8. Sınıf Olasılık Çeşitleri Konusu

OLASILIK ÇEŞİTLERİ

Bir olayın olma olasılığı=(istenilen durumların sayısı) / (tüm durumların sayısı)

Eş olasılıklı olma: Her bir çıktının çekilme olasılığı eşittir.

Deneysel olasılık: Bir olasılık deneyi sonunda hesaplanan olasılığa denir. Bu olasılıkta deneyin yapıldığı problemin içinde geçer, problemi okuduğunuzda bir şeyler yapıldığını anlar, verileri görürsünüz.Eğer deneydeki her bir çıktı eş olasılıklı değilse deneysel olasılıktan yararlanılır.

Örnek: Hileli bir zar 20 kez atıldığında 3 kez 1, 2 kez 2, 3 kez 3, 2 kez 4, 3 kez 5 ve 7 kez 6 geliyor. Buna göre bu zar atıldığında 5 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 3/20

Teorik olasılık: Bir olasılık deneyinden teorik olarak beklenen olasılığa denir.Genelde şimdiye kadar karşılaştığımız problem tipleridir.İstenen durumların sayısını tespit edip tüm durumlara böleriz.Teorik olasılığın hesaplanmasında her bir çıktının eş olumlu olması gerekir.

Örnek: Bir zar atıldığında 3 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 1/6

 

Öznel olasılık: Kişilerin kendi düşüncelerine göre karar verdikleri olasılıklara denir.Bu tip problemlerde kişilerin ismi ve tahmini yer alır.

Örnek: 25 yumurtadan bazıları çift sarılıdır.Ali’ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 10/25=0,4’tür. Ayşe’ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 15/25=0,6’dır.

olasilik_cesitleri

 

8. Sınıf Olay Çeşitleri Konusu

OLAY ÇEŞİTLERİ

İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesi birbirine bağlıysa yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara bağımlı olaylar denir.

İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesi birbirine bağlı değilse yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara bağımsız olaylar denir.

Kesin olay: Gerçekleşmesi kesin olan olaylara denir. O(A)=1 olan olaylardır.
Örneğin sınava çalışmayan bir öğrencinin sınavdan kötü not alması kesin bir olaydır.
İmkansız olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara denir. O(A)=0 olan olaylardır. Örneğin balığın kavağa çıkması imkansız bir olaydır.

A ve B olayları;

Bağımsız ise P(A ve B)=P(A).P(B)

Bağımlı ise (B, A’ya bağlı) P(A ve B)=P(A).P(A’ya bağlı B)

Örnek: Torbadan bir kalem çektikten sonraki ikinci kalemi çekme olayı için;

Kalemi torbaya atmadan yani dışarıda bırakarak ikinci bir kalem çekme bağımlı bir olaydır.

Çekilen kalemi tekrar torbaya atarak ikinci kalemi çekme bağımsız bir olaydır.

olay_cesitleri

 

Kareköklü Sayılar Konusu 8. Sınıf

KAREKÖKLÜ SAYILAR

Verilen sayının,hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemi karekök almaktır.Karekök 64 ifadesi, karesi 64 olan pozitif sayıyı bulma işlemidir.Bir sayının karekökü pozitif bir sayıdır.

Karekökleri tam sayı olan doğal sayılar (1,4,9,16,25,36,….) tam kare sayılar olarak adlandırılır.

 

Kök 1 kök dışına 1 olarak çıkar.

Kök 4 kök dışına 2 olarak çıkar.

Kök 9 kök dışına 3 olarak çıkar.

Kök 16 kök dışına 4 olarak çıkar.

Kök 25 kök dışına 5 olarak çıkar.

Kök 36 kök dışına 6 olarak çıkar.

Kök 49 kök dışına 7 olarak çıkar.

Kök 64 kök dışına 8 olarak çıkar.

Kök 81 kök dışına 9 olarak çıkar.

Kök 100 kök dışına 10 olarak çıkar.

Kök 121 kök dışına 11 olarak çıkar.

Kök 144 kök dışına 12 olarak çıkar.

Kök 169 kök dışına 13 olarak çıkar.

Kök 3’ün yaklaşık değerini bulmak için bir altta birde üstte tam kare sayı buluruz.

Kök 3, kök 1 ile kök 4 arasındadır.

Kök 3, 1 ile 2 arasındadır.

Kök 3, 2’ye daha yakın olduğundan yaklaşık 1,7’dir.

Kareköklü sayılarda toplama işlemi yapılırken, kök içleri aynı olan terimler kendi aralarında toplanır. Kareköklü sayılarda çıkarma işlemi yapılırken, kök içleri aynı olan terimler kendi aralarında çıkarılır.

Kareköklü sayılar çarpılırken (varsa) katsayılar çarpılarak çarpıma katsayı olarak yazılır.Kareköklü iki sayı ise tek bir karekök içine yazılarak çarpılır.Yani dıştakilerle dıştakiler çarpılır,içtekilerle içtekiler çarpılır.

Kareköklü sayılar bölünürken (varsa) katsayılar bölünerek katsayı olarak yazılır.Kareköklü iki sayı ise tek bir karekök içine yazılarak bölünür.Yani dıştakilerle dıştakiler bölünür,içtekilerle içtekiler bölünür.

koklu_sayilar

 

8. Sınıf Gerçek Sayılar Konusu

GERÇEK SAYILAR

Rasyonel Sayılar

A bir tam sayı B sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere A/B şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.Payda sıfır olursa tanımsız olur.Rasyonel sayılar Q sembolü ile gösterilir.Aşağıdaki sayılar rasyonel sayıdır.

1/3

5

0,5

1,3333……

0,4545…….

Kök 16

Devirli ondalıklı kesirler aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.

İrrasyonel Sayılar

İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılar irrasyonel sayılar olarak adlandırılır.Bu sayıların oluşturduğu küme irrasyonel sayılar kümesidir.İrrasyonel sayılar İ sembolü ile gösterilir.Aşağıdaki sayılar irrasyonel sayıdır.

Pi sayısı

Kök 5

5,1402356…….

Gerçek (Reel) Sayılar

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların birleşmesi sonucu meydana gelen büyük çaplı kümeye gerçek sayılar denir.Gerçek sayılar R ile gösterilir.

Gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu tam olarak doldurur.

gercek_sayilar

 

8. Sınıf Standar Sapma Konusu

STANDART SAPMA

Standart sapma, verilerin aritmetik ortalamaya göre nasıl bir yayılım gösterdiğini anlatır.İki veri grubunun aritmetik ortalamaları eşit veya birbirine yakınsa,gruplar hakkında net bir ifade oluşmayabilir.Bu durumda standart sapmasına bakılır.Standart sapma ne kadar küçük çıkarsa o kadar güvenilirdir,tutarlıdır,başarılıdır.

 

Aritmetik ortalama, medyan (ortanca), mod (tepe değer) merkezi eğilim ölçüleridir.

Açıklık, çeyrekler açıklığı, standart sapma merkezi yayılma ölçüleridir.

Tablolar, histogram, çizgi grafiği, sütun grafiği, daire grafiği istatistiksel temsil biçimleridir.

Merkezi eğilim ölçüleri, veri grubunun güvenirliği veya tutarlılığı hakkında net bir sonuç vermez.Bizi yanıltabilir.Ama merkezi yayılma ölçüleri, veri grubu hakkında daha tutarlı ve güvenilir sonuçlar verir.

Veri grubunda açıklığın fazla çıkması standart sapmanın büyük olmasına sebep olur. Veri grubunda açıklığın az çıkması da standart sapmanın küçük olmasına sebep olur.

Standart Sapma Nasıl Hesaplanır?
Standart sapma hesaplanırken izlenecek adımlar, maddeler:
1) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.
2) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
3) Bulunan farkların her birinin karesi alınır ve elde edilen sayılar toplanır.
4) Bu toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve bölümün karekökü bulunur.

Çözümlü Örnek Soru:

Gün 1.Koşucu 2.Koşucu
1 6 9
2 4 4
3 6 6
4 7 6
5 6 3
6 5 5
7 8 8
8 6 2
9 5 10
10 7 7

Yukarıda 2 koşucunun 10 puan üzerinden performansları verilmiştir.Burada hangi koşucunun daha başarılı olduğunu bulalım.

1.Koşucu:

Madde1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6

Madde 2: veri – aritmetik ortalama

6-6=0

4-6=-2

6-6=0

7-6=1

6-6=0

5-6=-1

8-6=2

6-6=0

5-6=-1

7-6=1

Madde 3: farkların karesi toplanır.

0+4+0+1+0+1+4+0+1+1=12

Madde 4: 12 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

12 / 10-1= 12 / 9= 1,3

1,3 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 1,14 olur.

Standart sapma 1. koşucu için yaklaşık 1,14

2.Koşucu:

Madde1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6

Madde 2: veri – aritmetik ortalama

9-6=3

4-6=-2

6-6=0

6-6=0

3-6=-3

5-6=-1

8-6=2

2-6=-4

10-6=4

7-6=1

Madde 3: farkların karesi toplanır.

9+4+0+0+9+1+4+16+16+1=60

Madde 4: 60 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

60 / 10-1= 60 / 9= 6,6

6,6 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 2,57 olur.

Standart sapma 2. koşucu için yaklaşık 2,57

Burada 1.koşucunun standart sapması daha düşük olduğu için tutarlıdır.Yani 1.koşucu daha başarılıdır.

standart_sapma

 

8. Sınıf Üçgenler Konusu

ÜÇGENLER

Bir doğru üzerinde olmayan (doğrusal olmayan) A,B,C gibi üç noktanın birleşiminden oluşan çokgene üçgen denir.

Üçgenin Çeşitleri

1.Kenarlarına Göre Üçgenler

a)Çeşit Kenar Üçgen: Üçgenin kenarlarının hepsi farklıysa bu üçgene “Çeşit Kenar Üçgen” denir.

b)İkiz Kenar Üçgen: Üçgenin kenarlarının iki tanesi eşit olan üçgene “İkiz Kenar Üçgen” denir. Bir ikizkenar üçgenin, taban açıların ölçüleri birbirine eşittir.

c)Eşkenar Üçgen: Üçgenin kenarlarının hepsi eşit olan üçgene “Eşkenar Üçgen” denir. Bir eşkenar üçgenin iç açıları 60º `dir.

2.Açılarına Göre Üçgenler

a)Dar Açılı Üçgen: Üçgenin açılarından her birinin ölçüsü 90º`den küçük olan üçgene “Dar Açılı Üçgen” denir.

b)Geniş Açılı Üçgen: Bir açısı geniş açı olan üçgene “Geniş Açılı Üçgen” denir.

c)Dik Açılı Üçgen: Açılarından birisi dik açı olan üçgene “Dik Açılı Üçgen” denir.

 

Üçgen Çizilebilmesi İçin:

Üç kenar uzunluğu,iki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü veya bir kenarının uzunluğu ile iki açının ölçüsü verilen bir üçgen cetvel, açıölçer ve pergel kullanılarak çizilir.

Bir Üçgenin Yardımcı Elemanları

1) Üçgenin Yüksekliği: Üçgenin bir köşesinden karşı tarafa indirilen, köşe ile kenar arasında kalan dik doğru parçasına “Üçgenin Yüksekliği” denir.İndiği yerde 90 derecelik açı oluşur.”h” ile gösterilir.Yükseklikler dik üçgenlerde dik açının köşesinde, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dışında kesişirler.

2.Üçgenin Kenar Ortayları: Üçgenin bir köşe ile bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına “Üçgenin Kenar Ortayı” denir.Üçgenin iç bölgesinde kalır. “V” ile gösterilir.

3.Üçgenin Açı Ortayı: Üçgenin açılarını iki eş açıya bölen doğru parçasına “Üçgenin Açı Ortayı” denir. ” n ” ile gösterilir.

Bir üçgende kenarortay, kenar orta dikme, açıortaylar ve üçgen dar açılı ise yükseklikler üçgenin içinde noktadaş yani aynı noktadan geçerler.

Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenar uzunluğundan büyük; iki kenar uzunluğunun farkı, üçüncü kenarı uzunluğunda küçüktür.Bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.

Üçgenin Kenar Uzunluklar ve Açıları Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgende büyük açı karşısında uzun kenar, küçük açı karşısında kısa kenar vardır. Dik üçgendeki en uzun kenar 90 derecenin karşısındaki hipotenüstür.Hipotenüs uzunluğu dik kenar uzunluklarından büyüktür.

Üçgenin Açıları Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgendeki iç açıların ölçüleri toplamı 180 derecedir.Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.

Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180º`dir.

Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

ucgenler

kaynak: matematikcifatih.com

 

8. Sınıf Pisagor Bağıntısı Konusu

PİSAGOR BAĞINTISI

Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamına eşittir. Bu bağıntıya (Pythagoras) Pisagor Bağıntısı denir.
Hipotenüs 90 derecenin karşısındaki kenardır. Dik kenarlar ise 90 derecenin oluştuğu kenarlardır.

Kare ve dikdörtgenin köşegenleri, eşkenar ve ikizkenar üçgen yüksekliği bu bağıntıyla bulunur.

pisagor_bagntisi

kaynak: matematikcifatih.com

Sayı Örüntüleri Konusu 8. Sınıf

Örüntü; belirli bir kuralla diziliş anlamına gelir.Bu diziliş bir sayı veya şekil dizilişi olabilir.

Önemli olan şey belirli bir kural ile ilerlemesidir.

Leonardo Fibonacci

Bu konuya girmeden önce, önemli bir örüntünün sahibi olan İtalya doğumlu Leonardo Fibonacci’den bahsetmek gerekir.Fibonacci 13. yüzyılda yaşamıştır.

Leonardi Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 …. şeklinde giden bir diziliş bulmuştur. Bu dizilişe Fibonacci sayı dizilişi adı verilir.

fibonacci sayı dizisinin terimleri nasıl elde edilir ?

Bu dizilişin kuralı şudur: 1. ve 2. sayı toplandığında 3. sayı elde edilir.

2. ve 3. sayı toplandığında 4. sayı elde edilir.

4. ve 5. sayı toplandığında 6. sayı elde edilir ve bu şekilde devam eder gider.

Bu önemli bir diziliştir ve doğada bile karşımıza çıkar. Zaten bu yüzden Fibonacci sayı dizisi önem kazanmıştır.

Örneğin çam kozalaklarının en uçtan arkaya doğru dizilişi bu şekildedir.

Bir kozalak bulun ve toplamlara bir gözatın.

Fibonacci sayıları PASCAL ÜÇGENİ’^nde de karşımıza çıkar.

Peki PASCAL ÜÇGENİ nedir ?

Blaise PASCAL M.S 13. yüzyılda yaşamış fransız bir Matematikçidir ve kendi Soyadı ile anılan sayı dizisi vardır.

Daha doğrusu buna üçgen demek daha doğru olur.

PASCAL, üçgen ile sayılar arasındaki ilişkiyi tam 1653 sayfalık bir kitapta toplamıştır.

PASCAL, üçgeni oluştururken şunları yapmıştır.

1) En üste 1 yazmış.

2) Bir altına da 2 tane 1 yazmış.

3) Bundan sonra ise üstteki sayıları toplayıp bir aşağı yazmıştır. ( Yine en başa ve en sona 1 sayısını koymuştur. )

4) Şekle baktığımızda ise bir üçgen şekli oluşmuştur.

PASCAL üçgeninin ne işe yaradığını ise ileride Özdeşlikler konusunda göreceğiz.

Yukarıda anlattığımız PASCAL üçgeni için aşağıdaki şekli inceleyin.

sayı örüntü 1

En üstteki 0. satır olarak kabul edilir. Sonra 1. satır, 2. satır, 3. satır olarak devam eder gider.

Ok işaretleri ise üstteki sayıların toplanıp alttakini verdiğini göstermektedir.

Size Fibonacci dizisi ile PASCAL üçgeninin ilişkisini gösterelim.

sayı örüntü 2

 

kaynak: kastamonumatematik.com

Yukarıdaki gibi PASCAL üçgenindeki sayıları çapraz toplarsanız 1,2,3,5,8 … sayılarını elde ederiz.