Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konu Anlatımı

10. Sınıf Matematik Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımızda çözümlü örneklerle birlikte konuyu en iyi şekilde anlatmaya çalıştık. Konu anlatımı sonrası Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Çözümlü Sorular yazımızı da inceleyebilirsiniz.

Pascal Üçgeni

x,y ∈ R – {0}, olmak üzere n ∈ N olmak üzere x + y ifadesinin kuvvetleri alınırsa

açılımları elde edilir. Bu açılımlardaki terimlerin katsayıları ortalanarak yazılırsa

şeklindeki sayılardan oluşan yukarıdaki üçgen elde edilir. Bu üçgene Pascal üçgeni adı verilir. Aşağıdaki görselde de detaylı açılımını görebilirsiniz.

 

Pascal üçgeninin her bir satırındaki sayıların toplamı, eleman sayısı satır numarasının 1 eksiği olan kümenin alt küme sayısını verir.

1. satır A = {  } , kümesi için s(A) = 0 ve alt küme sayısı: 20 = 1
2. satır A = {a}, kümesi için s(A) = 1 ve alt küme sayısı: 21 = 2
3. satır A = {a,b}, kümesi için s(A) = 2 ve alt küme sayısı: 22 = 4 olur.

Pascal üçgeninin (n + 1). satırındaki sayıların her biri eleman sayısı n olan kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı, …, n elemanlı alt küme sayısını verir.

Örneğin;
4. satır A = {a,b, c}, kümesi için s(A) = 3 olur.

Pascal özdeşliği

Pascal üçgeninin herhangi bir n. satırının r. sırasındaki sayı ile (r + 1). sırasındaki sayı toplanırsa Pascal üçgeninin (n + 1). satırının (r + 1). sırasındaki sayı elde edilir. Başka bir ifadeyle Pascal üçgeninin herhangi bir satırındaki ardışık iki sayının toplamı, takip eden satırda bu iki sayının ortasındaki sayıya eşittir.

Örnek: 4 elemanlı bir kümenin alt küme sayılarını veren Pascal üçgeninin ilgili satırını yazarak satırda bulunan sayıların neyi ifade ettiğini belirtiniz.

Çözüm: n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı bilgileri Pascal üçgeninin (n + 1). satırında bulunur. Bu durumda 4 elemanlı kümenin alt küme bilgileri Pascal üçgeninin 5. satırındadır.

 

Binom Açılımı

Binom Teoremi: x, y ∈ R;n,r ∈ N;r ≤ n olmak üzere;

Binom Teoreminn 6 Özelliği

Arkadaşlar şimdide bi kaç tane çözümlü örnek soru yaparak konuyu daha net anlamaya çalışlaım.

Örnek: (x + 2y)4 ifadesinin açılımını bulunuz.

Çözüm: (x + 2y)4 ifadesinin açılımı;

 

Örnek: (2x – 3)3 ifadesinin açılımını bulunuz.

Çözüm: (2x – 3)3 ifadesinin açılımı;

 

Örnek: (3x – 2y)12 ifadesinin açılımındaki terim sayısını bulunuz.

Çözüm: (3x – 2y)12 ifadesinin açılımında n = 12 olduğundan terim sayısı

n + 1 = 12 + 1 = 13 bulunur.

 

Örnek: (-2x + 5y + 4)7 ifadesinin açılımındaki
a) Katsayılar toplamını
b) Sabit terimi bulunuz.

Cevap: a) x = y = 1 alınırsa (-2x + 5y + 4)7 açılımındaki katsayılar toplamı
(-2.1 + 5.1 + 4)7 = (-2 + 5 + 4)7 = 77 bulunur.

b) x = y = 0 alınırsa (-2x + 5y + 4)7 açılımındaki sabit terim
(-2.0 + 5.0 + 4)7 = (0 + 0 + 4)7 = 47 bulunur.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.