Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı

Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı 12. Sınıf Matematik dersinde işlenen bir konu oluğ ders notlarını pdf formatında Tyt sınavlarında da kullanabileceğiziniz şekildeçözümlü örnek sorular ile destekli anlattık sevgili arkadaşlar.

Bir Fonksiyonun Bir Noktadaki Soldan ve Sağdan Limiti

x değişkeni bir a sayısına, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma,
a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir. x değişkeninin a sayısına soldan yaklaşması x → ​\( a^{-} \)​, sağdan yaklaşması x → ​\( a^{+} \)​ şeklinde gösterilir.

Şimdi bu yukarıda belirttiğimiz durumu daha iyi anlayabilmek için örnek bir soru yapalım arkadaşlar.

Örnek: ƒ: R → R, ƒ(x) = 2x + 1 fonksiyonunda x değişkeni 3 e soldan ve sağdan yaklaştığında ƒ(x) fonksiyonunun aldığı değerlerin kaça yaklaştığını bulalım.

Cevap: ƒ(x) fonksiyonunda x yerine aşağıdaki ilk satırda yer alan x değerlerini yazalım arkadaşlar. ƒ(x) in sonuçlarını da ikinci satırda görebilirsiniz.

Tabloya göre ƒ(x) = 2x + 1 fonksiyonunda x, 3 e soldan ve sağdan yaklaştığında ƒ(x) fonksiyonunun aldığı değerler 7 ye yaklaşmaktadır.

Grafik incelendiğinde x değişkeninin 3 e soldan ve sağdan yaklaştığında ƒ(x) = 2x + 1 fonksiyonunun aldığı değerlerin 7 ye yaklaştığı görülmektedir.

 

Kural;

x değişkeni bir a reel sayısına soldan yaklaşırken ƒ(x) fonksiyonunun aldığı değerler ​\( l_1 \)​ reel sayısına yaklaşıyorsa “ƒ(x) in x = a daki soldan limiti ​\( l_1 \)​ dir.” denir ve ​\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = l_1 \)​ şeklinde gösterilir.

x değişkeni bir a reel sayısına sağdan yaklaşırken ƒ(x) fonksiyonunun aldığı değerler ​\( l_2 \)​ reel sayısına yaklaşıyorsa “ƒ(x) in x = a daki sağdan limiti ​\( l_2 \) dir.” denir ve ​\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = l_2 \)​ şeklinde gösterilir.

 

Şimdi bu kural ile ilgili bir örnek yapıp durumu daha da netleitirelim.

Örnek: ƒ: R → R, ƒ^xh = 3x – 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki soldan ve sağdan limitini bulalım.

Cevap: Aşağıdaki tabloda; x değişkeni 1 e soldan yaklaşırken ƒ(x) = 3x – 1 fonksiyonunun aldığı değerler 2 ye yaklaşmaktadır. Buna göre ​\( \lim\limits_{x \to 1^-} (3x – 1) = 2 \)​ dir.

Aşağıdaki tabloda; x değişkeni 1 e sağdan yaklaşırken ƒ(x) = 3x – 1 fonksiyonunun aldığı değerler 2 ye yaklaşmaktadır. Buna göre ​\( \lim\limits_{x \to 1^+} (3x – 1) = 2 \)​ olur.

 

Limit ile İlgili Özellikler

1) ∀c ∈ R için ​\( \lim\limits_{x \to a} c = c \)

2) ƒ,g:R → R, ​\( \lim\limits_{x \to a}[f(x)-+g(x)] = \lim\limits_{x \to a}f(x)-+ \lim\limits_{x \to a}g(x) \)

3) ƒ,g:R → R,  ​\( \lim\limits_{x \to a}[f(x) .g(x)] = \lim\limits_{x \to a}f(x). \lim\limits_{x \to a}g(x) \)

4) ƒ,g:R → R, ∀c ∈ R için\( \lim\limits_{x \to a}[c.f(x)]= c.\lim\limits_{x \to a}f(x) \)

5) ƒ,g:R → R, ​\( \lim\limits_{x \to a}|f(x)|= |\lim\limits_{x \to a}f(x)| \)

6) b ∈ \( \ R^+ \)​ olmak üzere ​\( \lim\limits_{x \to a}(\lim_{ b}f(x))= \lim_{ b}(\lim\limits_{x \to a}f(x)) \)​ ( a ∈ \( \ R^+ \))

 

Şimdi de bu kurallar ile ilgili bir kaç çözümlü örnek soru yapalım.

Örnek:\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 2) \)​ değerini bulalım.

Cevap: ​\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 2)= \lim\limits_{x \to 2} x^2 + \lim\limits_{x \to 2} 2 \)​ olur.

= 2² + 2 = 6 olarak yanıtı buluruz.

 

Örnek:\( \lim\limits_{x \to 0} sin2x \)​ değerini bulalım.

Cevap: \lim\limits_{x \to 0} sin2x = sin0 olur.

Buradan da sin0 = 0 olarak yanıtı buluruz.

 

Bir Fonksiyonun Bir Noktadaki Sürekliliği

A ⊂ R ve ƒ: A → R bir fonksiyon olsun. a ∈ R olmak üzere ƒ(x) fonksiyonunun a noktasındaki limiti var ve \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \) ise ƒ fonksiyonu x = a noktasında süreklidir denir.
Aksi takdirde ƒ fonksiyonu x = a noktasında süreksizdir denir.

ƒ fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olabilmesi için;

1) ƒ fonksiyonunun x = a noktasında limiti olmalıdır.
2)  \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) olmalıdır.

 

Örnek: ƒ: R → R, ƒ(x) = 3x – 1 fonksiyonunun x = 2 noktasında sürekli olduğunu gösterelim.

Cevap: \( \lim\limits_{x \to 2^-} (3x-1) = 5 \)  ve \( \lim\limits_{x \to 2^+} (3x-1) = 5 \) olduğundan x = 2 noktasında limiti vardır ve \( \lim\limits_{x \to 2} (3x-1) = 5 \) tir.

ƒ(x) = 3x – 1 ⇒ ƒ(2) = 3 · 2 – 1 = 5 olduğundan \( \lim\limits_{x \to 2} (3x-1) \) = f(2) = 5 tir.

Buna göre ƒ(x) = 3x – 1 fonksiyonu x = 2 noktasında süreklidir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.