Polinomlar Çıkmış Sorular ve Çözümleri İle ilgili LYS, ÖSS, TYT, AYT, MAT1 sınavlarında çıkmış tüm soruların çözümlerini pdf formatında inceleyebilirsiniz. Polinomlar konusu da genellikle 10. sınıf dersinde işlenmektedir.
(2015 LYS1/MAT)
Soru 1: P(x) ikinci dereceden bir polinom, Q(x) = k sabit bir polinom olmak üzere
Çözüm: Q(x) = k olduğuna göre P(x) = 9 olur.
P(k) + Q(k) = 2.k² + 3
9 + k = 2k² + 3
0 = 2k² -k – 6 (Burayı (2k+3) ve (k-2) olarak ayıralım.)
(2k+3).(k-2)= 0 ⇒ k= \( \displaystyle-\frac{3}{2} \) ve ya k=2 olur.
Bulduğumuz değerlerin toplamı ise \( \displaystyle\frac{1}{2} \) olur.
(2015 LYS1/MAT)
Soru 2: Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden P(x) polinomu, x² + 4 ile kalansız bölünebilmektedir.
P(2x) polinomunun 2x – 3 ile bölümünden elde edilen kalan 52’dir.
Buna göre, P(2) değeri kaçtır?
A) 20 B)22 C)24 D)26 E)28
Çözüm: P(x)=(x² + 4)(x + a) şeklinde bir polinomdur.
2x – 3 = 0 ⇒ x = \( \displaystyle\frac{3}{2} \)⇒ P(2.x) Buradan x değerini yerine yazarsak P(3) = 52 olur.
P(x)=(x² + 4)(x + a) Burada x yerine 3 yazalım. Çünkü P(3) değerini biliyoruz.
52 = (3² + 4)(3 + a)
52 = 13.(3 + a)
4 = 3 + a ⇒ a = 1 olur.
P(x)=(x² + 4)(x + 1) polinomunda a değerini biliyoruz artık, x = 2 için
P(2) = (4 + 4)(2 + 1) = 8.3 = 24 olarak yanıtı buluruz.
(2016 LYS1/MAT)
Soru 3:
Çözüm: P(x) = (x + 1)²(x² + 1)4
P(x)=(x²+2x+1)((x²)4 + 4. (x²)3 + 6.(x²)2 + 4.(x²)1 + (x²)0)
P(x)=(x²+2x+1)(x8 + 4x6 + 6x4 + 4x² + 1) Buradan ad çözümü çok uzatmamak adına her iki parantesizn çarpımı sonrası sadece x4 olanları yazalım.
x².4x² = 4x4 ile 1.6x4 = 6x4 çarpanları gelir. Bunlarında toplamı 10x4 olur ve böylece x4 lü terimin katsayısını 10 olarak bulmuş oluruz.
(2016 LYS1/MAT)
Soru 4: P(x) = x³ – mx + 1
olmak üzere, P(x – 1) polinomunun x + 1′ e bölümünden kalan ile P(x + 1) polinomunun x – 1′ e bölümünden kalan birbirine eşittir.
Buna göre, m kaçtır?
A) 2 B)4 C)6 D)-1 E)-8
Çözüm: P(x) = x³ – mx + 1 polinomu için; P(x – 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalanı bulmak için;
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
P(-1-1) = P(-2) buluruz.
P(x + 1) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalanı bulmak için;
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
P(1+1) = P(2) buluruz.
P(-2) = P(2) ⇒ (-2)³ – m.(-2) + 1 = 2³ – m.2 + 1 olur.
⇒ -8 + 2m + 1 = 8 – 2m + 1
⇒ 4m = 16 dan m = 4 olarak buluruz.
(2016 LYS1/MAT)
Soru 5: Üçüncü dereceden baş katsayısı 1 olan gerçel katsayılı P(x) polinomu
P(1) = P(3) = P(5) = 7
eşitliklerini sağlıyor.
Buna göre, P(0) değeri kaçtır?
A) -1 B)-4 C)-8 D)4 E)6
Çözüm: P(x), baş katsayısı 1 olan 3. dereceden bir polinom ve
P(1) = P(3) = P(5) = 7 olduğuna göre;
P(x) = 1.(x – 1).(x – 3).(x – 5) + 7
P(0) = 1.(0 – 1).(0 – 3).(0 – 5) + 7
P(0) = (- 1).(- 3).(- 5) + 7 = -15 + 7 = -8 olarak buluruz.
(2017 YGS)
Soru 6: P(x) = (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 9) polinomu
Q(x) = (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 5)
polinomuna bölünüyor
Bu bölümden elde edilen bölüm kaçtır?
A) 10 B)12 C)14 D)16 E)18
Çözüm: P(x) = (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 9) = 9x + \( \displaystyle\frac{9.10}{2} \) = 9x + 45 olur.
Q(x) = (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 5) = 5x + \( \displaystyle\frac{5.6}{2} \) = 5x + 15 olur.
5x 15’e bölümünden kalanı bulmak için
5x + 15 = 0’a eşitleriz. ⇒ x = -3 olur.
P(-3) = 9.x + 45 = -27 + 45 = 18 olarak buluruz.
(2017 LYS)
Soru 7: Üçüncü dereceden gerçel katsayılı P(x) polinomunun kökleri -3, -1 ve 2 dir.
P(0) = 12 olduğuna göre x² li terimin katsayısı kaçtır?
A) -4 B)-3 C)-2 D)1 E)2
Çözüm: P(x) = a.(x + 3).(x + 1).(x – 2) olur.
P(0) = 12 ⇒ a.3.1.( -2) = 12 olur.
⇒ -6a = 12 ⇒ a = \( \displaystyle\frac{12}{-6} \) = -2 olur.
P(x) = -2.(x + 3).(x + 1).(x – 2)
P(x) = -2.(x² + 4x + 3).(x – 2)
x² li terim ( -2).x².( -2)+ ( -2).4x.x = 4x² – 8x² = 4x²
Bu durum da x² li terimin katsayısı 4 tür arkadaşlar.
(2017 LYS)
Soru 8:
Çözüm: P( 4) = 0 ve Q(x)’in tüm kökleri P(x)’in de kökü olduğuna göre
P(x) = (x + 4).Q(x) olmalıdır
P(x) = (x + 4).(x² – 2ax + b) = x³ – 2ax² + bx + 4x² – 8ax + 4b
= x³ + (4 – 2a)x² + (b – 8a)x + 4b olur. Burayı da sorudaki P(x) e eşitlersek;
⇒ x³ -ax² – (b +2)x + 4b = x³ + (4 – 2a)x² + (b – 8a)x + 4b olur.
Katsayı eşitliğinden; -a = 4 – 2a olur. Buradan da a=4 olur.
-(b + 2) = b – 8a ⇒ -b – 2 = b – 8.4
-b – 2 = b – 32 ⇒ 2b = 30 ⇒ b = 15 olur.
b – a = 15 – 4 = 11 olarak buluruz.
(2017 LYS)
Soru 9: Katsayıları {0, 1, 2, …., 9} kümesinin elemanlarından ve bir kökü \( \displaystyle\frac{-2}{3} \) olan ikinci dereceden polinomların sayısı kaçtır?
A) 5 B)7 C)8 D)10 E)11
Çözüm: Polinomu P(x) = ax² + bx + c olarak gösterelim. Polinomun bir kökü \( \displaystyle\frac{-2}{3} \) olduğuna göre polünomun değeri 0 dır.
0 = \( a.\displaystyle(\frac{-2}{3})^2+b.(\frac{-2}{3}) + c \) olur.
0 = \( \displaystyle\frac{4}{9}.a-\frac{2}{3}.b + c \) Paydaları 9 da eşitlersek
4a – 6b + 9c = 0 olur.
9c = 6b – 4a ⇒ 9c = 2(3b-2a) Bu eşitliği sağlayan sayı ikilileri de (4,18), (2,9) ve (0,0) dır arkadaşlar.
c = 4 için 3b – 2a = 18 olur. (b=8, a=3 olur)
c = 2 için 3b – 2a = 9 olur. (b=5,7,9; a=3,6,9 olur)
c = 0 için 3b – 2a = 0 olur. (b=2,4,6; a=3,6,9 olur)
Bu durumda toplam da 7 farklı P(x) polinomu olur.
(2018 TYT)
Soru 10: P(x) bir polinom olmak üzere, P(a) = 0 eşitliğini sağlayan a sayısına bu polinomun bir kökü denir.
P(x) ve R(x) polinomları için
P(x) = x² – 1
R(x) = P(P(x) )
eşitlikleri veriliyor.
Çözüm: R(x) = P(P(x) ) olarak verildiğine göre;
R(x) = P (x² – 1) ⇒ R(x) = (x² – 1)² – 1 olur. Buradan da R(x) in köklerini bulacak olursak;
(x² – 1)² – 1 = 0 dan
(x² – 1)² = 1
x² – 1 = 1 için x ± √2 olur. Veya
x² – 1 = – 1 için x = 0 olur. Bu durumda yanıtımı B seçeneğidir.
(2018 AYT)
Soru 11: Gerçel katsayılı ve baş katsayısı 1 olan 4. dereceden bir P(x) polinomu her x gerçel sayısı için
P(x) = P(-x) eşitliğini sağlamaktadır.
P(2) = P(3) = 0
olduğuna göre P(1) kaçtır?
A) 12 B)18 C)24 D)30 E)36
Çözüm: P(x) = P(-x) olarak verilmiş ise
P(2) = P(-2) = 0
P(3) = P(-3) = 0 olur
Baş katsayıalrı 1 olarak verilen 4. dereceden bu polinomun katsayıarıda belli olduğuna göre polinomu yazalım.
P(x) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3) olur.
P(1) = (1-2)(1+2)(1-3)(1+3)
= (-1)(3)(4)(-2) = 24 olarak buluruz.
(2019 AYT)
Soru 12: En yüksek dereceli teriminin katsayısı 1 olan dördüncü dereceden bir polinomun köklerinin birer tam sayı olduğu bilinmektedir. Bu polinomun grafiğinin, dik koordinat düzleminde eksenleri kestiği noktalara ait bazı parçaları aşağıda verilmiştir.
Buna göre, bu polinomun katsayıları toplamı kaçtır?
A) 72 B)80 C)84 D)92 E)96
Çözüm: P(x) = (x-4).(x+3).(x²+mx+k) olsun arkadaşlar.
P(0) = 72 = (-4).(3).k ⇒ k = -6 olur.
P(x) = (x-4).(x+3).(x²+mx-6) ⇒ Burayı da çarpanlarına ayırırsak
P(x) = (x-4).(x+3).(x²-x-6)
P(1) = (-3).3.(-6)
P(1) = 72 olarak buluruz.
(2019 AYT)
Soru 13: En yüksek dereceli teriminin katsayısı 1 olan ikinci dereceden gerçel katsayılı bir P(x) polinomunun iki farklı kökü P(0) ve P(–1) değerleridir.
Buna göre, P(2) değeri kaçtır?
Çözüm: P(x) = x² + bx + c şeklinde bir polinomdur. Soruda köklerden biri P(0) olarak verilmiş. Bununda değeri P(0) = c olur.
x² + bx + c denkleminde kökler çarpımı \( \displaystyle\frac{c}{1} \) = c olur
Köklerden biri c ise diğeri kökün değeri 1 olmalıdır. Bize soruda diğer kök değeri P(-1) verilmiş. O halde P(-1) = 1 olur. Polinomda yerine yazarsak;
x² + bx + c ⇒ 1 – b + c ⇒ c=b olur arkadaşlar. Denklemde b yerine c yazarsak;
P(x) = x² + bx + c ⇒ x = 1 köküyse;
P(1) = 1 + c + c = 0 olmalıdır. ⇒ c = \( \displaystyle\frac{-1}{2} \) olur.
\( P(x) = x^2\displaystyle-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \) olur.
\( P(x) = 4-1-\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \) olarak buluruz.
polinom cikmis sorular son 20 yıl