Hendese Nedir?, Geometri Nedir?

Geometri (veya hendese), matematiğin uzamsal ilişkiler ile ilgilenen alt dalıdır. Eski adı: Hendese. Yunanca Γεωμετρία “Geo” (Yer) ve “metro” (ölçüm) kelimelerinin birleşiminden türetilmiş bir isimdir.

Günümüzde kullanılan doğru, yay, ışın, açı ortay, kenar ortay gibi birçok temel geometri teriminin Türkçe’leri Mustafa Kemal Atatürk tarafından yazılan eserde önerdiği terimlerden yararlanılarak kullanılmaya başlanmıştır.

Klasik geometri sadece pergel ve cetvel yapımı üzerinedir. Ancak daha sonraları bu yapımın soyut cebirle olan bağlantısı anlaşılınca geometri ile cebir arasında sınırlar kaybolmaya başlamıştır. Bu konuda en büyük katkıları yapanlar arasında Öklit ve Descartes’i sayabiliriz. Modern geometrinin oluşmasında Hilbert, Gauss, Lobachevski, Bolyai gibi isimleri saymak yerinde olur. Modern geometri daha çok belitsel olarak incelenir.

Birkaç geometri vardır. Bizim günlük yaşamda bildiğimiz “lise geometrisi”nin adı Öklit geometrisidir. Bu geometrinin en önemli özelliği paralellik belitidir. Bu beliti sağlamayan ama geri kalan tüm belitleri sağlayan geometrilere Öklit dışı geometriler denir. Bunlara örnek olarak Hiperbolik geometri ya da küresel geometri örnek verilebilir.

kaynak: matematikcafe.net

Matematik Hakkında Güzel Sözler

“Matematikle ifade edebiliyorsanız, bilginiz doyurucudur.”
Lord KELVIN

“Algoritma şöyle diyor: Rabbimiz ve koruyucumuz olan Allah ‘a hamd ve senalar olsun“
Harezmi

”Tarihte üç büyük olay vardır: Bunlardan ilki, evrenin oluşumudur. İkincisi, yaşamın başlangıcıdır. Bu ikincisi ile aynı derecede önemli olan üçüncüsü ise, yapay zekanın ortaya çıkışıdır.
”Edward Fredkin

“Matematik, insan zihninin idrak edebildiği bütün kavramların ve bu kavramlar arasındaki bütün ilişkilerin ifade edildiği dildir.”
AYDOS 2000

“Hayat sadece iki şey için güzel; matematiği keşfetme ve öğretme…”
Simeon Poisson

“Başka her şey de olduğu gibi matematiksel bir teori için de öyledir; güzellik algılanabilir fakat açıklanamaz.
“Cayley, Arthur

“İnsanoğlunun değeri bir kesirle ifade edilecek olursa; payı gerçek kişiliğini gösterir, paydası da kendisini ne zannettigini, payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür.
“TOLSTOİ

“Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir.
“Einstein, Albert (1879-1955)

“Hayat sadece iki şey için güzel; matematiği keşfetme ve öğretme
“Simeon Poisson

“Sen de biliyorsun ki biz hepimiz aynı sebepten dolayı matematikçi olduk; tembeliz.”
Rosenlicht, Max (1949)

“Çözümde görev almayanlar, problemin bir parçası olurlar.”
GOETHE

“Bir matematikçi sanmaz fakat bilir. İnandırmaya çalısmaz çünkü ispat eder. Güveninizi beklemez. Belki dikkat etmenizi ister.”
Henri POINCARE

“Dünyadaki en mâsum uğraş matematiktir”
G. H. HARDİ

“…evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır.”
GALİLEO

“Bilim deyince, onda hakikat diye öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şekliyle matematikte bulunur. O halde bilim o disiplindir ki; önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmayan disiplinler bilimin dışında kalacaklardır.”
M.Kemal Atatürk

“İnsanlar sayılar gibidir, o insanın değeri ise o sayının içinde bulunduğu sayı ile ölçülür.”
NEWTON

“Matematiğin hiçbir dalı yoktur ki, ne kadar soyut olursa olsun, bir gün gerçek dünyada uygulama alanı bulmasın.”
LOBACHEVSKİ

“Matematikte bir şeyleri asla anlamazsın, sadece onlara alışırsın.”
John von Neumann

“Matematik ne neden söz ettiğimizi, ne de söylediğimiz şeyin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir konudur.”
Bertrand Russell

Bir teoremin zerafeti onda görebildiğin fikirlerin sayısıyla doğru, o fikirleri görebilmek için harcadığın çabayla ters orantılıdır.”
George Polya

“Geometri zekayı aydınlatır ve aklı doğru yola sokar. Onun bütün kanıtları açık ve düzenlidir. Çok iyi düzenlendiğinden geometrik mantık yürütmeye hata girmesi neredeyse imkansızdır. Bu nedenle sürekli geometriye başvuran bir aklın hataya düşmesi çok nadirdir. Buna göre de geometri bilen kişi zeka kazanır. Eflatun’un kapısında aşağıdaki sözlerin yazılı olduğu nakledilir: “Geometrici olmayan evimize giremez.”
Ibn Haldun (1332-1406)

“Bir karenin kenarlarıyla köşegenlerinin rasyonel orantılı olmadığı gerçeğinden habersiz olan, insan sıfatına layık değildir.”
Plato (429-347 B.C.)

“Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.
“C. MORLEY.

“Matematik, dünyayı anlamamızda ve yaşadığımız çevreyi geliştirmede başvurduğumuz bir yardımcıdır”
Baykul, (1999:25)

“Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.”
HENRI POINCARE

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
Albert Einstein

Geometri, yaratılış öncesi de vardı.
Plato

Tanrı vardır, çünkü matematik tutarlıdır; şeytan vardır, çünkü bunu ispat edemiyoruz.
Morris Kline

Doğanın muazzam kitabının dili matematiktir.
Galileo

Kara delikler, Tanrının 0’a böldüğü yerlerdir.
Steven Wright

Resim bir bilimdir ve tüm bilimler matematiğe dayanır. İnsanın ortaya koyduğu hiçbir şey matematikte yerini bulmaksızın bilim olamaz.
Leonardo Da Vinci

Şu an ispatlananlar, bir zamanlar sadece tasavvurdu.
Atasözü

Matematik düzen, simetri ve limitleri ortaya koyar ve bunlar güzelliğin en muhteşem formlarıdır.
Aristotle

Ne kadar çok bilirsen, o kadar az emin olabilirsin.
Voltaire

Aritmetik, ayakkabıları çıkarmadan yirmiye kadar sayabilmektir.
Mickey Mouse

Dinsiz ilim topal, ilimsiz din kördür.
Albert Einstein

Matematik bilimlerin sultanıdır.
Carl Friedrich Gauss

Matematiksel olarak gösterilemeyen hiçbir araştırma gerçek bilim sayılamaz.
Leonardo da Vinci

Eğer mutsuzsam, matematikle uğraşıp mutlanırım. Eğer mutlu isem; matematikle uğraşıp mutluluğumu muhafaza ederim.
P. Turan

Allah kainatı matematik dilinde yaratmıştır.
Galileo

Matematik aşk gibidir: Basit bir fikir, fakat her an karmaşıklaşabilir.
R. Drabek

Bariz matematikteki en tehlikeli sözcüktür.
E.T. Bell

x2 yılında x yaşındaydım.
Augustus De Morgan (Yaşı sorulduğunda)

Rasyonel Sayılar Nedir? Tarihi

RASYONEL SAYILAR(TARİHİ NOTLAR)

 

Mısırlılarda Kesirler

 

  • Mısırlılar kesirleri paydaları 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.
  • Herhangi bir pozitif rasyonel  sayı; pozitif tam sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir.

 

 

 

 

1                                                2

Yukarıdaki örnekler gibi herhangi bir rasyonel sayının sınırsızca bir çok temsili vardır. Bu ifadeler Eski Mısırlılar tarafından kullanıldığı için, Mısır Kesirleri olarak adlandırılır.

R2R6R21

Bu hiyeroglifler ağızdan çıkan bir harfe (R) çevrilmiş ve kullanılmıştır. Bu yüzden yukarıdaki kesir                            şeklinde ifade edilmiştir.

 

Kesirler Ve Romalılar

Romalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır.

Ayakları zerrelere (yani ayak hesabını, parmak hesabına ) Pound’ ları da Ounc’ lara bölmüşlerdir.

1 Pound = 454 gram,             1 Ounc=  28,3 gram

1 Pound = 16 Ounc

ve Romalıların 1 parçasının adı Uncia’dır.  Bu da 340 gcrama tekabül  eder.

 

 

 

Rasyonel Sayılar ve Yunanlılar

Yunanlılar Rasyonel sayıları gerçekten çok seviyorlardı. Abartısız olarak Yunanlıların Rasyonel Sayılara taptığı söyleniyor. Pisagor  tarafından bulunan klişe şu idi.

Dünya güzeldi çünkü onun yapısı ve işleyişi tam sayıların oranı olarak, matematiksel olarak ifade ediliyordu.

Geometrik ifadelerin her zaman rasyonel sayılar biçimde ifade edilmesi, Pisagor’un mantığının temel ilkelerinden biriydi. Kenar uzunluğu bir olan karenin köşegenin  bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra bu klişenin güvenirliği azaldı.

Yunanlılar  bu bilgiyi sır olarak saklamaya çalıştılar. Çünkü bu onları utandırıyordu. Bütün uzunluklar Rasyonel sayılarla ifade edilemiyordu. Rasyonel sayılar oranları ve paylaşımları ölçmede yeterli olmasına rağmen uzunlukları ifade de  yetersizdi. Bu amaç için yeni bir sayı sistemi kurmak gerekliydi. İkinin karekökü bu sayı sistemine bir örnektir. İkinin karekökü Yunanlılar tarafından bulunan bir sayı değildi.

TARİHSEL NOTLAR

Kesir

Arapçada kesir anlamına gelen “al-kasr” kelimesi Latince’ deki kırmak anlamına gelen “fractus” kelimesinden türetilmiştir.

İngilizce’ deki kesir kelimesi 1321 yılında ilk kez Chavcer tarafından kullanılmıştır.

“ Kesir çizgisi payın üste, paydanın alta yazıldığı ufak  bir çizgidir.” der.

Bölme Sembolü  ( ¸)

Bölme sembolü; John Wallis  (1616-1703) yılında adapte edilmiş , İngiltere’ de ve Amerika’ da  kullanılmıştır. (fakat Avrupa’ da (:) iki nokta üst üste kullanılıyordu.)

1923 yılında, Matematik Komitesi açıkladı ki: ne : ne de ¸ işaretleri tam olarak kullanılıyor veya kullanılmıyor.

Bölüm (-) işaretinin iş hayatında çok önemli bir anlamı olmadığına göre bunu matematiğe  (kesirli ifadelere ) adapte edelim ve noktaların arasında “/ ” ‘ u kullanalım. Bundan sonra ¸ işareti matematiksel bir ifade haline dönüştü.

 

RASYONEL SAYILAR

Tarihsel olarak, bölme işlemi için gerekli olan kapanma kümesi, çıkarma işlemi için de gerekli plan kapanma kümesi ihtiyacından önce gelmektedir. k için bir ayı bulamaya ihtiyacımız vardır.

Bu yüzden; 1¸ 2 = k

Mısırlılar kesirleri paydası 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.

Romalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır.

Ayakları zerrelere (baş parmak) ve libreleri de ounclara bölmüşlerdir. (pound: 454 – ounc: 28,3) ve Romalıların biriminin 12. parçası uncle olarak adlandırılır.

Buna rağmen, insanlar hesaplamalarda daha pratik bir kesinlik sağlamaya ihtiyaç duymuşlar ve bölme işlemindeki teoriksel  kapanma gereksinmiştir. Z kümesindeki tam sayılarda, bazı bölme işlemleri olanaklıdır.

Buna rağmen, bazıları değilidir.

Rasyonel sayılar

Bir rasyonel sayı; iki tam sayının kendi aralarında oranı gibi ifade edilebilen gerçek bir sayıdır. Genellikle a / b şeklinde yazılır ve payda (b) sıfıra eşit değildir.

Rasyonel ayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. Kesirlerin ondalık basamağında olan 0-9 arasındaki genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir.

Bütün rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Genellikle büyük ve kalın simgeyle gösterilir. Rasyonel olmayan gerçek sayılar irrasyonel olarak adlandırılır.

 
Rasyonel Sayıların İnşası

Matematiksel olarak; tam sayı çiftlerinin düzenli olarak tanımlandığı sayılar sıfıra eşit değildir. Bu çiftleri toplama ve çıkarma altında takip eden şu kurallara göre tanımlayabiliriz.

 

  1. (a,b) + (c,d) = (a x d + b x c , b x d  )

(a,b) x (c,d) = (a x c, b x d)

 

Bizim beklentimize uygun 2/4 = 1/2  eşitliğini denklik ilişkisi olarak tanımlayabiliriz.

 

(a, b)    ~    (c,d)     Þ    a x d = b x c

bu denklik ilişkisi toplama ve çarpma üzerinde uyumlu olarak tanımlanır. Q’ u bölüm kümesi olarak tanımlayabiliriz.

 

Denklik İlişkisi

(a,b) ve (c,d) iki kesir olsun. Eğer ad = bc ise (c,d) kesrine denktir denir.

(a,b) ~ (c,d) biçiminde gösterilir.

(a,b) ~ (c,d)  Û  ad = bc

örnek (1,2) ve (3,6) elemanlarından her ikisi de kesirdir. 1.6 = 2.3 olduğundan (1,2) kesri (3,6) kesrine denktir.

 

Denklik Sınıfı

(a.b) kesrinin elemanına denk olan elemanlarının kümesi yani (a,b)’ nin denklik sınıfı () ile gösterilir.

Örnek:  ( ) = {….., (-2,-4).(-1,-2),(1,2),(2,4)…….}

= {(x,2x): x e Z ve   x ¹ 0}’ dır.

 

Rasyonel Sayılar Ve Kesirler

a ,  b  e Z ve  şeklinde (b ¹ 0) ifade edilen sayılar kesirler olarak adlandırılır. b burada bütünü temsil ediyor. a ise parçayı temsil ediyor.

 

Rasyonel Sayı

a ,  b  e Z ve  şeklinde (b ¹ 0) ve a , b aralarında asal olmalıdır. Bu şekildeki sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur.  biçimdeki en sade şekli bu denklik bağıntısını temsil eder.

Mesela ; () = {………,,……… }

Denklik sınıfında bulunan bütün elemanlar kesirdir.  temsili kesir ve  bu denklik sınıfını temsil ettiği için rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur.

Önemli Notlar

¸verilmiş ve c  ¹ 0 ‘ dır. Görüyoruz ki biz   b ¹ 0 ya da d ¹ 0 diye bir açıklama kullanmıyoruz. Çünkü kesirli olmanın şartı paydanın sıfıra eşit olmamasıdır.

Rasyonel sayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. kesirlerin ondalık basamağında bulunan sayıların genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir.

= 1,66666….,    =0,142857142,       = 0,5

Sonuç Olarak

Rasyonel sayılar düzenli olarak yoğun bir kümedir. Herhangi iki rasyonel sayı arasında diğer bir rasyonel sayı vardır. Aslında sayılamaz çoklukta rasyonel sayı vardır.

Rasyonel sayılar bölgesel sıklığın olmadığı alanın bir örneğidir. Bu alan tamamen bağlantısızdır. Rasyonel sayılar tamamlanıyor ve Reel sayılar da rasyonel sayıların tamamlayıcısıdır. Rasyonel olmayan Reel sayılara İrrasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar Reel sayıların alt kümesidir.

Tümdengelim ve Tümevarım Nedir? Tarihi

Tümdengelim; genelden özele ya da yasalardan olaylara geçiş şeklindeki akıl yürütmedir.
Örn: “Bütün balıklar denizde yaşar.”, “Kefal balıktır. O halde, kefal de denizde yaşar” çıkarımı, tümdengelim türü bir akıl yürütmedir. Kıyas, tümdengelimin en mükemmel şekli olarak kabul edilir. Bu nedenle, klasik mantık akıl yürütmede esas olarak kıyası almıştır.
Tümelden tikeli ve genelden özeli çıkaran uslamlama yöntemi… Tümdengelim, doğru olan ya da doğru olduğu sanılan önermelerden zorunlu olarak çıkan yeni önermeler türetir. Öncüller doğruysa sonuç da mantıksal bir zorunlulukla doğrudur. “Örneğin: insan ölümlüdür , Ahmet insandır öyleyse Ahmet de ölümlüdür” tasımı, tümden gelen bir tasımdır. Bütün insanların ölümlü oldukları doğruysa Ahmet de bir insan olduğuna göre Ahmet’in de ölümlü olması zorunludur, başka türlü olamaz.
Deneysel bilimin , tümevarımcı bilgi yönteminin kurucusu Francis Bacon deneye başvurmadığı, salt düşünsel bir uslamlama olduğu için tümdengelimi yadsımıştır. Buna karşıt Hegel , tersine, ancak tümdengelenin gerçek olduğunu, bireyselden yola çıkılarak tüme varılamayacağını savunmuştur. Ona göre idealizm için tek geçerli yöntem, tümdengelim yöntemidir.
Tümdengelim ve tümevarım yöntemleri, tümelle tikel (genelle özel) arasında sıkı bir ilişki gören ve bu ilişkiyi en doğru şekilde ortaya koymanın yollarını araştıran Aristoteles’in buluşudur. Genelden özele inen tümdengelim yöntemiyle özelden genele çıkan tümevarım yöntemi 17. yüzyıldan itibaren bir hayli gelişmiştir. Özellikle bu iki yöntem arasındaki bağlılık, ikisinin birlikte kullanılması diyalektik mantıkta gerçekleşmiştir

Kesin sonuç veren akıl yürütmeye çıkarım, tümdengelim (dedüksiyon) denir. Bu yönteme göre, doğanın araştırılması önce gözlemlerden genel prensiplerin çıkarılması (tümevarım) ve daha sonra genel prensiplere dayanarak gözlemlerin açıklanması (tümdengelim) aşamalarını içermektedir.
Tümdengelim; tümelden tikeli ve genelden özeli çıkaran uslamlama yöntemidir. Tümdengelim, doğru olan ya da doğru olduğu sanılan önermelerden zorunlu olarak çıkan yeni önermeler türetir. Öncüller doğruysa sonuç da mantıksal bir zorunlulukla doğrudur.
Zihnin kanunlardan, kurallara örneklere, olaylara inerek yeni bir yargıda bulunmasıdır. Tümevarımın tersine, genel ilkelerden özel durumlara inen bir akıl yürütme şeklidir. Burada herhangi bir genelleme (kanun, kural) ele alınır, sonra bundan yola çıkarak özele (olaya, örneğe) inilerek, yeni bir yargıya varılır.
Tümdengelim, bir ya da birden çok öncülden mantık kanunlarına göre, bir sonuçlama (netice) ispatlayış ya da çıkarsayış işlemidir.
Tümdengelimle varılan bir sonuç, bir önermeler zinciridir ki, burada, önermelerin mantık kanunlarıyla doğrudan doğruya çıkarılan bir öncül ya da bir önermedir. Tümdengelimle varılan bir sonuçlamada, neticeler öncüllerde saklıdır, mantıksal analiz metotlarıyle çıkarsanmaları icap eder. Tümdengelimin temelinde “bütün için doğru olan, parçaları için de doğrudur” ilkesi yatar.

7. Sınıf Matematik Konuları

Matematik müfredatındaki ders konuları aşağıda listelenmiştir. Çalışmak istediğiniz konuya tıklayarak konuyu çalışabilir ve öğrendiklerinizi pekiştirebilirsiniz.

7. Sınıf Konuları
Daire
Dörtgensel Bölgelerin Alanı
Yapıların Yüzleri
Dairesel Silindir
Alışverişteki Yüzde Hesapları
Üslü Nicelikler
Motifle Kaplama
Ayna ve Dönme Simetrisi
Olasılığın Geometriyle İlişkisi
Ayrık Olan ve Olmayan Olaylar
Faktöriyel ve Permütasyon
Kartezyen Koordinat Sistemi
Doğrusal Denklemler
Eğilim ve Yayılma Ölçüleri
Yanıltan Grafikler
Verilerin Farklı Gösterimleri
Bayrağımızı Çizelim
Çokgenler
Orantı Çeşitleri
Çember
Bir Bilinmeyenli Denklemler
Cebirsel İfadelerle İşlemler
Üç Doğrunun Açıları
Düzlemdeki Doğrular
Rasyonel Sayılar
Tam Sayılarla İşlemler

 

7. Sınıf Tam Sayılarla İşlemler Konusu

Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yaparken sayıların işaretlerine göre hareket edeceğiz.Aynı işaretli tam sayılar toplanırken çoğalır yani fazlalaşır işaretleri aynı kalır.

(-25)+(-12)=-25-12=-37 buradaki işaret değişmedi.

(+25)+(+12)=+25+12=+37 buradaki işaret değişmedi.

Farklı  işaretli tam sayılar toplanırken büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır.Mutlak değerce büyük sayının işareti sonucun işareti olur.

(-25)+(+12)=-25+12=-13  burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(+25)+(-12)=+25-12=+13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

Aynı işaretli tam sayılar çıkarılırken birinci sayıyı aynen yazıyoruz ikinci sayının işaretini değiştiriyoruz.Bu iki sayı birbirinden çıkartılıp işaret ise mutlak değerce büyük sayının işareti olur.

(-25)-(-12)=-25+12=-13  burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(+25)-(+12)=+25-12=+13 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(+2)-(+4)=+2-4=-2 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

(-18)-(-58)=-18+58=+40 burada mutlak değerce büyük sayının işareti geldi.

Farklı işaretli tam sayılar çıkarılırken birinci sayıyı aynen yazıyoruz ikinci sayının işaretini değiştiriyoruz.Bu iki sayıyı birbiri ile topluyoruz işaret ise aynı işaret oluyor.

(-25)-(+12)= -25-12=-37  buradaki işaret değişmedi.

(+25)-(-12)= +25+12=+37  buradaki işaret değişmedi.

(-30)-(+40)= -30-40=-70 buradaki işaret değişmedi.

(+11)-(-12)= +11+12=+33 buradaki işaret değişmedi.

Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken:

Aynı işaretli sayıların çarpılması aynen çarpılır ve işaretleri hep pozitif olur.

(-25)x(-4)=+100

(+25)x(+4)=+100

Farklı işaretli sayıların çarpılması aynen çarpılır ve işaretleri hep negatif olur.

(-25)x(+4)=-100

(+25)x(-4)=-100

Tam sayılarla bölme işlemi yaparken:

Aynı işaretli sayıların bölünmesi aynen bölünür ve işaretleri hep pozitif olur.

(-20):(-4)=+5

(+20):(+4)=+5

Farklı işaretli sayıların bölünmesi aynen bölünür ve işaretleri hep negatif olur.

(-20):(+4)=-5

(+20):(-4)=-5

 

Tam Sayılarda Pullarla İşlemler

Tam Sayılarda Pullarla Toplama İşlemi:

Tam sayılarda pullarla toplama işlemi yaparken,ilk sayı kadar pul kutuya konur.Eklenecek sayı kadar pul kutuya ilave edilir.Kutunun içindeki pulların hepsi + işaretli ise toplanır ve sonuç + olarak yazılır.Kutunun içindeki pulların hepsi – işaretli ise toplanır ve sonuç – olarak yazılır.Eğer kutunun içindeki pullar – ve + işaretli ise,aynı sayıdaki – ve  + pullar birbirini yer.Arta kalan pullar işaretleri ile birlikte sonuç olarak yazılır. (+6)+(-2)=+4


Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta -5 pul duruyormuş.Sonradan +3 pul eklenmiş.Kutunun içinde – pul ile + pul yanyana gelince birbirini yer yani götürür. -3 pul +3 pulu yedi.Geriye -2 pul kaldı.Doğru cevap D şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta +2 pul duruyormuş.Sonradan +3 pul eklenmiş.Kutunun içinde +5 oldu. (+2)+(+3)=+5

Tam Sayılarda Pullarla Çıkarma İşlemi:

Tam sayılarda pullarla çıkarma işlemi yaparken,ilk sayı kadar pul kutuya konur.Çıkarılacak sayı kadar kutuya – ve + işaretli pul konur.Çıkması gereken pullar kutudan çıktıktan sonra, kalan pullar kutuda sayılır.Eğer kutunun içinde – ve + işaretli kalmış olursa aynı sayıda olanlar birbirini yer.Arta kalan pullar işaretleri ile birlikte sonuç olarak yazılır.(-4)-(+3)=(-7)


Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta -7 pul duruyormuş.Kutudan -3 pul çıkarılmış.Geriye -4 pul kaldı. (-7)-(-3)=-4

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta +9 pul duruyormuş.Kutudan +10 pul çıkarılmış.Yanlız +10 pul çıkarmak için kutunun içine +1 ve -1 pul ilave edilir.Daha sonra +10 pul çıkarılır.Geriye -1 pul kaldı. (+9)-(+10)=-1

Tam Sayılarda Pullarla Çarpma İşlemi:

5 x (-3) çarpma işlemi yapılırken kutunun içerisine 5 tane 3’lü – pul girer.Sonuçta kutunun içinde 15 tane – pul olacak.

(-3) x 5 çarpma işlemini yaparken kutunun içine 3 tane 5’li sıfır çifti pul girer.Sonra kutunun içinden 3 tane 5’li + pul çıkar.Burada ikinci sayı +5 olduğu için + pullar dışarı çıkar.

(-3) x (-4) çarpma işlemini yaparken kutunun içine 3 tane 4’lü sıfır çifti pul girer.Sonra kutunun içinden 3 tane 4’lü – pul çıkar.Burada ikinci sayı -4 olduğu için – pullar dışarı çıkar.


Tam Sayılarda Pullarla Bölme İşlemi:

8 : 2 bölme işlemi yapılırken kutunun içerisine 8 tane + pul girer.Pullar iki gruba ayrılır.Her gruptaki pul sayısı sonucu verir.(8):(2)=+4


(-14) : 7 bölme işlemi yapılırken kutunun içerisine 14 tane – pul girer.Pullar yedi gruba ayrılır.Her gruptaki pul sayısı sonucu verir.(-14):(7)=-2

Tam Sayılarda İşlemlerin Sayı Doğrusunda Gösterilmesi:

Eklenen sayı pozitifse sağa doğru, eklenen sayı negatifse sola doğru ilerlenir.
(+4)+(-8)=(-4)


Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Doğru cevap A şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.


Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir,çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir.
(+6)-(+3)=+3

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir,çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir.
(-6)-(-10)=+4

 

TAM SAYILAR KABİLESİ

Günün birinde Kafkas dağlarının ardında bir kabile yaşarmı…ş .Bu kabilenin adı tam sayılar kabilesiymiş.Bu kabile iki kola ayrılırmış.Bunlardan biri NEGATİF tam sayılar olup bu tam sayılar diğer kabilelere hep öfke aşılarmış.Fakat tam sayıların diğer kolu olan POZİTİF tam sayılarla yaptıkları her savaşta yenilirlermiş, çünkü pozitif tam sayılar hep mutluluk aşıladıkları için öfkeye hiç yenilmezlermiş.Bir de ‘0’ sayısı varmış.Bu kendi halinde ,kimseye yararı ve zararı olmayan , etliye sütlüye karışmayan birisiymiş.Ama sinirlendiğinde çok kötü çarparmış.Bu yüzden kimse onunla çatışmayı göze alamazmış.Zamanla tam sayılar arasındaki ayrılık alevlenmiş ve pozitif tam sayılar arasından bir grup ayrılıp ,kendilerine DOĞAL sayılar diyerek başka bir kabile kurmuş. Bu grup ‘0’ da yanlarına almış ve negatif tam sayılardan uzakta bir mekana çadır kurmuşlar.Uzun zaman sonra negatif tam sayılar ne kadar büyük bir hata yaptıklarını anlamışlar ama nafile… Aralarından en yaşlı ve bilge olanlarını seçip bir komite kurmuşlar ve doğal sayılarla anlaşma imzalamak için göndermişler.Uzun uğraşlar sonucunda antlaşma imzalanmış.Buna göre; negatif tam sayılar ve doğal sayılar beraberce yaşayacaklar ama doğal sayılar ( sıfır hariç) eskisi gibi pozitif tam sayı olarak anılacak ve hep beraber aynı yerde yaşayacaklardır.Hemen işe koyulmuşlar ve sayı doğrusu denen yeni evlerini yapmaya başlamışlar.Evlerinin yerini belirlemeye gelince ne yapacaklarını şaşırmışlar , herkes en güzel yeri isterken sıfır araya girmiş ve ‘ benim solumda negatif tam sayılar sağımda da pozitif tam sayılar oturacak ben tam ortada olacağım.’ Herkes bu kararı çok sevmiş ve kabul etmiş. O günden bugüne hiç kavga etmeden yaşaya gelmişler.

kaynak: matematikcifatih.com

7. Sınıf Rasyonel Sayılar Konusu

RASYONEL SAYILAR

A bir tam sayı B sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere A/B şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.Payda sıfır olursa tanımsız olur.Rasyonel sayılar Q sembolü ile gösterilir.

Her tam sayı aslında bir rasyonel sayıdır.Çünkü her tam sayının altında gizli 1 vardır.Bunu açığa çıkartınca sayı rasyonel sayıya dönüşür.

N: Doğal sayılar,      Z: Tam sayılar,      Q: Rasyonel sayılar
Ondalık kesirler ve devirli ondalık açılımlar birer rasyonel sayıdır.

 

Basit Kesir: Payı küçük paydası büyük olan kesirlerdir.

Bileşik Kesir: Payı büyük paydası küçük olan kesirlerdir.Pay ve paydası aynı olan kesirlerde bileşik kesirdir.

Tamsayılı Kesir: Bir sayma sayısı ve bir basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir.Her bileşik kesir aynı zamanda tamsayılı kesirdir.

Bileşik kesirler tam sayılı kesre çevrilirken;

Pay paydaya bölünür.Bölüm tam sayı,kalan pay,bölen payda olarak yazılır.

Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterilmesi:

Pozitif işaretli basit kesirler sayı doğrusunda her zaman 0 ile 1 arasında gösterilir.

Negatif işaretli basit kesirler sayı doğrusunda her zaman -1 ile 0 arasında gösterilir.
Bileşik kesirler sayı doğrusunda gösterilmeden önce tam sayılı kesre dönüştürülür.Tam sayılı kesre sıfırdan başlayarak tam sayı kadar yol aldırılır.Daha sonra şu yol izlenir.Bir sonraki tam sayıya kadar olan aralık,tamsayının yanındaki kesrin paydası kadar parçalanarak pay kadar yol aldırılır.

Rasyonel Sayılarda Sıralama:

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paydalar eşitlenir,payı büyük olan büyüktür.
Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paylar eşitlenirse,paydası büyük olan küçüktür.
Negatif rasyonel sayılarda sıralama yaparken, pozitif rasyonel sayılardaki gibi sıralama yapılır.Sonra sıralamanın tam tersi alınır.

Negatif ve pozitif rasyonel sayılar karışık verilirse yine payda eşitlenir.Negatif olanların daima küçük,pozitif olanların daima büyük olduğu unutulmamalıdır.

Rasyonel sayıları sıralarken sayı doğrusuna da kullanabiliriz.Sağdan kalanlar hep büyük olur,solda kalanlar hep küçük olur.

Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini yapabilmek için paydaları eşitlememiz gerekir.Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır veya çıkarılır,payda ortak payda olarak yazılır.

Rasyonel Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri

Rasyonel sayılarda çarpma işlemini yaparken payla pay,paydayla payda çarpılır.

Rasyonel sayılarda bölme işlemini yaparken 1.kesrimiz aynen yazılır, 2. kesrimiz ters çevrilip ilk kesirle çarpılır.

7.sinif_rasyonel_sayilar

kaynak:matematikcifatih.com

7. Sınıf Düzlemdeki Doğrular Konusu

DÜZLEMDEKİ DOĞRULAR

Paralel Doğrular

Paralel iki doğrudan birbirinin üzerindeki her bir noktanın, diğerine olan uzaklıkları eşittir.Bu yüzden paralel doğrulara eş uzaklıklı doğrular da denir.

Dik Doğrular

İki doğru dik olarak kesişirse yani kesiştikleri yerde 90 derecelik açı varsa bu doğrulara dik doğrular denir.

Dikme

Dışındaki bir noktayı, bir doğrunun noktalarına birleştiren doğru parçalarından en kısa olanı, bu noktadan doğruya inilen dikmedir.Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı,bu nokta ile bu noktadan doğruya inilen dikmenin ayağı arasındaki uzaklıktır.Başka bir deyişle bu nokta ile dikme ayağını birleştiren doğru parçasının uzunluğudur.

Orta Dikme

Bir doğru parçasının orta dikmesi, bu doğru parçasını iki eş parçaya ayırır.Orta dikme üzerindeki noktaların, doğru parçasının uçlarına olan uzaklıkları eşittir.

duzlemdeki_dogrular

 

kaynak: matematikcifatih.com