsayılar kendi aralarında çarpılarak sonuca katsayı olarak yazılır. Ardından kök içindeki sayılar çarpılarak sonucu kök içerisine yazılır ve kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

Örn: Mavi karenin alanını hesaplayınız.

Bir dikdörtgenin alanı uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımı yapılarak bulunur.

√5 . 2√5 işlemi için önce katsayılar sonra kök içindeki değerler çarpılır.

√5 . 2√5 = 2√5.5 = 2.5 = 10 birim karedir.

NOT: Karekök içinin aynı olduğu durumlarda köklü sayı direk kök dışına çıkartılabilir. √a. √a = √a.a = a

 Bölme ;

Kareköklü ifadelerde bölme işlemi yapılırken, önce varsa katsayılar kendi aralarında bölünür ve katsayı biçiminde yazılır. Sonra karekökün içindeki sayılar kendi aralarında bölünerek karekökün içine yazılır.

Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemi

Toplama;

Karekök içleri aynı olan kareköklü sayılar toplanırken katsayılar toplanır, toplam katsayı olarak ortak kareköke yazılır.

Örn; √7 + 2√3 + √28 işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm ;

Toplama işlemi yapabilmek için karekök içindeki ifadelerin aynı olması gerekir. Bu yüzden √28 sayısını a√b şeklinde yazalım.

√28 = √2.2.7 = 2√7

Bulduğumuz ifadeyi yerine yazarak toplama işlemini yapalım.

√7 + 2√3 + √28 = √7 + 2√7 + 2√3

Çıkarma;

Karekök içleri aynı olan kareköklü sayılar çıkarılırken katsayılar çıkarılır, fark katsayı olarak ortak kareköke yazılır.

Örn ;  (√12 + √75) + (3√125 – √27) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm;

Toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için karekök içindeki ifadeleri a√b şeklinde yazalım.

Kareköklü ifadeler a√b şeklinde yazılır. Karekök içi aynı olan ifadeler toplanır. Karekök içi aynı olan ifadeler çıkarılır.

(√12 + √75) + (3√125 – √27) = (√4.3 + √25.3) + (3√25.5 – √9.3)

= (2√3 + 5√3) + (3.5√5 – 3√3)

= 7√3 + 15√5 – 3√3

= 4√3 + 15√5 olur.

Ondalık İfadelerin Kareköklerini Belirleme

Kesir olarak ifade edildiğinde paydı ve paydası tam kare olan bir ondalık gösterimin karekökünü bulmak için öncelikle ondalık gösterim kesir olarak yazılır. Payın ve paydanın karekökleri bulunur. Ardından bulunan kesir ondalık gösterim ile ifade edilir.

 

Gerçek Sayılar

İki tam sayının birbirine oranı (a/b , b≠0) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı, yazılamayan sayılara ise irrasyonel sayı denir.

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşmesi ile oluşan sayılarak gerçek sayılar denir. Gerçek sayılar “R” ile gösterilir.

Örn;

NOT: Devirli bir ondalık gösterimi, rasyonel sayı şeklinde yazmak için; sayının tamamından devretmeyen kısmı çıkarılarak paya yazılır. Paydaya ise ondalık kısımdaki devreden basamak sayısı kadar 9 ve devretmeyen basamak sayısı kadar 0(sıfır) yazılır.

Örn; sayısını rasyonel şekilde yazınız.

Veri Analizi

Veri analizi yapabilmek için genellikle grafiklerden yararlanırız. Grafikler, verileri görsel hale getirmemize, hesaplamalar yaparak sonuçları yorumlamamıza ve sonuçlara dayalı olarak tahminler yapmamıza imkan verir. Grafiklere baktığımızda sayısal verileri daha hızlı ve kolay anlaşılabilir. Ayrıca grafiklerin en önemli özelliği bilgiyi özetlemesi ve ilişkileri  görünür hale getirmesidir.

Verileri görselleştirmek adına kullanabilecek 4 farklı grafik vardır.

  • Sütun grafikleri
  • Daire grafiği
  • Çizgi grafiği
  • Histogram

Sütun Grafiği ;

Gruplanabilen ve farklı cinsten olan verileri göstermek için kullanılan uygun grafik türü sütun grafiğidir. Sütun grafiğinde verilerin sürekli olması gerekmez. Gelir gider durumları, nüfus, ithalat ve ihracat miktarları gibi karşılaştırma gerektiren durumlarda sütun grafiği kullanılması daha uygundur.

NOT: Sütun grafiklerinin yorumlanmasında sütun yükseklikleri dikkate alınır, sütun genişlikleri dikkate alınmaz.

Daire Grafiği;

Bir bütünü oluşturan parçaları göstermek için kullanılan uygun grafik türü daire grafiğidir. Bölgelere veya illere göre nüfus dağılımı, seçim sonuçları ve bütçe dağılımının değerlendirilmesi gibi durumlarda daire grafiği kullanılması daha uygundur.

Çizgi Grafiği ;

Çizgi grafiği, sürekliliği olan verilerin değişimini incelemek için kullanılan uygun grafik türüdür. Meteorolojide, hastanelerde, borsada değerlerin değişimini göstermek ve izlemek için çizgi grafiği kullanılması daha uygundur.

Histogram;

Bir veri dizisindeki değişikliklerin sınıflandırılması ve bunların dağılımının çubuklar ile gösterilmesine histogram denir. Histogram, sayısal tabloda gözlenemeyen gruplaşmaların daha kolay anlaşılmasını sağlar. Veri sayısı fazlaysa ve tekrarlı sayılardan oluşuyorsa gruplandırılmış bir veri dağılımının grafikler gösterilmesi için histogram kullanmak diğer grafiklere göre daha iyi bir yöntemdir.

 

Bir günde bir kahvaltı için kaç dakika ayrıldığını belirlemek amacıyla yapılan anket sonucunda yandaki tablo oluşturulmuştur. Tabloya göre histogram grafiğini çiziniz.

Bir cevap yazın