7. Sınıf Çokgenler Konusu

ÇOKGENLER

Çokgenlerin iç bölgesinde kalan köşelerdeki açılara iç açılar denir.Çokgenlerin dış bölgesinde kalan köşelerdeki açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.Çokgenlerde bir iç açı ve aynı doğrultuda bulunan bir dış açının ölçüleri toplamı 180 derecedir.

Köşegen, bir çokgenin ardışık olmayan herhangi iki köşesini birleştiren doğru parçasına denir.

Köşegenlerin tamamı çokgenin iç bölgesinde kalıyorsa bu tür çokgenlere dış bükey (konveks) çokgen denir.Dışa bakan çokgenlerdir.

Köşegenlerinin bazıları çokgenin dış bölgesinde kalıyorsa bu tür çokgenlere iç bükey (konkav) çokgen denir.İçe bakan,büzük çokgenlerdir.

Çokgenlerle ilgili formüller:

n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı =(n-2).180

n kenarlı bir çokgenin bir iç açısının ölçüsü =[(n-2).180]/n

n kenarlı bir çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı =360

n kenarlı bir çokgenin bir dış açısının ölçüsü =360/n

n kenarlı bir çokgendeki üçgen sayısı =n-2

Bir köşesinden çizilen tüm köşegenlerin sayısı =n-3

n kenarlı bir çokgendeki tüm köşegenlerin sayısı =[n.(n-3)]/2

n kenarlı bir çokgenin çizilebilmesi için =2n-3 tane eleman bilinmelidir. Bu elemanların (n-2) tanesi uzunluk, (n-1) taneside açı olması gerekir.

Çokgenlerin Eşliği ve Benzerliği

Biçimleri aynı,karşılıklı kenar uzunlukları ve açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere eş çokgenler denir.Eş çokgenlerin benzerlik oranı 1’dir.

Açıları eş karşılıklı kenar uzunlukları oranı birbirine eşit olan çokgenlere benzer çokgenler denir.Kenarlar arasındaki bu orana benzerlik oranı denir.Yani benzerlik bir şeklin belli oranlarda küçültülmüş yada büyültülmüşüdür.

cokgenler

 

7. Sınıf Bayrağımızı Çizelim Konusu

bayrak

bayrak2

Bayrağımızın çiziminde temel ölçü genişliktir.Genişlik G ile gösterilir.

 

G Genişlik
A Dış ay merkezinin uçkurdan uzaklığı 1/2.G
B Ayın dış çemberinin çapının uzunluğu 1/2.G
C Ayın iç ve dış çemberlerinin merkezleri arası uzaklığı 0,0625.G
D Ayın iç çemberinin çapının uzunluğu 0,4.G
E Yıldız çemberinin ayın iç çemberine olan uzaklığı 1/3.G
F Yıldız çemberinin çapının uzunluğu 1/4.G
L Bayrağın boyu 3/2.G
M Uçkurluk genişliği 1/30.G 

kaynak: matematikcifatih.com

Daire Konusu 7. Sınıf

DAİRE

Bir noktaya eşit uzaklıktaki mesafelerin taranması sonucu meydana gelen şekildir.Madeni para daireye örnektir.

Çember Yayının (Çember parçasının) Uzunluğu
Ç = (2.π.r.x) / 360º
(π=3,14 alırız r çemberin yarıçapı, x açısı çember parçasının arasında kalan merkez açı)

Örnek: Merkezde oluşan 90º lik açının gördüğü ve yarıçapı 6cm olan çember yayının uzunluğunu bulunuz.
Ç = 2.π.r.x / 360º
Ç = 2.3.6.90º / 360º
Ç = 36 / 4 = 9cm

Dairenin Alanı
r yarıçaplı bir dairenin alanını bulmak için;

A = π.r2

A = π.r.r
(π=3,14 alırız r dairenin yarıçapı)

Örnek: Yarıçapı 4cm olan dairenin alanını bulunuz.
A = π.r.r
A = 3.4.4 = 48cm2

Daire Diliminin Alanı

Daire dilimi bir merkez açının iç bölgesinde yayla sınırlı olan kısımdır.Buna sektör denir.
A = (π.r.r.x) / 360º
(π=3,14 alırız r dairenin yarıçapı, x açısı daire diliminin arasında kalan merkez açı)

Örnek: Merkezde oluşan 60º lik açının taradığı ve yarıçapı 10cm olan daire diliminin alanını bulunuz.
A = π.r.r.x / 360º
A = 3.10.10.60º / 360º
A = 300 / 6 = 50cm2

daire_dilimi_ve_cemberde_yay_uzunlugu

 

8. Sınıf Fraktallar Konusu

FRAKTALLAR

Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyültülmüşleri ile inşa edilen örüntülere fraktal denir.Fraktalın bir özelliğide, küçük bir parçasındaki örüntünün şeklin tamamındaki örüntüyle aynı olmasıdır.

Bir cismi oluşturan parçalar ya da bileşenlerin cismin tamamına benzemesi matematikte “fraktal” olarak adlandırılır.Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde tekrarlanır. Öyle ki bütünün her bir parçası büyütüldüğünde yine cismin bütününe benzer. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince “fractus” sözcüğünden türetilmiştir.

Kar tanelerinin kristal şekilleri kendi başlarına birer fraktaldır. Bir ağaç, bir gövdeye, onun üzerinde birkaç ana dala, her bir ana dalın üzerindeki daha ince dallara ve onların da üzerinde bu şekilde çoğalan nice dallara sahiptir.Akciğerlerimizdeki bronş ve bronşcuklar da ağaçlardaki gibi fraktal uzanıma sahiptir. Akarsular da yatakları boyunca kollara derelere çaylara ve daha küçük kanallara bölünür. Bir dere ya da nehir tek başına incelendiğinde o da nice kollara ayrılır. Benzer durum vücudumuzdaki damar sisteminde de mevcuttur. Çöllerdeki kumların rüzgar nedeni ile aldığı şekiller ve sakin bir havada denizdeki dalgaların şekilleri de fraktal yapıya birer örnek olarak verilebilir.Halı veya kilim desenleri,pisagor ağacı fraktala örnektir.

 

 

 

Yansıyan ve Dönen Şekiller Konusu 8. Sınıf

YANSIYAN, DÖNEN VE ÖTELENEN ŞEKİLLER

Verilen Bir Şeklin Eksenlere Göre Ötelenmesi

Doğruya göre öteleme yapılırken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar,bütün noktalar paralel ötelenir.

X Eksenine paralel sağa a birim öteleme

A(x,y) iken ötelenmiş hali A'(x+a,y)
(-2,4) 3 br sağa (-2+3,4) yani (1,4)
X Eksenine paralel sola a birim öteleme

A(x,y) iken ötelenmiş hali A'(x-a,y)
(7,-1) 5 br sola (7-5,-1) yani (2,-1)
Y Eksenine paralel yukarı a birim öteleme

A(x,y) iken ötelenmiş hali A'(x,y+a)
(2,3) 2 br yukarı (2,3+2) yani (2,5)
Y Eksenine paralel aşağı a birim öteleme

A(x,y) iken ötelenmiş hali A'(x,y-a)

(-3,-3) 3 br aşağı (-3,-3-3) yani (-3,-6)

Verilen Bir Şeklin X Eksenine Göre Yansıması

İlk başta noktamızın koordinatı   A(x,y)    iken

X eksenine göre yansıması altındaki görüntüsü   A'(x,-y)

(2,-3) x’e göre yansıması (2,3)

Verilen Bir Şeklin Y Eksenine Göre Yansıması

İlk başta noktamızın koordinatı       A(x,y)    iken

Y eksenine göre yansıması altındaki görüntüsü   A'(-x,y)

(2,-3) y’ye göre yansıması (-2,-3)

Verilen Bir Şeklin Orijine Göre Yansıması

İlk başta noktamızın koordinatı      A(x,y)    iken

Orijine göre yansıması altındaki görüntüsü   A'(-x,-y)

(2,-3) orijin’e göre yansıması (-2,+3)
Verilen Bir şeklin Orijin Etrafındaki Dönmesi

İlk başta noktamızın koordinatı       A(x,y)    iken

90 derece saat yönünde dönünce     A'(y,-x)   oluyor.

180 derece saat yönünde dönünce   A”(-x,-y) oluyor

270 derece saat yönünde dönünce   A”'(-y,x) oluyor.

360 derece saat yönünde dönünce   A(x,y)     oluyor.

(-2,-3) saat yönü 90 derece (-3,2)
(-2,-3) saat yönü 180 derece (2,3)
(-2,-3) saat yönü 270 derece (3,-2)

İlk başta noktamızın koordinatı               A(x,y)    iken

90 derece saat yönünün tersi dönünce     A'(-y,x)   oluyor.

180 derece saat yönünün tersi dönünce   A”(-x,-y) oluyor

270 derece saat yönünün tersi dönünce   A”'(y,-x) oluyor.

360 derece saat yönünün tersi dönünce   A(x,y)     oluyor.

(-1,5) saat yönü tersi 90 derece (-5,-1)
(-1,5) saat yönü tersi 180 derece (1,-5)
(-1,5) saat yönü tersi 270 derece (5,1)

Ötelemeli Yansıma

Bir şeklin, bir doğru boyunca önce yansıtılıp ötelenmesi ile önce ötelenip yansıtılması arasında bir fark yoktur.Her iki durumda uygulandığında şekiller aynı yerde ve aynı konumda olur.Bir değişiklik olmaz.Ötelemeli yansımada hiçbir nokta ve yansıma doğrusundan başka hiçbir doğru sabit kalmaz. Aşağıdaki 90 derece dönme örneklerinde,siyah üçgenler döndürülerek kırmızı üçgenler elde edilmiştir.

yansiyan_ve_donen_sekiller

 

8. Sınıf Histogram Konusu

HİSTOGRAM

Tekrarlı sayılardan oluşan elimizdeki verileri, uygulanan işlemlerden sonra önce tabloya, tablodan yararlanarak grafiğe aktarılması yani veri gruplarının grafiğinin dikdörtgen sütunlar halinde gösterilmesine histogram denir.

Verilen bir soruda histogramı oluşturup çizmek için şu aşamalar takip edilir:

1) Önce veriler küçükten büyüğe sıralanır.
2) Veri grubunun açıklık değeri bulunur. Açıklık değeri bulunurken en büyük sayıdan en küçük sayı çıkartılır.
3) Kaç grup oluşturmak istiyorsak grup sayısı belirlenir.Grup sayısını kendimiz belirlemek istersek veri sayısının karekökü alınır.Bu kuralda grup sayısı 10’dan az çıkabilir ve daha sağlıklı olur.(Bu ifade MEB öğretmen kılavuz kitabından alınmıştır.
4) Veri grubunun genişliği bulunur.Genişlik bulunurken açıklık değeri grup sayısına bölünür.Genişlik bir üstündeki tam sayıyı almaktır.Tam sayı çıksada bir üstündeki tam sayıyı, ondalık kesir çıksada bir üstündeki tam sayıyı alırız.Bu tam sayı tekte olabilir,çiftte olabilir.2009 A kitapçığı Sbs matematik sorularından 18. soruyu incelediğimizde genişlik 6,6 çıkmıştır. 7’ye yuvarlanmıştır.Soru gayet açık ve nettir.

5) Verilerimizi ilk sayısından başlayarak genişlik kadar sayıları devam ettiririz.Örneğin ilk sayımız 18, veri grubu genişliği de 5 ise 18,19,20,21,22 diye belirledikten sonra 18-22,23-27,28-32 diyerek devam edecek.En son verimizde bitinceye kadar böyle ikili gruplar oluştururuz.
6) Oluşturduğumuz grupları ve karşısındaki veri sayılarını tabloya aktarırız.
7) Tabloya bakarak verilerin histogram grafiğini çizeriz.
Veri gruplarının genişliğinin küçük olması dağılımı daha iyi anlatan histogramlar oluşturur. Genişlik azaldıkça grafik görsel yönden daha iyi anlaşılır. Histogramdaki zikzaklar o aralıkta hiç veri olmadığını gösterir.

 

Örnek:
Bir sınıftaki 20 öğrencinin boyları verilmiştir. Bu verileri sıralayalım;
142,143,145,145,147,148,155,155,156,160,
162,163,163,167,169,169,170,170,172,175
histogramını oluşturacağız.
Önce veri grubunun açıklık değerini hesaplayalım: 175-142=33
Veri gruplarının sayısı 4 olsun. Açıklık değerini grup sayısına bölerek veri grubunun genişliğini bulacağız: 33/4=8,25
8,25 bundan büyük olan tek sayıyı yani 9’u alacağız. Genişlik 9’dur.
Şimdi tablo oluşturacağız.

 

Tablo: Sınıftaki Boy Uzunlukları

Boy uzunlukları Kişi sayısı
142-150 6
151-159 3
160-168 5
169-177 6

Bu değerleri grafiğe aktarıp sütunlar çizeceğiz. Grafikte dikey eksen kişi sayısını, yatay eksen boy uzunluklarını gösterecek. Sonuç olarak sütunlardan oluşan grafiğimiz histogramdır.

Örnek 1:

Yukarıdaki soruda verileri küçükten büyüğe sıralarız.Açıklığı bulmak için en büyük değerden en küçük değeri çıkartırız. Açıklık değerimiz 33-4=29’dur.Veri grubunun genişliğini bulmak için 29’u grup sayısına yani 6’ya böleriz.Çıkan sonuç 4,8’dır.En yakın ve büyük olan tek sayıyı yani 5’i alırız.Grubun genişliği 5’tir.Genişlik 5 olduğu için 4-8 diye başlıyacak ve bu şekilde devam edecek.Şimdide dakika sayısı ile karşısındaki kişi sayıları tutuyormu ona bakcaz. 4-8 arasında sadece 4 ve 5 yani iki kişi var.Bunu veren bir şık var zaten.Doğru cevap C şıkkıdır.

Örnek 2:

Yukarıdaki soruyu adım adım çözelim.İlk önce tatil köyüne gelen kişi sayısını bulalım.Histogramdaki yaş gruplarına karşılık gelen kişi sayılarını toplayalım.10+30+40+60+30+70+40+50+30=360 kişidir.Doğru cevap C şıkkıdır.

Veri grubunun açıklığını bulmak için baktığımızda, histogramdaki verileri 0’dan başlayarak 62’ye kadar sıralamış.Demekki 0 yaşında olanda var,62 yaşında olanda var.Bu durumda veri grubunun açıklık değeri 62-0=62’dir.Doğru cevap D şıkkıdır.

Veri grubunun genişliğini bulmak için açıklık değerini grup sayısına böleriz. 62’yi grup sayısına yani 9’a böleriz.Çıkan sonuç 6,8’dır.En yakın ve büyük olan tek sayıyı yani 7’yi alırız.Grubun genişliği 7’dir.Doğru cevap C şıkkıdır.

Tatil köyüne en fazla gelen yaş grubu 35-41 arası 70 kişidir.Doğru cevap B şıkkıdır.

Tatil köyüne en az gelen yaş grubu 0-6 arası 10 kişidir.Doğru cevap A şıkkıdır.

8. Sınıf Üslü Sayılarda İşlemler

a.a.a.a.a…..a=an (n tane a’nın çarpımı)

(a=taban,n=üs veya kuvvet)

3x3x3x3x3=35 (5 tane 3’ün yan yana yazılıp çarpılmasıdır.)

2x2x2x2x2x2x2x2x2=29

(-4)x(-4)=(-4)2

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.Sıfırın sıfırıncı kuvveti tanımsızdır. 00=tanımsız

n0=1

(-1)0=1

70=1

Sıfırın sıfırdan farklı bütün kuvvetleri 0’a eşittir.

01=0

05=0

0109=0

10’un pozitif kuvvetleri:

101=10

102=100

103=1000

104=10000

10’un negatif kuvvetleri:

10-1=0,1

10-2=0,01

10-3=0,001

10-4=0,0001

Pozitif bir tam sayının tek ve çift kuvvetleri pozitiftir.

22=4

23=8

24=16

Negatif bir tam sayının tek kuvvetleri daima negatif tam sayıdır.

(-2)1=-2

(-2)3=-8

(-2)5=-32

Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri daima pozitif tam sayıdır.

(-2)2=4

(-2)4=16

(-2)6=64

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken, benzer üslü ifadenin önündeki katsayılar toplanır veya çıkarılır.

x.a+ y.a– z.a= (x+y-z).an

Üslü sayılarda çarpma işlemi iki farklı şekildedir.Üsler aynı olduğunda tabanlar çarpılır, tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır.

a. b= (a.b)m

a. a= am+n

Üslü sayılarda bölme işlemi yaparken katsayılar bölünür,aynı tabanın üsleri birbirinden çıkarılır.

a: a= am-n

Bir üslü ifade,paydan paydaya ya da paydadan paya alındığında üssünün işareti değişir.

(23) / (5-4) payla payda yer değiştirdiğinde (54) / (2-3)

a sıfırdan farklı bir tam sayı ve n doğal sayı olmak üzere a’nın negatif kuvvetleri:

a-1=1/a

a-2=1/a2

a-3=1/a3

 

 

 

Örnek: 26,0308 ondalıklı kesrini çözümleyelim.

2×101+6×100+0x10-1+3×10-2+0x10-3+8×10-4

Örnek: Çözümlemesi verilen

5×103+7×101+2×100+4×10-1+1×10-3+9×10-4 sayıyı bulalım.

5072,4019

Üslü Sayılarda Bilimsel Gösterim

Üslü sayılarda 1<a<10 arasında olacak şekilde 1 de dahil olmak üzere a.10nşeklinde gösterime bilimsel gösterim denir.

Örnek: Verilen sayıların bilimsel gösterimlerini yazalım.

30000 bilimsel gösterimi 3.104

3800 bilimsel gösterimi 3,8.103

0,000056 bilimsel gösterimi 5,6.10-5

0,000000002 bilimsel gösterimi 2.10-9

uslu_sayilarda_islemler