Logaritma ve 1=0

KONU               :Logaritma Fonksiyonu

SORU                :”Kısmi integrasyon metodu ’ e uygulanırsa 1=0 elde edilir.Hata nerededir?”Açıklayınız…

 

LOGARİTMA  FONKSİYON’NUN TARİHSEL GELİŞİMİ

 

Kaynaklar;logaritmayı ilk kullananın John Napier(1550-1617)olduğunu göstermektedir.Napier

 

sayısal hesaplamaları kolaylaştıracak bir yol ararken, önce Napier cetvelleri diye bilinen, üzerinde

rakamlar yazılmış küçük değnekler yardımıyla yapılan bir çarpma veya bölme yöntemi buldu.

 

17.yy’ ın ilk yarısında (1600) John Napier hesaplama işlemlerini çok kısa sürede yapabilen ve her

 

biri 20 cm uzunluğunda 10 çubuktan oluşan, “Napier’s Rods or Bones – Napier’in Çubukları veya

 

Kemikleri” ismini verdiği aracı geliştirdi. Bu çubuklar belli bir sırada dizildiğinde yan sütundaki

 

sayılar bir çarpma işleminin sonucunu veriyordu.

 

1, 2, 3, … şeklindeki aritmetik dizi ile, buna karşılık gelen 10, 100, 1000, … Biçimindeki geometrik

 

dizi arasındaki, ilişkiyi gördü. 1614 yılında yazdığı “Logaritma Kurallarının Tanımı” adlı eserinde,

 

aritmetik dizi ile geometrik dizinin karşılaştırılmasından, matematiğe logaritma kavramını getirdi.

 

Buradaki aritmetik dizi, geometrik dizinin logaritmasıdır. Napier, 1618 ve

 

1624 yılları arasında kusursuz iki logaritma cetveli yayınladı.

 

Napier, çizelgesini (e) tabanına göre hazırlamıştır. Fakat çizelgeyi tamamladıktan sonra, (e)

 

sayısını almakla, zor bir sistem ortaya koyduğunu, uygulaması sırasında farkına vardı. Daha sonraki

 

yıllarda, 10 tabanlı, yeni bir logaritma sisteminin hesaplama işlerinde büyük kolaylıklar

 

sağlayabileceğini düşündü. Fakat, bu yeni sisteme ait, düşündüğü temel ilkeleri, bizzat ortaya

 

koyamadan öldü. Ömrünün son günlerinde, arkadaşı olan, İngiliz matematikçi ve astronom Henry

 

Briggs’ten (1551 – 1630) düşüncelerinin tamamlanmasını istedi. Henry Briggs, bu isteğe uyarak, 10

 

tabanına göre, bir logaritma cetveli hazırlayarak, 1617 yılında yayımlamıştır. Bu eser, 1’den 1000’e

 

kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritmalarını gösterir. Henry Briggs, ilk logaritma cetvellerinin

 

yayımından 7 yıl sonra, yani 1624 yılında; önceleri, 1’den 20.000’e daha sonra da, 90.000’den

 

100.000’e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritmalarını kapsayan Logaritmik Aritmetik adlı bir eser daha yayımladı.

 

Daha sonra, Hollandalı matematikçi Adrien Vlacq, Henry Briggs’ten eksik kalan, 20.000’den

 

90.000’a kadar olan sayıların logaritmik değerlerini hesap etti ve cetvellerini 1626 yılında, Briggs’ in

 

adı altında, Goude’de yayımladı. Bu yeni çizelgeler, 10 ondalıklı olup, 1’den 1.000.000’a kadar

 

sayılan , ve 0 dereceden 90 dereceye kadar olan açıların, 1’er açı dakikası aralıklı olarak sinüs,

 

tanjant ve sekantın logaritma değerlerini kapsıyordu.Logaritma cetvelleri üzerine eser hazırlayanlar,

 

Adrien Vlacq’ in bu eserini temel kabul ederler.

 

**II. Dünya Savaşı sırasında, İngilizler sömürgesi olan Hindistanlılara logaritma cetvelini ezberleterek beyinlerinin çalışmasını ve kendi bireysel düşüncelerine sahip olmalarını engellemek istemişlerdir.**

 

Şekildeki taralı dikdörtgensel bölgeyi gözönüne alalım.

 

Bu bölge [3,x] kapalı aralığı  ile y=2 doğrusu altında kalan bölgedir.x noktası x ekseninin değişken

 

bir noktasıdır. Bu nedenle x noktası değişirken dikdörtgende değişir.Şimdi bu dikdörtgenin alanını

 

hesaplayalım.Dikdörtgenin yüksekliği 2 br, taban uzunluğuda x noktasına bağlıdır.Eğer;

 

x>3 ise taban uzunluğu x-3,

 

x=3 ise  taban uzunluğu 0,

 

x<3 ise taban uzunluğu –(x-3) dür.

 

x≥3 ise |x-3| = x-3

 

x<3 ise |x-3| =-( x-3) olduğundan |x-3| ifadesi x in tüm değerleri için taban uzunluğunu  verir.

 

Buradan dikdörtgenin alanı          A(x)=2. |x-3|   bulunur.

 

Şimdi F(x)= 2.(x-3) ifadesini gözönüne alalım.Bu ifade;

 

x>3 için dikdörgenin alanını verir.

 

x=3 ise sıfırdır.

 

x<3 ise dikdörgenin alanının negatifini veren bir ifadedir ve F(x) bir fonksiyon tanımlar.Yani;

F:R  R

x   2x-6 olan bir fonksiyondur.

 

Buradan y=2 doğrusunun altında kalan dikdörtgensel bölgenin alanından bir fonksiyon tanımladık.

 

 

 

  • f, [a,b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli bir fonksiyon olmak üzere   ifadesinden ne anlıyorsunuz?

 

    1. Matematiksel olarak integrali alınacak olan ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu bulmamıza yardım eder.

 

Geometrik olarak;

 

    1. f(x) ile x eksenin [a,b] kapalı aralığı arasında kalan alanı ifade eder.

 

 

Görüldüğü gibi integral de bir bölge alanını ifade ettiğinden integral  yardımıyla da bir fonksiyon tanımlayabiliriz.Şöyleki

 

Teorem:

f bir aR yi içeren bir aralıkta integrallenebilir ise o zaman  şeklinde bir F(x) fonksiyonu tanımlayabiliriz.

 

Logaritma fonksiyonuda integral yardımıyla tanımlanan fonksiyonlardan biridir.

                      DOĞAL  LOGARİTMA  FONKSİYONU

 

Şekildeki apsis ekseninin 1 ve x noktasından apsis eksenine çıkan dikmelerin y=1/t eğrisi ve apsis

 

ekseninin sınırladığı bölgenin alanını gözönüne alalım ve bu alanı A(x) ile gösterelim.A(x) in

 

değerini x in değerine bağlı olarak veren bir formül yoktur.Buna karşın bu alan doğal logaritma

 

fonksiyonu denilen ve ln ile gösterilen bir fonksiyonun tanımlanması için kullanılır.

 

Tanım:

 

lnx=A(x)=  eşitliği ile tanımlı

 

ln:     fonksiyonuna ln( doğal logaritma) fonksiyonu denir.

 

Bunun geometrik anlamı şöyledir:

 

 

1-) 1<x ise eğri altındaki taralı bölgenin alanı  pozitif reel sayısıdır.(Alan ölçüleri pozitif reel sayı ile belirlenir.)  Buna göre lnx>0 dır.

 

2-) x=1 için =0 olduğundan ln1=0 dır.

3-)0<x<1 ise eğri altında noktalarla belirtilmiş alanın ölçüsü pozitif reel sayısıdır.

=-

olduğunda <0  ya da lnx<0 dır.

 

Logaritması 1 olan sayı önemli bir sayıdır.Bu sayıya logaritma tabanı denir.y=lnx fonksiyonunun tabanı e=2,711828….  irrasyonel  sayısıdır.

 

 ln fonksiyonunun 1-1 ve örtenliği

 

ln fonksiyonunu 1-1 ve örtenliğini göstermeden aşağıdaki teoremlerin doğruluğunu ispat edelim.

Teorem111-3:

 

Teorem: ln fonksiyonu 1-1 ve örten bir fonksiyondur.

 

İspat:  ve  veya dir.

(teorem111-3)

olur.Öyleyse ln fonksiyonu 1-1 dir.ln fonksiyonunun tanımından  için   eşitliğini sağlayan bir  sayısı bulunabilir.Öyleyse ln fonksiyonu örten bir fonksiyondur.Ayrıca örtenliğini göstermek için ortalama değer teoreminden de yararlanabiliriz.Şöyle ki;

 

 

ve olmak üzere

 

veya  tüm x ler için sağlanmış olur.

Şimdi logaritma fonksiyonunu tanımlayalım:

x>0 için apsisler ekseninin 1 ve x noktasından apsisle

 

eksenine çıkan dikmelerle , y=k/t hiperbolu ve Ox ekseninin sınırladığı bölgenin alanı A(x) ile gösterildiğine göre ,

 

a)      x>1 ise logx=A(x)

 

b)      x=1 ise logx=0

 

 

c)      0<x<1 ise logx=-A(x) gerektirmelerinin belirttiği,

 

log={(x,y)|x, y , y=logx }

 

fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

 

K nın sıfırdan farklı belli ve sabit bir değeri için y=k/t in eğrisi bir hiperboldur.k nın sıfırdan

 

farklı her reel değeri için y=k/t fonksiyonu ayrı bir hiperbolu gösterdiği için y=k/t yalnız bir

 

hiperbolun değil hiperboller ailesinin denklemidir.

 

Bu nedenle yukarıda verdiğimiz tanım, bir logatitma fonksiyonunun değil aslında bir

 

fonksiyonlar kümesinin tanımıdır.k nın sıfırdan farklı her reel değeri için bir tane logaritma

 

fonksiyonu tanımlanabilirse de biz genellikle k nın pozitif değeri için logaritma fonksiyonları ile ilgileneceğiz.

Tanım:

 

a pozitif ve 1 den farklı bir reel  sayı olsun y=k/t eşitliğindeki k sayısı A(x)=1 ( yani loga=1)

 

eşitliğini sağlayacak biçimde seçilmiş olsun. Böylece elde edilen logaritma fonksiyonuna

 

“a tabanına göre logaritma fonksiyonu denir.” ve ile gösterilir.

 

  • Tabanı a=10 olan logaritma fonksiyonuna bayağı logaritma denir.Kullandığımız sayı sistemi 10 tabanlı olduğundan bayağı logaritma fonksiyonu işlemlerimiz için çok kullanışlıdır.

 

LOGARİTMA FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ

 

t0

ÜSTEL FONKSİYON

olduğundan aşağıdaki şekilde in bazı değerlerine karşılık gelen fonksiyonların grafikleri görülüyor.

bu grafiklerde de görüldüğü gibi  eşitliği ile tanımlanan logaritma fonksiyonu

a)      1-1 ve öretendir

b)      a>1 için artan bir fonksiyondur

c)      0<a<1 için azalan bir fonksiyondur.

 

fonksiyonu 1-1 olduğundan her pozitif x reel sayısı için bu x sayısının  fonksiyonu ile elde edilen bir ve yalnız bir görüntüsü vardır.

Bu görüntü  reel sayıdır.

fonksiyonu örten bir fonksiyon olduğundan her y reel sayısı için bu sayıyı görüntü alan pozitif bir x reel sayısı vardır.

 

1-1 ve örten olduğundan nın tersi de bir fonksiyondur.

Öte yandan c nin fonksiyonu ile elde edilen görüntüsü b dir. Buradan şu sonuca ulaşılır.

Bu fonksiyona üstel fonksiyon denir.Özel olarak lnx fonksiyonun tersi  =exp(x) fonksiyonudur.

Logaritma ve üstel fonksiyonunun grafiği

 

Bir  fonksiyon ile ters fonksiyonunun grafiklerinin y = x doğrusuna göre simetrik olduğunu biliyoruz.

Bundan yararlanarak, y = logax fonksiyonunun grafiğini, y = üstel fonksiyonunun grafiğinden kolayca elde edebiliriz.

 

 

SORU                :”Kısmi integrasyon metodu ’ e uygulanırsa 1=0 elde edilir.Hata nerededir?”Açıklayınız…

 

Kısmi İntegrasyon Metodu:

 

f ve g  I aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun.

kısmi integrasyon metodu denir.

 

Not: Çoğu zaman sınırlar dikkate alınmaz.Fakat sınırlar dikkate alınmadığında aşağıdaki örnekte olduğu gibi yanlışlıklar olabilir.

 

Cevap: Kısmi integrasyon metodu ’ e uygulayalım.

,     önce sınırları dikkate almadan kısmi integrasyon metodunu uygulayalım.

 

Bu bir çelişkidir.Şimdi de sınırları dikkate alarak yapalım;

 

 

Görüldüğü gibi kısmi integrasyon uygularken sınırlara dikkat etmemiz gerekir.

 

KAYNAKÇA:

  • İnternet
  • “Genel Matematik” Prof.Dr.Mustafa Balcı
  • “Analiz I”     Erdal Çoşkun,Alp Yayıncılık
  • “Calculus”   Raymond A. Barnett, Michael R.
  • “Analize Giriş I “  Seyfettin Aydın,  Beta Yayıncılık
  • “Analize Giriş I “ Prof.Dr. Fikri Akdeniz, Prof.Dr. Yusuf Ünlü

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir